Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước.

– Bước 1: Nhận dạng đồ thị: Đồ thị thuộc dạng bậc 3 hay bậc 4, hệ số $a$ dương hay âm.

– Bước 2: Tìm điểm giao của đồ thị hàm số với $Oy$ và thay tọa độ vào các hàm số ở từng đáp án.

– Bước 3: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho.

– Bước 4: Tính đạo hàm các hàm số ở mỗi đáp án và giải phương trình $y^{\prime }=0$, tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở các đáp án.

– Bước 5: Giải phương trình $y=0$ ở các đáp án và tìm nghiệm, đối chiếu với hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

Dạng 2: Tìm hàm số có bảng biến thiên cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Nhận dạng bảng biến thiên: Bảng biến thiên đã cho là của hàm bậc 3 hay bậc 4, hệ số $a$ âm hay dương.

– Bước 2: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên.

– Bước 3: Tính đạo hàm các hàm số ở mỗi đáp án và giải phương trình $y^{\prime }=0$, tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở các đáp án.

Dạng 3: Nhận xét các tính chất của hàm số, đồ thị hàm số có bảng biến thiên cho trước. $vềtínhđơnđiệu,cựctrị,tâmđốixứng,trụcđốixứng,\dots$

Phương pháp:

– Bước 1: Quan sát bảng biến thiên, tìm các khoảng đơn điệu, các điểm cực trị của hàm số.

– Bước 2: Nhận dạng bảng biến thiên: Bảng biến thiên đã cho là của hàm bậc 3 hay bậc 4, từ đó tìm được tâm đối xứng, trục đối xứng,…

– Bước 3: Đối chiếu các kết quả thu được ở trên với các đáp án bài cho và xét tính đúng sai của các đáp án.

Dạng 4: Tìm điều kiện của các hệ số của hàm đa thức bậc ba có đồ thị cho trước.

Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+dleft(ane0right$) có đồ thị $left(Cright$) cho trước. Tìm điều kiện của $a,b,c,d$.

Phương pháp:

– Bước 1: Xét tính dương, âm của hệ số $a$ dựa và dáng đồ thị.

– Bước 2: Tìm điều kiện của $d$ dựa và giao điểm của đồ thị hàm số với trục $Oy$.

+ Nếu giao điểm nằm trên trục hoành thì $d>0$.

+ Nếu giao điểm nằm dưới trục hoành thì $d<0$.

+ Nếu giao điểm trùng với gốc tọa độ $O$ thì $d=0$.

– Bước 3: Tìm điều kiện của $b,c$ dựa vào các điểm cực trị của đồ thị hàm số:

+ Nếu đồ thị hàm số không có cực trị thì phương trình $y^{\prime }=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $LeftrightarrowDelta‘=b^2–3acle0$.

+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị thì phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $LeftrightarrowDelta‘=b^2–3ac>0$.

+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị nằm trái phía với trục tung thì phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu $Leftrightarrow3ac<0Leftrightarrowac<0$.

+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị cùng nằm bên trái trục tung thì phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng âm ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta ‘ = {b^2} – 3ac > 0\S =  – dfrac{{2b}}{{3a}} < 0\P = dfrac{c}{{3a}} > 0end{array} right.)

+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị cùng nằm bên phải trục tung thì phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dương ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta ‘ = {b^2} – 3ac > 0\S =  – dfrac{{2b}}{{3a}} > 0\P = dfrac{c}{{3a}} > 0end{array} right.)

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime };y”$, giải phương trình $y”=0$.

– Bước 2: Giả sử $x_0$ là một nghiệm của phương trình $y”=0$ thì điểm uốn $Uleft(x_0;fleft(x_{0}right)right$).

– Bước 3: Thay tọa độ điểm uốn vào điều kiện đề bài để tìm $m$