4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
4.1. Phương pháp đổi biến
4.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1
4.1.1.1. Định lí
Nếu 1) Hàm $x=u(t)$ có đạo hàm liên tục trên $left[ alpha ;,,beta right]$
2) Hàm hợp $f(u(t))$ được xác định trên $left[ alpha ;,,beta right]$,
3) $u(alpha )=a,,,u(beta )=b$
Khi đó: $I=intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}=intlimits_{alpha }^{beta }{f(u(t)){{u}^{‘}}(t)dt}$.
4.1.1.2. Phương pháp chung
- Bước 1: Đặt $x=uleft( t right)$
- Bước 2: Tính vi phân hai vế : $x=u(t)Rightarrow dx=u'(t)dt$
Đổi cận: $left| begin{array}{l}
x = b\
x = a
end{array} right. Rightarrow left| begin{array}{l}
t = beta \
t = alpha
end{array} right.$
- Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t
Vậy: $I=intlimits_{a}^{b}{f(x)}dx=intlimits_{alpha }^{beta }{fleft[ u(t) right]u'(t)dt}=intlimits_{alpha }^{beta }{g(t)dt}$ $ = G(t)left| begin{array}{l}
beta \
alpha
end{array} right. = G(beta ) – G(alpha )$
4.1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2
4.1.2.1. Định lí
Nếu hàm số $u=u(x)$đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn $left[ a;b right]$ sao cho $f(x)dx=gleft( u(x) right)u'(x)dx=g(u)du$ thì: $I=intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}=intlimits_{u(a)}^{u(b)}{g(u)du}$.
4.1.2.2. Phương pháp chung
- Bước 1: Đặt $u=u(x)Rightarrow du={{u}^{‘}}(x)dx$
- Bước 2: Đổi cận : $left| begin{array}{l}
x = b\
x = a
end{array} right. Rightarrow left| begin{array}{l}
u = u(b)\
u = u(a)
end{array} right.$ - Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo $u$
Vậy: $I=intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}=intlimits_{a}^{b}{gleft[ u(x) right]}.u'(x)dx=intlimits_{u(a)}^{u(b)}{g(u)du}$
4.2. Phương pháp tích phân từng phần
4.2.1. Định lí
Nếu $uleft( x right)$ và $vleft( x right)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $left[ a;b right]$ thì:
$intlimits_a^b {u(x)v} ‘(x)d{rm{x}} = (u(x)v(x))left| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right. – u'(x)d{rm{x}}$ Hay $intlimits_a^b {udv} $ $= uvleft| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right.$$ – intlimits_a^b {vdu} $ Hay $intlimits_a^b {udv} $ $= uvleft| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right.$$ – intlimits_a^b {vdu} $
4.2.2. Phương pháp chung
- Bước 1: Viết $fleft( x right)dx$ dưới dạng $udv=u{{v}^{‘}}dx$ bằng cách chọn một phần thích hợp của $fleft( x right)$ làm $uleft( x right)$ và phần còn lại $dv=v'(x)dx$
- Bước 2: Tính $du=u’dx$ và $v=int{dv}$$=int{v'(x)dx}$
- Bước 3: Tính $intlimits_a^b {vu'(x)dx} $ và $uvleft| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right.$
* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
|
Đặt u theo thứ tự ưu tiên: Lốc-đa-mũ-lượng |
$intlimits_{a}^{b}{P(x){{e}^{x}}dx}$ |
$intlimits_{a}^{b}{P(x)ln xdx}$ |
$intlimits_{a}^{b}{P(x)cos xdx}$ |
$intlimits_{a}^{b}{{{e}^{x}}cos xdx}$ |
|
u |
P(x) |
lnx |
P(x) |
${{e}^{x}}$ |
|
dv |
${{e}^{x}}dx$ |
P(x)dx |
cosxdx |
cosxdx |
Chú ý: Nên chọn $u$ là phần của $fleft( x right)$ mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn $dv={{v}^{‘}}dx$ là phần của $fleft( x right)dx$ là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
