Câu 35: Đáp án C
$y’=3left( {{x}^{2}}-2mx+3 right).$ Điều kiện hàm số có cực trị: ${{m}^{2}}-3>0$
Lúc này theo Viet: $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\
{x_1}{x_2} = 3
end{array} right..$ Theo giả thiết:
$left| {{x_1} – {x_2}} right| le 2 Leftrightarrow {left( {{x_1} – {x_2}} right)^2} le 4 Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 4{x_1}{x_2} le 4 Leftrightarrow {m^2} le 4.$
Mà m dương nên $3<{{m}^{2}}le 4Leftrightarrow sqrt{3}<mle 2$
Vậy $a=sqrt{3},b=2Rightarrow b-a=2-sqrt{3}$
Câu 36: Đáp án C
Điều kiện xác định: $x>-m-2$
Ta có: $y’=2x+dfrac{1}{x+m+2}=dfrac{2{{x}^{2}}+2left( m+2 right)x+1}{x+m+2}$
Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì $gleft( x right)=2{{x}^{2}}+2left( m+2 right)x+1ge 0$ $forall x>-m-2$
Nhận thấy: $gleft( -m-2 right)=1>0,gleft( dfrac{-b}{2a} right)=gleft( dfrac{-m-2}{2} right)=1-dfrac{{{left( m+2 right)}^{2}}}{2}$
+Xét $-m-2ge dfrac{-m-2}{2}Leftrightarrow mle -2Rightarrow gleft( x right)>gleft( -m-2 right)=1>0$ luôn thỏa mãn với$forall x>-m-2$
+ Xét $-m-2<dfrac{-m-2}{2}Leftrightarrow m>-2Rightarrow underset{left( -m-2;+infty right)}{mathop{min }},gleft( x right)=gleft( dfrac{-m-2}{2} right)=1-dfrac{{{left( m+2 right)}^{2}}}{2}ge 0Rightarrow -2le mle -2+sqrt{2}$Kết hợp hai trường hợp ta được: $S=left( -infty ;-2+sqrt{2} right]Rightarrow a=-2;b=2Rightarrow a+b=0$
Câu 37: Đáp án A
Đăt $z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right).$ Thay vào biểu thức của bài toán ta có:
$left( a-1 right)+left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+b-dfrac{3}{4} right)i=0Rightarrow a=1;{{b}^{2}}+b+dfrac{1}{4}=0Rightarrow a=1,b=dfrac{-1}{2}$
Vậy chỉ có đúng một số phức thỏa mãn bài toán
Câu 38: Đáp án C
Đặt $Mleft( t;0;0 right)Rightarrow overrightarrow{AM}left( t-1;0;-6 right),overrightarrow{{{u}_{Ox}}}left( 1;0;0 right)$
Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng ta có: $cos45^circ = frac{{left| {t – 1} right|}}{{sqrt {{{left( {t – 1} right)}^2} + 36} }} = frac{1}{{sqrt 2 }} Rightarrow {left( {t – 1} right)^2} = 36 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 7\
t = – 5
end{array} right.$
Hai điểm $Mleft( 7;0;0 right),Nleft( -5;0;0 right).$ Tổng hoành độ là: $7+left( -5 right)=2$
Câu 39: Đáp án D
Phương trình $3cos x-1=0Leftrightarrow x=alpha ,x=2pi -alpha ,x=2pi +alpha ,x=4pi -alpha $ với $cos alpha =dfrac{1}{3}$và $alpha in left( 0;dfrac{pi }{2} right)$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn $left[ 0;4pi right]$ là $8pi $
Câu 40: Đáp án B
Đặt $t=fleft( x right),$ phương trình $fleft( fleft( x right) right)=0$ trở thành $fleft( t right)=0.$ Nhìn vào đồ thị thấy phương trình này có 3 nghiệm t thuộc khoảng $(-2;2),$ với mỗi giá trị t như vậy phương trình $fleft( x right)=t$ có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình $fleft( fleft( x right) right)=0$ có 9 nghiệm
Câu 41: Đáp án C
$begin{array}{l}
I = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{x + xcos x – {{sin }^3}x}}{{1 + cos x}}} dx = intlimits_0^{frac{pi }{2}} x dx – intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{{{sin }^3}x}}{{1 + cos x}}} dx\
{I_1} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} x dx = left. {frac{{{x^2}}}{2}} right|_0^{frac{pi }{2}} = frac{{{pi ^2}}}{8}\
{I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{{{sin }^3}x}}{{1 + cos x}}} dx = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{{{sin }^2}xsin x}}{{1 + cos x}}dx} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {1 – {{cos }^2}x} right)sin xdx} = frac{1}{2}
end{array}$
Suy ra $I=dfrac{{{pi }^{2}}}{8}-dfrac{1}{2}.$
Vậy $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=69$
Câu 42: Đáp án C
Tỉ số giữa thể tích giữa lượng chất lỏng ban đầu và lượng chất lỏng còn lại trong ly thứ nhất là: ${{left( dfrac{2}{1} right)}^{3}}=8$
Vậy tỉ số giữa thể tích giữa lượng chất lỏng chuyển và lượng chất lỏng còn lại trong ly thứ nhất là: $8-1=7.$
Tỉ số này cũng chính là: ${{left( dfrac{h}{1} right)}^{3}}=7Rightarrow h=sqrt[3]{7}approx 1,91dm$
Câu 43: Đáp án A
$C_{n}^{k-1};C_{n}^{k};C_{n}^{k+1}$ theo thứ tự là các số hạng thứ nhất, thứ 3, thứ 5 của một cấp số cộng $Leftrightarrow C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k+1}=2C_{n}^{k}left( 1 right)$
Vì $nge k+1Rightarrow nge 2$
$begin{array}{l}
left( 1 right) Leftrightarrow frac{1}{{left( {k – 1} right)!left( {n – k + 1} right)!}} + frac{1}{{left( {k + 1} right)!left( {n – k – 1} right)!}} = frac{2}{{k!left( {n – k} right)!}} Leftrightarrow frac{1}{{left( {n – k} right)left( {n – k + 1} right)}} + frac{1}{{kleft( {k + 1} right)}} = frac{2}{{kleft( {n – k} right)}}\
Leftrightarrow kleft( {k + 1} right) + left( {n – k} right)left( {n – k + 1} right) = 2left( {k + 1} right)left( {n – k + 1} right)
end{array}$
$Leftrightarrow {{left( 2k-n right)}^{2}}=n+2$ suy ra $n+2$ là số chính phương, mà $n<20Rightarrow n=left{ 2;7;14 right}$
$n=2Rightarrow {{left( k-1 right)}^{2}}=1Leftrightarrow k=2$ (loại)
$n = 7 Rightarrow {left( {2k – 7} right)^2} = 9 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
k = 5\
k = 2
end{array} right.left( {TM} right)$
$n = 14 Rightarrow {left( {2k – 14} right)^2} = 16 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
k = 9\
k = 5
end{array} right.left( {TM} right)$
Vậy có 4 cặp số $left( n,k right)$ thỏa mãn là $left( 7;5 right),left( 7;2 right),left( 14;9 right),left( 14;5 right).$
Câu 44: Đáp án A
Phương trình ${{3}^{x}}=sqrt{a{{.3}^{x}}cos left( pi x right)-9}Leftrightarrow {{9}^{x}}+9=a{{.3}^{x}}cos left( pi x right)Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=acos left( pi x right)left( 1 right)$
Điều kiện cần: Nhận thấy nếu ${{x}_{0}}$ là một nghiệm của phương trình đã cho thì $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy để phương trình có đúng một nghiệm thực thì ${{x}_{0}}=2-{{x}_{0}}Leftrightarrow {{x}_{0}}=1.$ Thay vào (1) ta tìm được $a=-6in left[ -2018;2018 right]$
Điều kiện đủ: Với $a=-6,$ phương trình (1) trở thành ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=-6cos left( pi x right)left( 1 right)$
Sử dụng Cauchy ta có: ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}ge 6ge -6cos left( pi x right).$Dấu bằng xảy ra khi $left{ begin{array}{l}
x = 2 – x\
cospi x = – 1
end{array} right. Leftrightarrow x = 1$
Vậy có đúng một giá trị của tham số thực aÎ –[ 2018;2018] để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực
Câu 45: Đáp án D
Đặt $Mleft( 1;1 right),Nleft( a;5 right),Pleft( b;0 right)left( b>1 right)$ lần lượt là các điểm biểu thị cho các số phức $z,{{z}_{1}},{{z}_{2}}$
Vậy $overrightarrow{MN}=left( a-1;4 right),overrightarrow{MP}=left( b-1;-1 right)$
Từ giả thiết cho ta tam giác MNP cân tại M có $widehat{NMP}=120{}^circ $
Vậy $left{ begin{array}{l}
left| {overrightarrow {MN} } right| = left| {overrightarrow {MP} } right|\
cos120^circ = frac{{overrightarrow {MN} .overrightarrow {MP} }}{{left| {overrightarrow {MN} } right|.left| {overrightarrow {MP} } right|}}
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{left( {a – 1} right)^2} + 16 = {left( {b – 1} right)^2} + 1\
frac{{ – 1}}{2} = frac{{left( {a – 1} right)left( {b – 1} right) – 4}}{{{{left( {a – 1} right)}^2} + 16}}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left( {a – 1} right)^2} – {left( {b – 1} right)^2} = – 15\
{left( {a – 1} right)^2} + 2left( {a – 1} right)left( {b – 1} right) = – 8
end{array} right.left( 1 right)$
Đặt $x = a – 1,y = b – 1left( {y > 0} right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2} – {y^2} = – 15left( 1 right)\
{x^2} + 2xy = – 8left( 2 right)
end{array} right. Rightarrow 7{x^2} + 30xy + 8{y^2} = 0$ (nhân chéo vế với vế của hai phương trình).
Tìm được $left{ begin{array}{l}
x = frac{{ – 2}}{7}y\
x = – 4y
end{array} right..$
Thay vào (1) thì thấy chỉ có $x=dfrac{-2}{7}y$thỏa mãn. Lúc này do ${{y}^{2}}=dfrac{49}{3}.$
Do $y>0Rightarrow y=dfrac{7}{sqrt{3}},x=dfrac{-2}{sqrt{3}}.$ Vậy $b-a=y-x=3sqrt{3}$
Câu 46: Đáp án C
Kẻ ME vuông góc với CB, tam giác MEN vuông tại E nên $MN=2EK.$
Vậy MN bé nhất khi và chỉ khi EK bé nhất. Lúc này EK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và đường thẳng CB.
Qua I kẻ PQ song song với BC (như hình vẽ).
Vậy $dleft( BC,d right)=dleft( BC,left( D’PQ right) right)=dleft( C,left( D’PQ right) right)=dleft( {C}’,left( D’PQ right) right)=C’H$ (trong đó $C’H$ vuông góc với$D’P)$
Tính $C’H.dfrac{1}{C'{{H}^{2}}}=dfrac{1}{{{a}^{2}}}+dfrac{4}{{{a}^{2}}}=dfrac{5}{{{a}^{2}}}Rightarrow C’H=dfrac{asqrt{5}}{5}Rightarrow dleft( BC,d right)=dfrac{2asqrt{5}}{5}$
Câu 47: Đáp án D
Ta có d đi qua $N(2;5;2),$ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{d}}}(1;2;1),d’$ đi qua $N'(2;1;2),$ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{d’}}}(1;-2;1).$
Gọi (R) là mặt phẳng chứa A và d, gọi (Q) là mặt phẳng chứa A¢ và d¢
Từ giả thiết ta nhận thấy điểm M nằm trong các mặt phẳng (R), (Q) nên đường thẳng cố định chứa M chính là giao tuyến của các mặt phẳng (R), (Q).
Vậy (R) đi qua $N(2;5;2),$ có cặp chỉ phương là $overrightarrow{{{u}_{d}}}left( 1;2;1 right),overrightarrow{u}left( 15;-10;-1 right)$
$Rightarrow {{n}_{P}}=left( 1;2;-5 right)Rightarrow left( R right):x+2y-5z-2=0.$ (R) đi qua $Aleft( a;0;0 right)Rightarrow a=2$
Tương tự (Q) đi qua $N'(2;1;2),$ có cặp chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{d}}}left( 1;-2;1 right),overrightarrow{u}left( 15;-10;-1 right)$$Rightarrow {{n}_{Q}}=left( 3;4;5 right)Rightarrow left( R right):3x+4y+5z-20=0.$ (Q) đi qua $Aleft( 0;0;b right)Rightarrow b=4.$ Vậy $a+b=6$ .
Câu 48: Đáp án D
${{f}^{3}}left( 2-x right)-2{{f}^{2}}left( 2+3x right)+{{x}^{2}}.gleft( x right)+36x=0forall xin mathbb{R}left( 1 right)$
(1) đúng $forall xin mathbb{R}$ nên cũng đúng với $x=0Rightarrow $ ${f^3}left( 2 right) – 2{f^2}left( 2 right) = 0 Rightarrow left[ begin{array}{l}
fleft( 2 right) = 0\
fleft( 2 right) = 2
end{array} right.$
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta có:
$-3{{f}^{2}}left( 2-x right).f’left( 2-x right)-12fleft( 2+3x right).f’left( 2+3x right)+2x.gleft( x right)+{{x}^{2}}.g’left( x right)+36=0forall xin mathbb{R}$
Cho $x=0Rightarrow -3{{f}^{2}}left( 2 right).f’left( 2 right)-12fleft( 2 right).f’left( 2 right)+36=0$
Ta thấy $fleft( 2 right)=0$ không thỏa mãn nên nên $fleft( 2 right)=2,$ khi đó $f’left( 2 right)=1Rightarrow 3fleft( 2 right)+4f’left( 2 right)=10$
(Chú ý: hàm số $fleft( x right)$ và $gleft( x right)$ là tồn tại, chẳng hạn $fleft( x right)=x$ và $gleft( x right)=x+12.$ Nếu đoán được kết quả này thì sẽ được kết quả của bài toán luôn).
Câu 49: Đáp án B
Từ giả thiết ta có: ${{left( xfleft( x right)+1 right)}^{2}}=fleft( x right)+xf’left( x right).$
Đặt $u=x.fleft( x right)+1Rightarrow {{u}^{2}}=u’Rightarrow dfrac{u’}{{{u}^{2}}}=1Rightarrow int{dfrac{u’}{{{u}^{2}}}dx=x+CRightarrow dfrac{-1}{u}=x+C}$
Vậy $x.fleft( x right)=dfrac{-1}{x+C}-1,$ mà $fleft( 1 right)=-2Rightarrow C=0$
Vậy $fleft( x right)=-dfrac{1}{{{x}^{2}}}-dfrac{1}{x}Rightarrow intlimits_{1}^{2}{fleft( x right)dx}=-ln 2-dfrac{1}{2}$
Câu 50: Đáp án B
Bình có 2 khả năng thắng cuộc:
+) Thắng cuộc sau lần quay thứ nhất. Nếu Bình quay vào một trong 5 nấc: 80, 85, 90, 95, 100 thì sẽ thắng nên xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là ${{P}_{1}}=dfrac{5}{20}=dfrac{1}{4}$
+) Thắng cuộc sau 2 lần quay. Nếu Bình quay lần 1 vào một trong 15 nấc: 5, 10, …, 75 thì sẽ phải quay thêm lần thứ 2. Ứng với mỗi nấc quay trong lần thứ nhất, Bình cũng có 5 nấc để thắng cuộc trong lần quay thứ 2, vì thế xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là ${{P}_{2}}=dfrac{15times 5}{20times 20}=dfrac{3}{16}$
Từ đó, xác suất thắng cuộc của Bình là $P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=dfrac{1}{4}+dfrac{3}{16}=dfrac{7}{16}$
