Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Hàm số $y = f l e f t (x r i g h t$ ) có giới hạn là số $L$ khi $x$ dần tới $x_{0}$ kí hiệu là $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}} f l e f t (x r i g h t$ = L).

Nhận xét: $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}} x = x_{0}, m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}} c = c$ với $c$ là hằng số.

Định lý: Giả sử $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}} f l e f t (x r i g h t$ = L,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft $x r i g h t$ = M). Khi đó:

+) $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}} l e f t [f l e f t (x r i g h t) + g l e f t (x r i g h t) r i g h t] = L + M$

+) $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}} l e f t [f l e f t (x r i g h t) - g l e f t (x r i g h t) r i g h t] = L - M$

+) $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}} l e f t [f l e f t (x r i g h t) . g l e f t (x r i g h t) r i g h t] = L . M$

+) $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}} d f r a c f l e f t (x r i g h t) g l e f t (x r i g h t) = d f r a c L M$ với $M n e 0$

Nếu $f l e f t (x r i g h t$ ge 0) và $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}} f l e f t (x r i g h t$ = L) thì $L g e 0$ và $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}} s q r t f l e f t (x r i g h t) = s q r t L$ .

2. Giới hạn một bên

Số $L$ là:

+ giới hạn bên phải của hàm số $y = f l e f t (x r i g h t$ ) kí hiệu là $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}^{+}} f l e f t (x r i g h t$ = L)

+ giới hạn bên trái của hàm số $y = f l e f t (x r i g h t$ ) kí hiệu là $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}^{-}} f l e f t (x r i g h t$ = L)

Định lý: $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o x_{0}} f l e f t (x r i g h t$ = L Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } fleft $x r i g h t$ = mathop {lim }limits_{x to x_0^ – } fleft $x r i g h t$ = L)

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Hàm số $y = f l e f t (x r i g h t$ ) có giới hạn là số $L$ khi $x t o + i n f t y$ $h o ặ c (x t o - i n f t y$ ) kí hiệu là: $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o + i n f t y} f l e f t (x r i g h t$ = L) $h o ặ c (m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o - i n f t y} f l e f t (x r i g h t$ = L))

4. Giới hạn vô cực của hàm số

a) Giới hạn vô cực

Hàm số $y = f l e f t (x r i g h t$ ) có giới hạn là $p m i n f t y$ khi $x t o p m i n f t y$ kí hiệu là $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o p m i n f t y} f l e f t (x r i g h t$ = x = pm infty )

b) Một vài giới hạn đặc biệt

+) $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o + i n f t y} x^{k} = + i n f t y$ với $k$ nguyên dương.

+) $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o - i n f t y} x^{k} = + i n f t y$ nếu $k$ chẵn và $m a t h o p l i m l i m i t s_{x t o - i n f t y} x^{k} = - i n f t y$ nếu $k$ lẻ.