I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Các giới hạn đặc biệt
2. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
3. Định lý kẹp
Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\)
II. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Giới hạn đặc biệt
Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số cũng tương tự với giới hạn dãy số.
2. Giới hạn một bên
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục
- Tại một điểm \({x_0}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
- Trong một khoảng: liên tục tại mọi điểm trong khoảng.
- Trong một đoạn \(\left[ {a;b} \right]\): liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
2. Tính chất có nghiệm của phương trình
- Nếu \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\) hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm.
- Nếu \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\), đặt \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\). Khi đó với mọi \(T \in \left( {m;M} \right)\) luôn tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = T\).
