1. Các kiến thức cần nhớ
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức $A,B$ mà $B ge 0$, ta có $sqrt {{A^2}B} = left| A right|sqrt B $, tức là
+) Nếu $A ge 0$ và $B ge 0$ thì $sqrt {{A^2}B} = Asqrt B $
+) Nếu $A < 0$ và $B ge 0$ thì $sqrt {{A^2}B} = – Asqrt B $
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) Với $A ge 0$ và $B ge 0$ ta có $Asqrt B = sqrt {{A^2}B} $
+) Với $A < 0$ và $B ge 0$ ta có $Asqrt B = – sqrt {{A^2}B} $
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B ge 0;B ne 0$, ta có $sqrt {dfrac{A}{B}} = dfrac{{sqrt {AB} }}{{left| B right|}}$
Trục căn thức ở mẫu
+) Với các biểu thức $A,B$ mà $B > 0$, ta có $dfrac{A}{{sqrt B }} = dfrac{{Asqrt B }}{B}$
+) Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A ge 0,A ne {B^2}$, ta có $dfrac{C}{{sqrt A + B}} = dfrac{{Cleft
+) Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A ge 0,B ge 0,A ne B$ ta có
$dfrac{C}{{sqrt A – sqrt B }} = dfrac{{Cleft
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Phương pháp:
Sử dụng các công thức
* Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức $A,B$ mà $B ge 0$, ta có $sqrt {{A^2}B} = left| A right|sqrt B = left{ begin{array}{l}Asqrt B ,,{rm{khi}},,A ge 0\ – Asqrt B ,{rm{khi}},A < 0end{array} right.$
* Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) $Asqrt B = sqrt {{A^2}B} $ với $A ge 0$ và $B ge 0$
+) $Asqrt B = – sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B ge 0$
Dạng 2: So sánh hai căn bậc hai
Phương pháp:
Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai căn bậc hai theo mối liên hệ
$0 le A < B Leftrightarrow sqrt A < sqrt B $
Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Phương pháp:
Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn và hằng đẳng thức $sqrt {{A^2}} = left| A right|$.
Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu
Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu
Phương pháp:
Sử dụng các công thức
+) Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B ge 0;B ne 0$, ta có $sqrt {dfrac{A}{B}} = dfrac{{sqrt {AB} }}{{left| B right|}}$
+) Với các biểu thức $A,B$ mà $B > 0$, ta có $dfrac{A}{{sqrt B }} = dfrac{{Asqrt B }}{B}$
+) Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A ge 0,A ne {B^2}$, ta có $dfrac{C}{{sqrt A + B}} = dfrac{{Cleft
+) Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A ge 0,B ge 0,A ne B$ ta có
$dfrac{C}{{sqrt A – sqrt B }} = dfrac{{Cleft
Dạng 5: Giải phương trình
Phương pháp:
+) Tìm điều kiện
+) Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản
+) So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.
