1. Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Định nghĩa 2: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác \(0\)).
Định lý 2:
a) Hàm đa thức liên tục trên \(R\).
b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
c) Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lý 3: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) lên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số.
- Bước 1: Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\)
- Bước 2: So sánh và kết luận.
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) thì hàm số liên tục tại \({x_0}\).
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) không tồn tại hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\) thì kết luận hàm số không liên tục tại \({x_0}\).
Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm.
Phương pháp:
- Bước 1: Chứng mình hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
- Bước 2: Chứng mình \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\).
- Bước 3: Kết luận phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
