1. Tập hợp
a. Định nghĩa
Tập hợp là khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và cuộc sống. Ta hiểu tập hợp thông qua các ví dụ.
Cách viết tập hợp
+ Tên tập hợp được viết bằng các chữ cái in hoa : A ; B ; C ;...
+ Để viết tập hợp thường có hai cách :
- Liệt kê các phần tử của tập hợp
- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó
Kí hiệu:
+) \(3 \in A\) đọc là \(3\) thuộc A hoặc \(3\) là phần tử của A.
+) \(7 \notin A\) đọc là \(7\) không thuộc A hoặc \(7\) là phần tử của A.
2. Tập hợp các số tự nhiên
Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là $N$ , tập hợp các số tự nhiên khác \(0\) kí hiệu là \({N^*}\) .
Ta có
$N = \left\{ {0;1;2;3;4;......} \right\}$
${N^*} = \left\{ {1;2;3;4;......} \right\}$
Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số. Trên tia số, điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn.
3. Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên
a) So sánh hai số tự nhiên
+ Trong hai số tự nhiên khác nhau, có một số nhỏ hơn số kia, ta viết \(a < b\) hoặc \(b > a.\)
Ngoài ra ta cũng viết \(a \ge b\) để chỉ \(a > b\) hoặc \(a = b.\)
+ Nếu \(a < b\) và \(b < c\) thì \(a < c.\)
+ Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị. Mỗi số tự nhiên có một số liền sau duy nhất và một số liền trước duy nhất.
+ Số 0 là số tự nhiên bé nhất
b) Ghi số tự nhên
Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, người ta dùng mười chữ số là \(0;1;2;3;4;5;6;7;8;9.\)
Trong hệ thập phân, cứ mười đơn vị của một hàng thì làm thành đơn vị của hàng liền trước đó.
Ví dụ: \(\overline {abc} = a.100 + b.10 + c\) với \(a \ne 0.\)
Ngoài cách ghi số tự nhiên như trên ta còn sử dụng cách ghi số La mã.
Trong hệ La mã để ghi số tự nhiên người ta dùng bảy chữ số \(I;V;X;L;C;D;M\) có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là \(1;5;10;50;100;500;1000\). Mỗi chữ số La Mã không viết liền nhau quá ba lần nên sáu số đặc biệt (trong các số này, chữ số có giá trị nhỏ đứng trước chữ số có giá trị lớn làm giảm giá trị của chữ số có giá trị lớn) là \(IV;IX;XL;XC;XD\) (có giá trị trong hệ thập phân tương ứng là \(4;9;40;90;400;900.\))
4. Số phần tử của một tập hợp, tập hợp con
a. Số phần tử của một tập hợp
Một tập hợp có thể có một phần tử , có nhiều phần tử, có vô sô phần tử cũng có thể không có phần tử nào ( gọi là tập rỗng : $\emptyset $ )
b. Tập hợp con
- Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B
- Kí hiệu : $ \subset $
- Mỗi tập hợp đều là tập hợp con của chính nó. Quy ước: tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp.
* Cách tìm số tập hợp con của một tập hợp: Nếu A có $n$ phần tử thì số tập hợp con của tập hợp A là ${2^n}$ .
- Giao của hai tập hợp (kí hiệu: \( \cap \)) là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.
5. Các phép toán về số tự nhiên
a) Phép cộng
b) Phép nhân
Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên
c. Phép trừ
Chú ý: Điều kiện để thực hiện được phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ.
d. Phép chia
Tổng quát:
Cho hai số tự nhiên $a$ và $b,$ trong đó $b \ne 0,$ ta luôn tìm được hai số tự nhiên $q$ và $r$ duy nhất sao cho:
$a = b.q + r$ trong đó $0 \le r < b$
(số bị chia) = (số chia) . (thương) + (số dư)
Nếu $r = 0$ thì ta có phép chia hết.
Nếu $r \ne 0$ thì ta có phép chia có dư.
Chú ý:
Tính chất phân phối của phép chia với phép trừ
6. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
a. Định nghĩa
Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a :
${a^n} = a.a \ldots ..a$ ($n$ thừa số $a$ ) ($n$ khác $0$ )
$a$ được gọi là cơ số.
$n$ được gọi là số mũ.
${a^2}$ gọi là $a$ bình phương (hay bình phương của $a$ );
${a^3}$ gọi là $a$ lập phương (hay lập phương của $a$ )
Quy ước: ${a^1} = a$; ${a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right).$
b. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số
c. Chia hai lũy thừa cùng cơ số
c. Mở rộng
7. Thứ tự thực hiện phép tính
8. Tính chất chia hết của một tổng
- Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.
\(a\, \vdots \,m;\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots m\)
- Tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
$a \not {\vdots\, m};\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \not {\vdots}\, m$
Mở rộng
Tính chất 3: \(a \vdots m \Rightarrow k.a \vdots m\,\,\left( {k \in N} \right)\)
Tính chất 4: \(a \vdots m;\,b \vdots m \Rightarrow ab \vdots m\)
Tính chất 5: \(a \vdots b \Rightarrow {a^n} \vdots {b^n}\)
9. Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
10. Ước và bội
a. Định nghĩa
- Nếu có số tự nhiên $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$ thì ta nói $a$ là bội của $b,$ còn $b$ là ước của $a.$
b. Cách tìm bội
- Ta có thể tìm các bội của một số khác \(0\) bằng cách nhân số đó lần lượt với $0,1,2,3,...$
c. Cách tìm ước
- Ta có thể tìm các ước của $a$\(\left( {a > 1} \right)\) bằng cách lần lượt chia $a$ cho các số tự nhiên từ $1$ đến $a$ để xét xem $a$ chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của $a.$
11. Số nguyên tố, hợp số
a. Định nghĩa
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1,$ chỉ có $2$ ước là $1$ và chính nó.
- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn $1,$ có nhiều hơn $2$ ước.
b. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
- Phân tích một số tự nhiên lớn hơn $1$ ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
Ta có thể phân tích theo hàng dọc như sau:
Chia số $n$ cho một số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn ), rồi chia thương tìm được cho một số nguyên tố (cũng xét từ nhỏ đến lớn), cứ tiếp tục như vậy cho đến khi thương bằng $1.$
Nhận xét:
* Cách tính số lượng các ước của một số $m\left( {m > 1} \right)$: ta xét dạng phân tích của số m ra thừa số nguyên tố:
Nếu $m = {a^x}$ thì $m$ có $x + 1$ ước
Nếu $m = {a^x}.{b^y}$ thì $m$ có $\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)$ ước
Nếu $m = {a^x}.{b^y}.{c^z}$ thì $m$ có $\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)$ ước.
12. Ước chung và bội chung
a. Ước chung
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Nhận xét:
+) \(x \in \)ƯC\(\left( {a;b} \right)\) nếu \(a \vdots x\) và \(b \vdots x.\)
+) \(x \in \)ƯC\(\left( {a;b;c} \right)\) nếu \(a \vdots x\) ; \(b \vdots x\) và \(c \vdots x.\)
b. Bội chung
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Nhận xét:
+) \(x \in BC\left( {a;b} \right)\) nếu \(x \vdots a\) và \(x \vdots b\)
+) \(x \in BC\left( {a;b;c} \right)\) nếu \(x \vdots a\); \(x \vdots b\) và \(x \vdots c\)
Chú ý:
Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.
Kí hiệu: Giao của tập hợp A và tập hợp B là \(A \cap B\)
13. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
a. Ước chung lớn nhất
+) Định nghĩa: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
+) Cách tìm ước chung lớn nhất –ƯCLN
Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau :
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Chú ý: Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
+) Cách tìm ƯC thông qua ƯCLN
Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có tể tìm các ươc của ƯCLN của các số đó.
b. Bội chung nhỏ nhất
+) Định nghĩa
Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.
+) Cách tìm bội chung nhỏ nhất-BCNN
Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau :
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
+) Cách tìm bội chung thông qua bội chung nhỏ nhất
Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
