Một số phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

– Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích $A . B = 0$ hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,…

– Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện $n ế u c ó$ .

2. Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác

Phương trình dạng $a f^{2} l e f t (x r i g h t$ + bfleft $x r i g h t$ + c = 0left $a, b, c i n R; a n e 0 r i g h t$ ), ở đó $f l e f t (x r i g h t$ = sin uleft $x r i g h t$ ) (hoặc $c o s u l e f t (x r i g h t$ ,tan uleft $x r i g h t$ ,cot uleft $x r i g h t$ )).

Phương pháp chung:

– Bước 1: Đặt $t = f l e f t (x r i g h t$ ) và đặt điều kiện cho $t$ .

– Bước 2: Thay $t$ vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với $t$ , kết hợp điều kiện tìm $t$ .

– Bước 3: Giải phương trình $f l e f t (x r i g h t$ = t) tìm $x$ và kết luận (chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của $x$ ).

3. Phương trình bậc nhất đối với $s i n x$ và $c o s x$

Phương trình dạng: $a c o s x + b s i n x = c l e f t (a^{2} + b^{2} > 0 r i g h t$ ).

Phương pháp chung:

Cách 1: $T h ư ờ n g d ù n g c h o g i ả i p h ư ơ n g t r ì n h$

– Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: $a^{2} + b^{2} g e c^{2}$ .

– Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho $s q r t a^{2} + b^{2}$ thì phương trình có dạng:

$d f r a c a s q r t a^{2} + b^{2} c o s x + d f r a c b s q r t a^{2} + b^{2} s i n x = d f r a c c s q r t a^{2} + b^{2}$ .

– Bước 3: Đặt $c o s a l p h a = d f r a c a s q r t a^{2} + b^{2}, s i n a l p h a = d f r a c b s q r t a^{2} + b^{2}$ thì phương trình trở thành $c o s l e f t (x - a l p h a r i g h t$ = dfrac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}).

– Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm $x$ .

Cách 2: $T h ư ờ n g d ù n g đ ể g i ả i v à b i ệ n l u ậ n$ :

– Bước 1: Xét $x = p i + k 2 p i L e f t r i g h t a r r o w d f r a c x 2 = d f r a c p i 2 + k p i$ có là nghiệm hay không.

– Bước 2: Xét $x n e p i + k 2 p i L e f t r i g h t a r r o w d f r a c x 2 n e d f r a c p i 2 + k p i$ thì đặt $t = t a n d f r a c x 2 R i g h t a r r o w s i n x = d f r a c 2 t 1 + t^{2}, c o s x = d f r a c 1 - t^{2} 1 + t^{2}$ ta được phương trình bậc hai theo $t : l e f t (b + c r i g h t$ {t^2} – 2at + c – b = 0).

– Bước 3: Giải phương trình trên tìm $t R i g h t a r r o w x$ và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.

4. Phương trình đẳng cấp đối với $s i n x$ và $c o s x$

Phương trình dạng $a_{0} s i n^{n} x + a_{1} s i n^{n - 1} x c o s x + \dots + a_{n - 1} s i n x c o s^{n - 1} x + a_{n} c o s^{n} x = 0$ .

Phương pháp chung:

– Bước 1: Xét $c o s x = 0 R i g h t a r r o w s i n x = 1$ , thay vào phương trình xem có thỏa mãn hay không.

– Bước 2: Xét $c o s x n e 0$ , chia hai vế của phương trình cho $c o s^{n} x n e 0$ và đặt $t a n x = t$ .

– Bước 3: Giải phương trình ẩn $t$ tìm nghiệm $t$ .

– Bước 4: Giải phương trình $t a n x = t$ tìm nghiệm, kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

6. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với $s i n x$ và $c o s x$

Phương trình dạng $a l e f t (s i n x + c o s x r i g h t$ + bsin xcos x + c = 0).

Phương pháp chung:

– Bước 1: Đặt $s i n x + c o s x = t R i g h t a r r o w s i n x c o s x = d f r a c t^{2} - 1 2$ .

– Bước 2: Thay vào phương trình tìm $t$ .

– Bước 3: Giải phương trình $s i n x + c o s x = t L e f t r i g h t a r r o w s q r t 2 s i n l e f t (x + d f r a c p i 4 r i g h t$ = t) để tìm $x$ .