Phương pháp giải các bài toán tương giao đồ thị

Dưới đây là một số dạng toán thường gặp về tương giao giữa hai đồ thị hàm số:

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.

– Bước 2: Giải phương trình tìm $x$, rồi từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.

Dạng 2: Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Đối với dạng bài này, ta cũng có thể sử dụng phương pháp ở trên, nhưng đối với bài toán không tìm được hết các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm thì ta có thể sử dụng phương pháp dưới đây:

Phương pháp:

– Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm $fleft(xright$ = gleft$xright$).

– Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $hleft(xright$ = fleft$xright$ – gleft$xright$) trên TXĐ.

+ Tính $h^{\prime }left(xright$), giải phương trình $h^{\prime }left(xright$ = 0) tìm các nghiệm và các điểm $h^{\prime }left(xright$) không xác định.

+ Xét dấu $h^{\prime }left(xright$) và lập bảng biến thiên.

– Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=fleft(xright$) và $y=gleft(xright$).

+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=fleft(xright$) và $y=gleft(xright$) là số giao điểm của đồ thị hàm số $hleft(xright$) với trục hoành $đườngthẳng(y=0$)

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình $fleft(xright$ = gleft$mright$) có nghiệm trên đoạn cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=fleft(xright$) trên đoạn $left[a;bright]$.

+ Tính $f^{\prime }left(xright$), giải phương trình $f^{\prime }left(xright$ = 0) tìm các nghiệm thuộc đoạn $left[a;bright]$ và các điểm $f^{\prime }left(xright$) không xác định.

+ Xét dấu $f^{\prime }left(xright$) và lập bảng biến thiên.

– Bước 2: Nêu điều kiện để phương trình $fleft(xright$ = gleft$mright$) có một, hai,… nghiệm là đường thẳng $y=gleft(mright$) cắt đồ thị hàm số $y=fleft(xright$) tại một điểm, hai điểm,… trên đoạn $left[a;bright]$, từ đó suy ra điều kiện của $gleft(mright$).

– Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình ẩn $m$ ở trên và tìm điều kiện của $m$.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba $y=fleft(xright$ = a{x^3} + b{x^2} + cx + d) cắt trục hoành.

$Ápdụngchonhữngbàitoánkhôngtáchriêngđược(m$ và $x$)

– Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm $fleft(xright$ = 0)

– Bước 2: Tính $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c,Delta‘=b^2–3ac$

– Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình $fleft(xright$ = 0) có nghiệm:

+) Phương trình có $1$ nghiệm duy nhất nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào hoặc có hai điểm cực trị cùng nằm về một phía đối với trục hoành

( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}Delta ‘ le 0\left{ begin{array}{l}Delta ‘ > 0\fleft$x_{1}right$.fleft$x_{2}right$ > 0end{array} right.end{array} right.) với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $y^{\prime }=0$.

+) Phương trình có 2 nghiệm nếu $fleft(x_{1}right$ = 0) hoặc $fleft(x_{2}right$ = 0) với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $y^{\prime }=0$.

+) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta ‘ > 0\fleft$x_{1}right$.fleft$x_{2}right$ < 0end{array} right.)

– Bước 4: Kết luận giá trị cần tìm của $m$.

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4 $y=fleft(xright$ = a{x^4} + b{x^2} + c) cắt trục hoành.

$Ápdụngchonhữngbàitoánkhôngtáchriêngđược(m$ và $x$)

– Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm $fleft(xright$ = 0)

– Bước 2: Đặt $t=x^{2}ge0$, phương trình trở thành $a{t}^2+bt+c=0left(\ast right$).

– Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình bậc 4 có nghiệm:

+ Phương trình bậc 4 có 4 nghiệm phân biệt nếu $\ast$ có hai nghiệm phân biệt dương ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta  > 0\S > 0\P > 0end{array} right.)

+ Phương trình bậc 4 có 3 nghiệm phân biệt nếu $\ast$ có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng $0$( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta  > 0\S > 0\P = 0end{array} right.)

+ Phương trình bậc 4 có 2 nghiệm phân biệt nếu $\ast$ có hai nghiệm trái dấu, hoặc 1 nghiệm kép dương ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}P < 0\left{ begin{array}{l}Delta  = 0\S > 0end{array} right.end{array} right.)

+ Phương trình bậc 4 có 1 nghiệm duy nhất nếu $\ast$ có 1 nghiệm kép bằng $0$ hoặc có 1 nghiệm bằng $0$ và 1 nghiệm âm ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}Delta  = 0\S = 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}P = 0\S < 0end{array} right.end{array} right.)

+ Phương trình bậc 4 vô nghiệm nếu $\ast$ vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}Delta  < 0\left{ begin{array}{l}Delta  > 0\S < 0\P > 0end{array} right.end{array} right.).

– Bước 4: Kết luận điều kiện của $m$