Phương pháp quy nạp toán học

1. Kiến thức cần nhớ

Bài toán:

Gọi $Pleft(nright$) là một mệnh đề chứa biến $nleft(nin{N}^{\ast }right$). Chứng minh $Pleft(nright$) đúng với mọi số tự nhiên $nin{N}^{\ast }$.

Ví dụ: Chứng minh $n^7–n$ chia hết cho $7$ với mọi $nin{N}^{\ast }$.

Giải:

Đặt $Pleft(nright$ = {n^7} – n).

– Với $n=1$ thì $Pleft(1right$ = {1^7} – 1 = 0 vdots 7) nên $Pleft(1right$) đúng.

– Giả sử mệnh đề đúng với $n=kin{N}^{\ast }$, tức là $Pleft(kright$ = left$k^7–kright$ vdots 7).

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$, tức là: $Pleft(k+1right$ = {left$k+1right$^7} – left$k+1right$ vdots 7)

Ta có:

$beginarraylleft(k+1right{)}^7–left(k+1right$ = C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4} + C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 – left$k+1right$\ = {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3} + 21{k^2} + 7k + 1 – k – 1 = left$k^7–kright$ + 7left$k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+kright$end{array})

Do $k^7–kvdots7$ và $7left(k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+kright$ vdots 7) nên $Pleft(k+1right$ = {left$k+1right$^7} – left$k+1right$ vdots 7).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh mệnh đề.

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học đã nêu ở trên.

Dạng 2: Tìm công thức tổng quát cho tổng dãy số.

Phương pháp:

– Bước 1: Dự đoán công thức tổng quát cho tổng dãy số.

– Bước 2: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức vừa dự đoán.