Phép đối xứng trục

1. Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa

– Hai điểm $M,M^{\prime }$ được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng $a$ nếu $a$ là đường trung trực của đoạn thẳng $M{M}^{\prime }$, nếu $Mina$ thì $M^{\prime }equivM$.

– Phép đối xứng qua đường thẳng $a$ là phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành $M^{\prime }$ đối xứng với $M$ qua $a$, biến đường thẳng $a$ thành chính nó.

– Kí hiệu: $D_a$ $phépđốixứngtrụcquađườngthẳng(a$).

Như vậy $D_{a}left(Mright$ = M’ Leftrightarrow overrightarrow {HM}  =  – overrightarrow {HM’} ) với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $a$.

b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

Cho điểm $Mleft(x;yright$). Phép đối xứng qua trục $Ox$ biến điểm $M$ thành $M^{\prime }$ thì $M^{\prime }left(x;–yright$).

c) Tính chất phép đối xứng trục

– Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

– Biến một đường thẳng thành đường thẳng.

– Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng bằng nó.

– Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

– Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

d) Hình có trục đối xứng

Đường thẳng $d$ được gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu phép đối xứng trục $D_d$ biến hình $H$ thành chính nó, tức là $D_{d}left(Hright$ = H)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điểm đối xứng với một điểm qua đường thẳng cho trước.

Cho đường thẳng $d$ và điểm $M$ cho trước. Tìm điểm $M^{\prime }$ đối xứng với $M$ qua $d$.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm hình chiếu $H$ của $M$ trên $d$.

+) Viết phương trình đường thẳng $Delta$ qua $M$ và vuông góc với $d$.

+) Hình chiếu $H$ là giao điểm của $d$ và $Delta$.

– Bước 2: Tìm tọa độ điểm $M^{\prime }$.

Điểm $M^{\prime }$ là ảnh của $M$ nếu $H$ là trung điểm của $M{M}^{\prime }$.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng đã cho qua phép đối xứng qua đường thẳng.

Cho đường thẳng $d$ và $Delta$, viết phương trình đường thẳng $d^{\prime }$ đối xứng với $d$ qua $Delta$.

Phương pháp:

– Bước 1: Lấy hai điểm phân biệt bất kì thuộc $d$, tìm các điểm đối xứng với hai điểm lấy được qua đường thẳng .

– Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ảnh.

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn đối xứng với đường tròn qua đường thẳng.

Cho đường tròn $left(Cright$) và đường thẳng $d$. Viết phương trình đường tròn $left(C^{\prime }right$) đối xứng với $left(Cright$) qua $d$.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn.

– Bước 2: Tìm tọa độ điểm đối xứng với tâm qua đường thẳng.

– Bước 3: Viết phương trình đường tròn có tâm vừa tìm được và bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho.