Câu 39: Đáp án A
$fleft( x right)$ là hàm chẵn $Rightarrow intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right).dx}=2intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}=2.2018=4036$
$gleft( x right)+gleft( -x right)=1Leftrightarrow fleft( x right)left[ gleft( x right)+gleft( -x right) right]=fleft( x right)Leftrightarrow fleft( x right).gleft( x right)+fleft( x right).gleft( -x right)=fleft( x right)$
$Leftrightarrow intlimits_{-1}^{1}{left[ fleft( x right).gleft( x right)+fleft( x right).gleft( -x right) right]dx}=intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right)dx}Leftrightarrow intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right).gleft( x right)dx}+intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right).gleft( -x right)dx}=4036left( 1 right)$
để tính $intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right).gleft( x right)dx},$ đặt $t = – x Rightarrow dx = – dt,left{ begin{array}{l}
x = – 1 Rightarrow t = 1\
x = 1 Rightarrow t = – 1
end{array} right.$
$intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right).gleft( -x right)dx}=-intlimits_{1}^{-1}{fleft( -t right).gleft( t right)dx}=intlimits_{-1}^{1}{fleft( -t right).gleft( t right)dx}=intlimits_{-1}^{1}{fleft( -x right).gleft( x right)dx}=intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right).gleft( x right)dx}left( 2 right)$
Từ (1) và (2) $Rightarrow 2intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right).gleft( x right)dx}=4036Leftrightarrow intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right).gleft( x right)dx}=2018$
Câu 40: Đáp án B
Gắn hình lập phương $ABCD.ABCD$ vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: $left{ begin{array}{l}
A’ equiv O\
A’B’ equiv Ox\
A’D’ equiv Oy\
A’A equiv Oz
end{array} right.$
Vì kết quả không bị ảnh hưởng bởi độ dài cạnh của lập phương nên để thuận tiện tính toán, ta cho $a=1$
$Rightarrow A’left( 0;0;0 right),Bleft( 1;0;1 right),Cleft( 1;1;1 right),Dleft( 0;1;1 right)Rightarrow overrightarrow{A’B}=left( 1;0;1 right),overrightarrow{A’C}=left( 1;1;1 right),overrightarrow{A’D}=left( 0;1;1 right)$
Khi đó $mpleft( BA’C right)$ có một vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{{{n}_{1}}}=left[ overrightarrow{A’B},overrightarrow{A’C} right]=left( -1;0;1 right),$ $mpleft( DA’C right)$ có một vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{{{n}_{2}}}=left[ overrightarrow{A’D},overrightarrow{A’C} right]=left( 0;1;-1 right)$
Vậy
$cosleft( {left( {BA’C} right),left( {DA’C} right)} right) = left| {cosleft( {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_1}} } right|.left| {overrightarrow {{n_2}} } right|}} = frac{{left| { – 1} right|}}{{sqrt 2 sqrt 2 }} = frac{1}{2} Rightarrow left( {left( {BA’C} right),left( {DA’C} right)} right) = 60^circ $
Câu 41: Đáp án A
Đặt $A=intlimits_{3}^{4}{f’left( x right)dx}=intlimits_{3}^{4}{frac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=fleft( 4 right)-fleft( 3 right)$
$B=intlimits_{-1}^{0}{f’left( x right)dx}=intlimits_{-1}^{0}{frac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=fleft( 0 right)-fleft( 1 right)$
$C=intlimits_{-4}^{-3}{f’left( x right)dx}=intlimits_{-4}^{-3}{frac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=fleft( -3 right)-fleft( -4 right)$
$begin{array}{l}
Rightarrow fleft( 4 right) – fleft( 3 right) + fleft( 0 right) – fleft( { – 1} right) + fleft( { – 3} right) – fleft( { – 4} right) = A + B + C\
Leftrightarrow fleft( { – 3} right) – fleft( 3 right) + fleft( 0 right) – left( {A + B + C} right) = fleft( { – 4} right) + fleft( { – 1} right) – fleft( 4 right)\
Leftrightarrow fleft( { – 4} right) + fleft( { – 1} right) – fleft( 4 right) = frac{1}{3} – left( {A + B + C} right)
end{array}$
Dùng máy tính bỏ túi tính A, B, C và so sánh các đáp án $Rightarrow fleft( -4 right)+fleft( -1 right)-fleft( 4 right)=frac{1}{3}ln 2+frac{1}{3}$
Câu 42: Đáp án B
Dùng máy tính bỏ túi tính $intlimits_{0}^{1}{frac{xdx}{sqrt{5{{x}^{2}}+4}}=frac{1}{5}Rightarrow T={{1}^{2}}+{{5}^{2}}=26}$
Câu 43: Đáp án C
$begin{array}{l}
2{sin ^3}2x + msin 2x + 2m + 4 = 4co{s^2}2x Leftrightarrow 2{sin ^3}2x + msin 2x + 2m + 4 = 4left( {1 – {{sin }^2}2x} right)\
Leftrightarrow 2{sin ^3}2x + 4{sin ^2}2x + msin 2x + 2m = 0
end{array}$
Đặt $t = sin 2x Rightarrow t in left( {0;frac{pi }{6}} right) Leftrightarrow t in left( {0;frac{{sqrt 3 }}{2}} right),$
ta được $Leftrightarrow 2{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+mt+2m=0Leftrightarrow left( t+2 right)left( 2{{t}^{2}}+m right)=0$
Vì $tin left( 0;dfrac{sqrt{3}}{2} right)Rightarrow t+2>0,$ vậy $left( t+2 right)left( 2{{t}^{2}}+m right)=0Leftrightarrow 2{{t}^{2}}+m=0Leftrightarrow {{t}^{2}}=dfrac{-m}{2}$
Với $tin left( 0;dfrac{sqrt{3}}{2} right)Rightarrow 0le {{t}^{2}}<dfrac{3}{4},$ vậy để phương trình có nghiệm thì $0<dfrac{-m}{2}<dfrac{3}{4}Leftrightarrow -dfrac{3}{2}<m<0$
$Rightarrow m=-1left( min mathbb{Z} right)Rightarrow $ Có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 44: Đáp án D
Đặt độ dài $AB=b,$ chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: $Bequiv O,$ tia BA trùng với Ox, BC trùng với Oy, tia Bz song song với SA.
Khi đó: $Bleft( 0;0;0 right),Aleft( b;0;0 right),Cleft( 0;2text{a};0 right),Sleft( b;0;2asqrt{3} right).$
M là trung điểm AC $Rightarrow Mleft( dfrac{b}{2};a;0 right)$
$Rightarrow overrightarrow{BA}=left( b;0;0 right),overrightarrow{MS}=left( dfrac{b}{2};-a;2asqrt{3} right),overrightarrow{BM}=left( dfrac{b}{2};a;0 right)$
Vậy $dleft( AB,SM right)=dfrac{left| left[ overrightarrow{BA}.overrightarrow{MS} right].overrightarrow{BM} right|}{left| left[ overrightarrow{BA}.overrightarrow{MS} right] right|}Rightarrow dfrac{2asqrt{39}}{13}$
Câu 45: Đáp án D
$left| z-5+3i right|=3Leftrightarrow left| dfrac{3iz-9-15i}{3i} right|=3Leftrightarrow left| 3iz-9-15i right|=3left| 3i right|=9$
$left| iw+4+2i right|=2Leftrightarrow left| dfrac{-i}{2}left( -2w-4+8i right) right|=2Leftrightarrow left| dfrac{-i}{2} right|.left| -2w-4+8i right|=2Leftrightarrow left| -2w-4+8i right|=4$
Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn của 3iz và $-2wRightarrow $ A, B lần lượt thuộc các đường tròn tâm $O(9;15)$ bán kính bằng 9 và đường tròn tâm $I(4;-8)$ bán kính bằng $4Rightarrow OI=sqrt{554}text{ }$
Khi đó $T=left| 3iz+2w right|=left| 3iz-left( -2w right) right|=AB$
Yêu cầu bài toán trở thành tìm $A{{B}_{max}}$
Vì $OI=sqrt{554}>4+9$
$Rightarrow A{{B}_{max}}=AO+OI+IB=sqrt{554}+13$
Câu 46: Đáp án C
$y=dfrac{x+m}{mx+4}Rightarrow y’=dfrac{4-{{m}^{2}}}{{{left( mx+4 right)}^{2}}}$
Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định thì $y’ge 0Leftrightarrow dfrac{4-{{m}^{2}}}{{{left( mx+4 right)}^{2}}}ge 0Leftrightarrow 4-{{m}^{2}}ge 0Leftrightarrow -2le mle 2$
$m=pm 2Rightarrow y=dfrac{1}{2}$ hoặc $y=-dfrac{1}{2}$ là hàm hằng, không biến thiên.
Vậy giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $min left{ -1;0;1 right}$
Câu 47: Đáp án A
Gọi $hleft( h>0 right)$ là chiều cao của lăng trụ.
$Delta ABC$ vuông cân tại A, cạnh huyền $BC=asqrt{6}Rightarrow AB=AC=asqrt{3}$
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: $Aequiv O,$ tia AB trùng với Ox, AC trùng với Oy, AA’ trùng với Oz.
Khi đó: $Aleft( 0;0;0 right),Bleft( asqrt{3};0;0 right),Cleft( 0;asqrt{3};0 right),$
$B’left( asqrt{3};0;h right)$
$Rightarrow overrightarrow{AC}=left( 0;asqrt{3};0 right),overrightarrow{BC}=left( -asqrt{3};asqrt{3};0 right),$
$overrightarrow{B’C}=left( asqrt{3};-asqrt{3};h right)$
$Rightarrow overrightarrow{{{n}_{1}}}=left[ overrightarrow{AC};overrightarrow{B’C} right]=left( hasqrt{3};0;-3{{a}^{2}} right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $left( AB’C right)$
$overrightarrow{{{n}_{2}}}=left[ overrightarrow{BC};overrightarrow{B’C} right]=left( hasqrt{3};hasqrt{3};0 right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $left( BCC’B’ right)$
Vì $left( left( AB’C right),left( BCC’B’ right) right)=60{}^circ Rightarrow cosleft( left( AB’C right),left( BCC’B’ right) right)=left| cosleft( overrightarrow{{{n}_{1}}},overrightarrow{{{n}_{2}}} right) right|$
$begin{array}{l}
frac{1}{2} = frac{{left| {overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_1}} } right|.left| {overrightarrow {{n_2}} } right|}} = frac{{3{a^2}{h^2}}}{{sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} sqrt {6{a^2}{h^2}} }} Leftrightarrow sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} sqrt {6{a^2}{h^2}} = 6{a^2}{h^2} Leftrightarrow sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} = sqrt {6{a^2}{h^2}} \
Leftrightarrow 3{a^2}{h^2} + 9{a^4} = 6{a^2}{h^2} Leftrightarrow 9{a^4} = 3{a^2}{h^2} Leftrightarrow {h^2} = 3{a^2} Leftrightarrow h = asqrt 3
end{array}$
$begin{array}{l}
Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = asqrt 3 .frac{1}{2}{left( {asqrt 3 } right)^2} = frac{{{a^3}3sqrt 3 }}{2},{V_{B’.ABC}} = frac{1}{3}asqrt 3 .frac{1}{2}{left( {asqrt 3 } right)^2} = frac{{{a^3}sqrt 3 }}{2}\
Rightarrow {V_{AB’CA’C’}} = {V_{ABC.A’B’C’}} – {V_{B’.ABC}} = {a^3}sqrt 3
end{array}$
Câu 48: Đáp án D
$left| z-1 right|=5Leftrightarrow left| overline{z}-1 right|=5.$ Ta có:
$w=left( 2+3i right).overline{z}+3+4iLeftrightarrow overline{z}=dfrac{text{w}-3-4i}{2+3i}Leftrightarrow overline{z}-1=dfrac{text{w}-5-7i}{2+3i}Leftrightarrow left| overline{z}-1 right|=left| dfrac{text{w}-5-7i}{2+3i} right|=5$
$Leftrightarrow dfrac{left| text{w}-5-7i right|}{left| 2+3i right|}=5Leftrightarrow dfrac{left| text{w}-5-7i right|}{sqrt{13}}=5Leftrightarrow left| text{w}-5-7i right|=5sqrt{13}$
Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $(5;7),$ bán kính $5sqrt{13}$
Câu 49: Đáp án C
$I=intlimits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{{left( 2ax+b right)}^{2}}.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}dx}=intlimits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{{left( 2ax+b right)}^{2}}.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}left( 2ax+b right)dx}$
Đặt $a{x^2} + bx + c = t Rightarrow left( {2ax + b} right)dx = dt,{left( {2ax + b} right)^2} = gleft( t right),left{ begin{array}{l}
x = {x_1} Rightarrow t = ax_1^2 + b{x_1} + c = 0\
x = {x_2} Rightarrow t = ax_2^2 + b{x_2} + c = 0
end{array} right.$
$ Rightarrow intlimits_0^0 {gleft( t right).{e^t}.dt} = 0$
Câu 50: Đáp án A
Gọi M là trung điểm của AC, E là chân đường phân giác trong góc C. Ta có:$CE:frac{{x – 2}}{2} = frac{{y – 4}}{{ – 1}} = frac{{z – 2}}{{ – 1}} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 2 + 2t\
y = 4 – t\
z = 2 – t
end{array} right. Rightarrow Cleft( {2 + 2t;4 – t;2 – t} right).$
Mà $A(2;3;3),$
$Rightarrow Mleft( 2+t;dfrac{7-t}{2};dfrac{5-t}{2} right).$ Vì M thuộc đường trung tuyến kẻ từ B có phương trình $dfrac{x-3}{-1}=dfrac{y-3}{2}=dfrac{z-2}{-1}$
$Rightarrow dfrac{2+t-3}{-1};dfrac{dfrac{7-t}{2}-3}{2};dfrac{dfrac{5-t}{2}-2}{-1}Leftrightarrow t=1Rightarrow Cleft( 4;3;1 right)$
Kẻ AH vuông góc với CE tại H, cắt BC tại $DRightarrow Delta ACD$ cân tại C vậy H là trung điểm của AD.
$Hin CERightarrow Hleft( 2+2m;4-m;2-m right)Rightarrow overrightarrow{AH}=left( 2m;1-m;-1-m right),$ vectơ chỉ phương của CE là $overrightarrow{{{u}_{1}}}=left( 2;-1;-1 right)$
$begin{array}{l}
overrightarrow {AH} .overrightarrow u = 0 Leftrightarrow 4m + m – 1 + m + 1 = 0 Leftrightarrow m = 0 Rightarrow Hleft( {2;4;2} right) Rightarrow Dleft( {2;5;1} right) Rightarrow overrightarrow {CD} = left( { – 2;2;0} right)\
Rightarrow left{ begin{array}{l}
x = 4 – 2k\
y = 3 + 2k\
z = 1
end{array} right.,,,,,M = CD cap BM Rightarrow frac{{4 – 2k – 3}}{{ – 1}} = frac{{3 + 2k – 3}}{2} = frac{{1 – 2}}{{ – 1}} Leftrightarrow k = 1 Rightarrow D equiv Bleft( {2;5;1} right)
end{array}$
$Rightarrow overrightarrow{AB}=left( 0;2;-2 right).overrightarrow{u}=left( m;n;-1 right)$ là một vectơ chỉ phương của $ABRightarrow overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{u}$ cùng phương.
$Rightarrow overrightarrow{u}=left( 0;1;-1 right)Rightarrow m=0;n=1.$ Vậy $T={{m}^{2}}+{{n}^{2}}=1$
