1. Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập $X$ nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc $X$ ta được một mệnh đề.
Ví dụ:
+)
Với
+)
Với
2. Kí hiệu $forall $ và $exists $
+) Mệnh đề “$forall x in X,Pleft
+) Mệnh đề “$exists x in X,Pleft
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$forall x in X,Pleft
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$exists x in X,Pleft
Ví dụ: Cho mệnh đề chứa biến
+) Mệnh đề “
Đây là mệnh đề sai vì với
+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề “
Đây là mệnh đề đúng vì với
+) Mệnh đề “
Đây là mệnh đề đúng vì với
+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề “
Đây là mệnh đề sai vì với
3. Định lý và chứng minh định lý
a) Định lý
– Định lý là một mệnh đề đúng, nhiều định lý được phát biểu dưới dạng
“
trong đó
– Chứng minh định lý là dùng suy luận và những kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh đề
b) Chứng minh định lý
Giả sử ta cần chứng minh định lí: $A Rightarrow B$.
Cách 1
Ví dụ: Chứng minh định lý: Nếu
Giải:
Vì
Khi đó
Cách 2
Ví dụ: Chứng minh định lý: Với mọi số tự nhiên
Giải:
Giả sử phản chứng, nếu
Khi đó:
Vậy
4. Định lý đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ
+) Cho định lý dạng “
Khi đó,
Phát biểu mệnh đề
Cách 1: Với mọi
Cách 2:
Cách 3:
+) Mệnh đề “
Khi đó
Viết gộp “
Ví dụ: Cho định lý “Trong một tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau”.
Ta có thể phát biểu định lý lại như sau: “Cho một tam giác bất kì, nếu nó là tam giác cân thì hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau”.
Mệnh đề đảo của định lý là: “Cho một tam giác bất kì, nếu nó có hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau thì nó là tam giác cân”.
Mệnh đề này đúng nên ta có định lý gộp như sau:
“Một tam giác bất kì là tam giác cân nếu và chỉ nếu hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau.”