1. Véc tơ pháp tuyến và cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng
+) Véc tơ (overrightarrow n left( { ne overrightarrow 0 } right)) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (left( P right)) nếu giá của nó vuông góc với (left( P right)).
+) Hai véc tơ không cùng phương (overrightarrow a ,overrightarrow b ) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của (left( P right)) nếu giá của chúng nằm trong (left( P right)) hoặc song song với (left( P right)).
+) Nếu (overrightarrow n ) là một VTPT của (left( P right)) thì (k.overrightarrow n left( {k ne 0} right)) cũng là VTPT của (left( P right)), do đó một mặt phẳng có vô số VTPT.
+) Nếu (overrightarrow a ,overrightarrow b ) là cặp VTCP của (left( P right)) thì (left[ {overrightarrow a ,overrightarrow b } right]) là một VTPT của (left( P right)).
2. Phương trình mặt phẳng
+) Mặt phẳng (left( P right)) đi qua (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)) và nhận (overrightarrow n = left( {a;b;c} right)) làm VTPT thì (left( P right)) có phương trình:
+) Nếu ({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0) ((a,b,c) không đồng thời bằng (0)) thì phương trình (ax + by + cz + d = 0) là phương trình của một mặt phẳng có VTPT là (overrightarrow n = left( {a;b;c} right)).
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (left( P right):ax + by + cz + d = 0;left( Q right):a’x + b’y + c’z + d’ = 0) có các VTPT lần lượt là (overrightarrow n = left( {a;b;c} right),overrightarrow {n’} = left( {a’;b’;c’} right)). Khi đó hai mặt phẳng:
– cắt nhau nếu (overrightarrow n ne k.overrightarrow {n’} )
– song song nếu (overrightarrow n = k.overrightarrow {n’} ) và (d ne k.d’)
– trùng nhau nếu (overrightarrow n = k.overrightarrow {n’} ) và (d = k.d’)
– vuông góc nếu $overrightarrow n .overrightarrow {n’} = 0$.
Nếu (a’b’c’d’ ne 0) thì:
+) (dfrac{a}{{a’}} ne dfrac{b}{{b’}}) hoặc (dfrac{b}{{b’}} ne dfrac{c}{{c’}}) hoặc (dfrac{a}{{a’}} ne dfrac{c}{{c’}}) thì (left( P right),left( Q right)) cắt nhau.
+) (dfrac{a}{{a’}} = dfrac{b}{{b’}} = dfrac{c}{{c’}} ne dfrac{d}{{d’}}) thì (left( P right)//left( Q right))
+) (dfrac{a}{{a’}} = dfrac{b}{{b’}} = dfrac{c}{{c’}} = dfrac{d}{{d’}}) thì (left( P right) equiv left( Q right))
+) (a.a’ + b.b’ + c.c’ = 0) thì (left( P right) bot left( Q right)).
4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
– Khoảng cách từ điểm (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)) đến (left( P right):ax + by + cz + d = 0) là:
– Đặc biệt, nếu điểm (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right) in left( P right)) thì (dleft( {M;left( P right)} right) = 0)
5. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (left( P right):ax + by + cz + d = 0;left( Q right):a’x + b’y + c’z + d’ = 0)
Góc giữa hai mặt phẳng (left( P right),left( Q right)) là góc có:
Góc giữa hai mặt phẳng là (alpha ) thì (0 le alpha le {90^0} Rightarrow 0 le cos alpha le 1).
