Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu $left(Sright$) tâm $I$, bán kính $R$ và đường thẳng $Delta$ $điqua(M$ và có VTCP $overrightarrowu$). Khi đó:

+) $Deltacapleft(Sright$ = emptyset  Leftrightarrow dleft$I,Deltaright$ > R).

+) $Deltacapleft(Sright$ = left{ H right} Leftrightarrow dleft$I,Deltaright$ = R).

+) $Deltacapleft(Sright$ = left{ {A,B} right} Leftrightarrow dleft$I,Deltaright$ < R).

ở đó $R^2=d^{2}left(I,Deltaright$ + dfrac{{A{B^2}}}{4}) và $AB=2sqrt{R}^2–d^{2}left(I,Deltaright)$

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

– Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và so sánh với $R$.

– Bước 2: Kết luận dựa vào các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

Cách 2: Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu.

– Nếu phương trình vô nghiệm thì đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu.

– Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.

– Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát.

– Bước 2: Xét phương trình giao điểm của $d$ và $left(Sright$), điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng có mối quan hệ với đường thẳng và mặt cầu.

Phương pháp chung:

Xác định điểm đi qua và VTPT của mặt phẳng, từ đó viết phương trình.