1. Phép biến hình
– Điểm
– Nếu
– Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
2. Phép tịnh tiến
a. Định nghĩa
b. Tính chất
– Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm
– Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
– Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ $left
Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ
3. Phép đối xứng trục
a. Định nghĩa
Phép đối xứng qua một đường thẳng
b. Tính chất
+)
+)
+)
– Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
– Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
– Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ
– Nếu (a equiv Ox Rightarrow left{ begin{array}{l}x = x’\y = – y’end{array} right.)
– Nếu (a equiv Oy Rightarrow left{ begin{array}{l}x = – x’\y = y’end{array} right.)
4. Phép đối xứng tâm
a. Định nghĩa
Cho điểm
b. Tính chất
– Nếu
– Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nóm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
– Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
– Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ
5. Phép quay
a. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho điểm $O$ cố định và góc lượng giác $alpha $ không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm
thành điểm $M’$ sao cho $OM = OM’$ và $left
Kí hiệu: ${Q_{left
${Q_{left
b. Tính chất
– Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác
– Với $k in mathbb{Z}$ ta luôn có: ${Q_{left
– Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
– Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
– Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự.
c. Biểu thức tọa độ
$left{ begin{array}{l}x’ – {x_0} = left
Đặc biệt:
+) $varphi = 90^circ Rightarrow left{ begin{array}{l}x’ = – y\y’ = xend{array} right.$
+) Nếu $varphi = – 90^circ Rightarrow left{ begin{array}{l}x’ = y\y’ = – xend{array} right.$
+) Nếu $varphi = 180^circ Rightarrow left{ begin{array}{l}x’ = – x\y’ = – yend{array} right.$
6. Phép vị tự
a. Định nghĩa
Cho điểm $O$ cố định và số $k ne 0$ không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm
Kí hiệu:
b. Tính chất
– Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm $M, N$ tùy ý theo thứ tự thành
– Phép vị tự tỉ số $k:$
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng.
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
+ Biến đường tròn bán kính ${rm{R}}$ thành đường tròn có bán kính $left| k right|.R$
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ
Khi đó (left{ begin{array}{l}x’ = kx + left
7. Phép đồng dạng
a. Định nghĩa
Một phép biến hình
Nhận xét:
– Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số
– Phép vị tự tỉ số
– Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì ta được một phép đồng dạng.
b. Tính chất
– Phép đồng dạng tỉ số
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toán thứ tự giữa chúng.
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.
+ Biến một đường tròn bán kính
8. Phép dời hình và hai hình bằng nhau
– Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
– Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.