Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1. Định nghĩa

– Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $Delta$ là khoảng cách giữa hai điểm $M$ và $H$, trong đó $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên đường thẳng $Delta$.

Kí hiệu: $dleft(M,Deltaright$ = MH) trong đó $H$ là hình chiếu của $M$ trên $Delta$.

2. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp:

Để tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $Delta $ ta cần xác định được hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên đường thẳng $Delta $, rồi xem $MH$ là đường cao của một tam giác nào đó để tính.

Điểm $H$ thường được dựng theo hai cách sau:

Cách 1: Trong $mpleft$M,Deltaright$$ vẽ $MH bot Delta  Rightarrow dleft$M,Deltaright$ = MH$

Cách 2: Dựng mặt phẳng $left$alpharight$$ qua $M$ và vuông góc với $Delta $ tại $H$.

Khi đó $dleft$M,Deltaright$ = MH$.

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ với $SA$ vuông góc với $left$ABCright$$ và $SA{rm{ }} = {rm{ }}3a.$ Diện tích tam giác $ABC$ bằng $2a^2,BC=a$. Khoảng cách từ $S$ đến $BC$ bằng bao nhiêu?

A. $2a.$

B. $4a.$

C. $3a.$                          

D. $5a.$

Hướng dẫn giải:

Kẻ $AH$ vuông góc với $BC:$ $S_{DeltaABC}=dfrac12AH.BCRightarrowAH=dfrac2.S_{DeltaABC}BC=dfrac4a^{2}a=4a$

Ta có: $SAbotleft(ABCright$ Rightarrow SA bot BC)

Lại có $AHbotBC$ nên $BCbotleft(SAHright$ Rightarrow BC bot SH)

Do đó khoảng cách từ $S$ đến $BC$ chính là $SH.$

Dựa vào tam giác vuông $DeltaSAH$ ta có $SH=sqrtS{A}^2+A{H}^2=sqrt{(3a)}^2+{(4a)}^2=5a$