Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỷ

1. Kiến thức cần nhớ

2. Các dạng toán thường gặp

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm các tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

+ Tiệm cận đứng là đường thẳng $x=x_0$ song song với trục $Oy$, khi đó $x_0$ là nghiệm của mẫu thức.

+ Tiệm cận ngang là đường thẳng $y=y_0$ song song với trục $Ox$, khi đó $y_0=dfracac$.

– Bước 2: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với hai trục tọa độ.

+ Giao điểm của đồ thị với trục $Oy$ là $left(0;dfracbdright$).

+ Giao điểm của đồ thị với trục $Ox$ là $left(–dfracba;0right$).

– Bước 3: Xét tính đơn điệu của hàm số.

+ Hai nhánh đồ thị hướng lên từ trái qua phải thì hàm số đồng biến $Leftrightarrowad–bc>0$.

+ Hai nhánh đồ thị hướng xuống từ trái qua phải thì hàm số nghịch biến $Leftrightarrowad–bc<0$.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Tại điểm $x_0$ mà $mathoplimlimit{s}_{xto{x}_0^{–}}y=pminfty$ hoặc $mathoplimlimit{s}_{xto{x}_0^{+}}y=pminfty$ thì $x=x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, khi đó $x_0$ là nghiệm của mẫu thức.

+ Nếu có $y=y_0$ tại điểm $x=pminfty$ thì $y=y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, khi đó $y_0=dfracac$.

– Bước 2: Xét tính đơn điệu của hàm số.

+ Nếu trên cả 2 khoảng $left(–infty;x_{0}right$) và $left(x_0;+inftyright$), đạo hàm đều mang dấu $+$ thì hàm số đồng biến trên 2 khoảng đó, khi đó $ad–bc>0$.

+ Nếu trên cả 2 khoảng $left(–infty;x_{0}right$) và $left(x_0;+inftyright$), đạo hàm đều mang dấu $–$ thì hàm số nghịch biến trên 2 khoảng đó, khi đó $ad–bc<0$.