Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js

Mệnh đề chứa biến và áp dụng vào suy luận toán học

1. Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập $X$  nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc $X$ ta được một mệnh đề.

Ví dụ:

+) Pleft(xright): “x2+1ge0” là một mệnh đề chứa biến.

Với x=1 thì Pleft(1right): “12+1>0” là một mệnh đề đúng.

+) Qleft(mright): “2m1>3” là một mệnh đề chứa biến.

Với m=0 thì Qleft(0right): “2.01>3” là một mệnh đề sai.

2. Kí hiệu $forall $ và $exists $

+) Mệnh đề “$forall x in X,Pleftxright$”, đọc là “Với mọi x thuộc X ta đều có Pleft(xright)”.

+) Mệnh đề “$exists x in X,Pleftxright$”, đọc là “Tồn tại x thuộc X để có Pleft(xright)”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$forall x in X,Pleftxright$” là “$exists x in X,overline {Pleftxright} $”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$exists x in X,Pleftxright$” là “$forall x in X,overline {Pleftxright} $”.

Ví dụ: Cho mệnh đề chứa biến Qleft(nright): “2n1 là số nguyên tố”.

+) Mệnh đề “forallninN,Qleft(nright)” phát biểu là: Với mọi n là số nguyên dương ta đều có 2n1 là số nguyên tố.

Đây là mệnh đề sai vì với n=4 thì 241=15 không là số nguyên tố.

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề “forallninN,Qleft(nright)” là “existsninN,overlineQleft(nright)”, phát biểu là: Tồn tại số nguyên dương n để 2n1 không là số nguyên tố.

Đây là mệnh đề đúng vì với n=4 thì 241=15 không là số nguyên tố.

+) Mệnh đề “existsinN,Qleft(nright)” phát biểu là: Tồn tại n là số nguyên dương để 2n1 là số nguyên tố.

Đây là mệnh đề đúng vì với n=3 thì 231=7 là số nguyên tố.

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề “existsninN,Qleft(nright)” là “forallninN,overlineQleft(nright)”, phát biểu là: Với mọi số nguyên dương n ta đều có 2n1 không là số nguyên tố.

Đây là mệnh đề sai vì với n=3 thì 231=7 là số nguyên tố.

3. Định lý và chứng minh định lý

a) Định lý

– Định lý là một mệnh đề đúng, nhiều định lý được phát biểu dưới dạng

forallxinX,Pleft(xright Rightarrow Qleftxright)”     1

trong đó Pleft(xright,Qleftxright) là những mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó.

– Chứng minh định lý là dùng suy luận và những kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh đề 1 là đúng, tức là cần chứng tỏ rằng với mọi x thuộc XPleft(xright) đúng thì Qleft(xright) đúng.

b) Chứng minh định lý

Giả sử ta cần chứng minh định lí: $A Rightarrow B$.

Cách 1 Chngminhtrctiếp: Ta giả thiết $A$ đúng, dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh $B$ đúng.

Ví dụ: Chứng minh định lý: Nếu n là số tự nhiên chẵn thì n2 chia hết cho 4.

Giải:

n chẵn nên n=2kleft(kinNright).

Khi đó n2=left(2kright)2=4k2vdots4, ta được điều phải chứng minh.

Cách 2 Chngminhphnchng: Ta giả thiết $B$ sai, từ đó chứng minh $A$ sai. Do $A$ không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là $B$ phải đúng.

Ví dụ: Chứng minh định lý: Với mọi số tự nhiên n, nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số lẻ.

Giải:

Giả sử phản chứng, nếu n chẵn thì n=2k,kinN.

Khi đó:

3n+2=3.2k+2=6k+2=2left(3k+1right vdots 2) nên 3n+2 là số tự nhiên chẵn, trái với dữ kiện bài cho.

Vậy n lẻ.

4. Định lý đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ

+) Cho định lý dạng “forallxinX,Pleft(xright Rightarrow Qleftxright)”   1

Khi đó, Pleft(xright) là giả thiết, Qleft(xright) là kết luận của định lý.

Phát biểu mệnh đề 1:

Cách 1: Với mọi x thuộc X, nếu có Pleft(xright) thì có Qleft(xright).

Cách 2: Pleft(xright) là điều kiện đủ để có Qleft(xright).

Cách 3: Qleft(xright) là điều kiện cần để có Pleft(xright).

+) Mệnh đề “forallxinX,Qleft(xright Rightarrow Pleftxright)” 2 được gọi là định lý đảo của định lý 1 nếu nó đúng.

Khi đó 1 là định lý thuận, 2 là định lý đảo.

Viết gộp “forallxinX,Pleft(xright Leftrightarrow Qleftxright)”, ta nói “Pleft(xright) là điều kiện cần và đủ để có Qleft(xright)” hoặc “Pleft(xright) khi và chỉ khi Qleft(xright)” hoặc “Điều kiện cần và đủ để có Pleft(xright) là có Qleft(xright)”.

Ví dụ: Cho định lý “Trong một tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau”.

Ta có thể phát biểu định lý lại như sau: “Cho một tam giác bất kì, nếu nó là tam giác cân thì hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau”.

Mệnh đề đảo của định lý là: “Cho một tam giác bất kì, nếu nó có hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau thì nó là tam giác cân”.

Mệnh đề này đúng nên ta có định lý gộp như sau:

“Một tam giác bất kì là tam giác cân nếu và chỉ nếu hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau.”

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *