1. Kiến thức cần nhớ
Bài toán:
Gọi (Pleft( n right)) là một mệnh đề chứa biến (nleft( {n in {N^*}} right)). Chứng minh (Pleft( n right)) đúng với mọi số tự nhiên (n in {N^*}).
Phương pháp quy nạp toán học:
– Bước 1: Chứng minh (Pleft( n right)) đúng với (n = 1).
– Bước 2: Với (k) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử (Pleft( n right)) đúng với (n = k ge 1), chứng minh (Pleft( n right)) cũng đúng khi (n = k + 1).
Ví dụ: Chứng minh ({n^7} – n) chia hết cho (7) với mọi (n in {N^*}).
Giải:
Đặt (Pleft( n right) = {n^7} – n).
– Với (n = 1) thì (Pleft( 1 right) = {1^7} – 1 = 0 vdots 7) nên (Pleft( 1 right)) đúng.
– Giả sử mệnh đề đúng với (n = k in {N^*}), tức là (Pleft( k right) = left( {{k^7} – k} right) vdots 7).
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với (n = k + 1), tức là: (Pleft( {k + 1} right) = {left( {k + 1} right)^7} – left( {k + 1} right) vdots 7)
Ta có:
(begin{array}{l}{left( {k + 1} right)^7} – left( {k + 1} right) = C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4} + C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 – left( {k + 1} right)\ = {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3} + 21{k^2} + 7k + 1 – k – 1 = left( {{k^7} – k} right) + 7left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} right)end{array})
Do ({k^7} – k vdots 7) và (7left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} right) vdots 7) nên (Pleft( {k + 1} right) = {left( {k + 1} right)^7} – left( {k + 1} right) vdots 7).
Vậy mệnh đề đã cho đúng.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh mệnh đề.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học đã nêu ở trên.
Dạng 2: Tìm công thức tổng quát cho tổng dãy số.
Phương pháp:
– Bước 1: Dự đoán công thức tổng quát cho tổng dãy số.
– Bước 2: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức vừa dự đoán.
