1. Các kiến thức cần nhớ
Sự tương giao giữa đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $left( P right):y = a{x^2}$$left( {a ne 0} right).$
Hình minh họa
Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $left( P right)$ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
$a{x^2} = mx + n Leftrightarrow a{x^2} – mx – n = 0$(*)
+) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $left( {Delta > 0} right)$thì $d$ cắt $left( P right)$ tại hai điểm phân biệt
+) Phương trình (*) có nghiệm kép $left( {Delta = 0} right)$thì $d$ tiếp xúc với $left( P right)$.
+) Phương trình (*) vô nghiệm $left( {Delta < 0} right)$thì $d$ không cắt $left( P right)$
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định số giao điểm của đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $left( P right):y = a{x^2}$$left( {a ne 0} right).$
Phương pháp:
Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $left( P right)$ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
$a{x^2} = mx + n Leftrightarrow a{x^2} – mx – n = 0$(*)
+) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $left( {Delta > 0} right)$thì $d$ cắt $left( P right)$ tại hai điểm phân biệt
+) Phương trình (*) có nghiệm kép $left( {Delta = 0} right)$thì $d$ tiếp xúc với $left( P right)$.
+) Phương trình (*) vô nghiệm $left( {Delta < 0} right)$thì $d$ không cắt $left( P right)$
Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $left( P right):y = a{x^2}$$left( {a ne 0} right).$
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm $a{x^2} = mx + n Leftrightarrow a{x^2} – mx – n = 0$(*)
Giải phương trình (*) tìm được $x$ suy ra $y$ . Tọa độ giao điểm là $left( {x;y} right)$.
Dạng 3: Xác định tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $left( P right):y = a{x^2}$$left( {a ne 0} right)$ cắt nhau tại điểm thỏa mãn điều kiện cho trước .
Phương pháp:
+) Đường thẳng $d$ cắt $left( P right)$ tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung $ Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0\S < 0\P > 0end{array} right.$
+) Đường thẳng $d$ cắt $left( P right)$ tại hai điểm phân biệt cùng nằm bên phải trục tung $ Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0\S > 0\P > 0end{array} right.$
+) Đường thẳng $d$ cắt $left( P right)$ tại hai điểm phân biệt nằm khác phía trục tung $ Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu $ Leftrightarrow ac < 0$
+) Đường thẳng $d$ cắt $left( P right)$ tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước (thường biến đổi biểu thức để sử dụng hệ thức Vi-et)
Dạng 4: Bài toán liên quan đến diện tích tam giác, diện tích hình thang và chiều cao.
Phương pháp:
Ta vận dụng linh hoạt các cách phân chia diện tích và công thức tính diện tích tam giác, hình thang để làm bài.
