Cực trị của hàm số

1. Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa: Cho hàm số $y = f l e f t (x r i g h t$ ) xác định và liên tục trên khoảng $l e f t (a; b r i g h t$ ) và điểm $x_{0} i n l e f t (a; b r i g h t$ ).

a) Hàm số $f l e f t (x r i g h t$ ) đạt cực đại tại $x_{0} L e f t r i g h t a r r o w e x i s t s h > 0, f l e f t (x r i g h t$ < fleft $x_{0} r i g h t$ ,forall x in left $x_{0} - h; x_{0} + h r i g h t$ backslash left{ {{x_0}} right})

Khi đó $f $x_{0}$ $ là giá trị cực đại của hàm số.

b) Hàm số $f l e f t (x r i g h t$ ) đạt cực tiểu tại

$x_{0} L e f t r i g h t a r r o w e x i s t s h > 0, f l e f t (x r i g h t$ > fleft $x_{0} r i g h t$ ,forall x in left $x_{0} - h; x_{0} + h r i g h t$ backslash left{ {{x_0}} right}) Khi đó $f $x_{0}$ $ là giá trị cực tiểu của hàm số.

a) Cần phân biệt các các khái niệm:

– Điểm cực trị $x_{0}$ của hàm số.

– Giá trị cực trị của hàm số.

– Điểm cực trị $l e f t (x_{0}; y_{0} r i g h t$ ) của đồ thị hàm số.

b) Nếu $y = f l e f t (x r i g h t$ ) có đạo hàm trên $l e f t (a; b r i g h t$ ) và đạt cực trị tại $x_{0} i n l e f t (a; b r i g h t$ ) thì $f^{'} l e f t (x_{0} r i g h t$ = 0).

Định lý 1:

Giả sử hàm số $y = f l e f t (x r i g h t$ ) liên tục trên khoảng $K = l e f t (x_{0} - h; x_{0} + h r i g h t$ ) và có đạo hàm trên $K$ hoặc $K b a c k s l a s h l e f t x_{0} r i g h t l e f t (h > 0 r i g h t$ ).

a) Nếu (left{ begin{array}{l}f’left $x r i g h t$ > 0,forall x in left $x_{0} - h r i g h t$ \f’left $x r i g h t$ < 0,forall x in left $x_{0} + h r i g h t$ end{array} right.) thì $x_{0}$ là một điểm cực đại của hàm số.

b) Nếu (left{ begin{array}{l}f’left $x r i g h t$ < 0,forall x in left $x_{0} - h r i g h t$ \f’left $x r i g h t$ > 0,forall x in left $x_{0} + h r i g h t$ end{array} right.) thì $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Định lý 2:

Giả sử $y = f l e f t (x r i g h t$ ) có đạo hàm cấp 2 trong $l e f t (x_{0} - h; x_{0} + h r i g h t$ left $h > 0 r i g h t$ ).

a) Nếu (left{ begin{array}{l}f’left $x_{0} r i g h t$ = 0\f”left $x_{0} r i g h t$ > 0end{array} right.) thì $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu (left{ begin{array}{l}f’left $x_{0} r i g h t$ = 0\f”left $x_{0} r i g h t$ < 0end{array} right.) thì $x_{0}$ là một điểm cực đại của hàm số.

2. Tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:

Quy tắc 1: $s u y r a t ừ đ ị n h l ý 1$

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính $f^{'} l e f t (x r i g h t$ ), tìm các điểm tại đó $f^{'} l e f t (x r i g h t$ = 0) hoặc không xác định.

– Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Quy tắc 2: $s u y r a t ừ đ ị n h l ý 2$

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính $f^{'} l e f t (x r i g h t$ ), giải phương trình $f^{'} l e f t (x r i g h t$ = 0) và kí hiệu $x_{1}, \dots, x_{n}$ là các nghiệm của nó.

– Bước 3: Tính $f ” l e f t (x r i g h t$ ) và $f ” l e f t (x_{i} r i g h t$ ).

– Bước 4: Dựa và dấu của $f ” l e f t (x_{i} r i g h t$ ) suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm $x_{i}$ mà $f ” l e f t (x_{i} r i g h t$ > 0) thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm $x_{i}$ mà $f ” l e f t (x_{i} r i g h t$ < 0) thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Đối với các bài toán tìm cực trị của hàm số lượng giác thì dùng quy tắc 2 sẽ thuận tiện hơn, tránh được việc xét dấu đạo hàm.

1. Các kiến thức cần nhớ

2. Tìm cực trị của hàm số

Bài Viết cùng chủ đề

Toán 8

Toán 7

Toán 6

Yến, tạ, tấn. Bảng đơn vị đo khối lượng

Xem đồng hồ

Xăng-ti-mét. Đo độ dài. Vẽ đoạn thẳng có độ dài cho trước.

Viết số thành tổng các trăm, chục, đơn vị.

Viết các số đo khối lượng dưới dạng số thập phân

Viết các số đo độ dài dưới dạng số thập phân

Để lại một bình luận Hủy