Lời giải đề 11- trang 2

Câu 4a

(0.5đ)

Xét PT hoành độ giao điểm:

${x^2} = (m – 1)x + {m^2} – 2m + 3 Leftrightarrow {x^2} – (m – 1)x – ({m^2} – 2m + 3) = 0,,(*)$

Ta có ${m^2} – 2m + 3 = {(m – 1)^2} + 2 > 0,,(forall m) Rightarrow$ PT (*) luôn có 2 nghiệm trái dấu $Rightarrow forall m$ thì $(d)$ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Câu 4b

(1.0đ)

Để tam giác AOB cân tại O thì Oy là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay đường thẳng d song song Ox khi đó: $m – 1 = 0 Leftrightarrow m = 1$

Với $m = 1 Rightarrow$đường thẳng d có phương trình: $y = 2$, tọa độ 2 giao điểm A, B là $( pm sqrt 2 ;2)$. Khi đó khoảng cách từ O đến AB là $h = 2$. Độ dài đoạn thẳng $AB = 2left| {{x_1}} right| = 2sqrt 2$

$Rightarrow$ diện tích tam giác AOB là: ${S_{Delta AOB}} = frac{1}{2}AB.h = frac{1}{2}.2sqrt 2 .2 = 2sqrt 2$

Vậy để tam giác AOB cân tại O thì $m = 1$. Khi đó ${S_{Delta AOB}} = 2sqrt 2$ (đvdt)

Câu 5a

(1.0đ)

 (Vẽ hình đúng được 0.25 điểm)

Vì CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C; DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D. Nên theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có OC, OD lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM nên: $widehat {COD} = {90^0}$

Câu 5b

(1.0đ)

Ta có $left{ begin{array}{l}
AM bot MB\
OD bot MB
end{array} right. Rightarrow AM//OD Rightarrow widehat {CMA} = widehat {MDO}$ (đồng vị)

Mà $widehat {CMA} = widehat {KAM} Rightarrow widehat {KAM} = widehat {MDO} Rightarrow Delta AKM sim Delta DOM, Rightarrow frac{{MA}}{{MK}} = frac{{MD}}{{MO}},,(1)$

Mặt khác $widehat {KMO} = widehat {AMD} = {90^0} + widehat {AMO}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $Delta KMO sim Delta AMD$ (c.g.c)

Câu 5c

(1.0đ)

Gọi $S = {S_{ABDC}};{S_1} = {S_{Delta MAB}};{S_2} = {S_{Delta MAC}};{S_3} = {S_{Delta MBD}} Rightarrow {S_2} + {S_3} = S – {S_1}$

R là bán kính đường tròn (O)

Ta có: $S = left( {AC + BD} right).R = R.left( {MC + MD} right)$

           $Delta OMC sim Delta DMO Rightarrow CM.DM = O{M^2} = {R^2}$

Lại có: ${left( {MC – MD} right)^2} ge 0 Leftrightarrow {left( {MC + MD} right)^2} ge 4MC.MD Leftrightarrow MC + MD ge 2R$ 

Suy ra  $ge 2{R^2}$ (1), dấu “=” xảy ra khi $C = MD$ hay M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O).

Từ M kẻ $H bot AB Rightarrow {S_1} = R.MH le {R^2}$ (2), dấu “ = “ xảy ra khi M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O).

$Rightarrow {S_2} + {S_3} = S – {S_1} ge 2{R^2} – {R^2} = {R^2}$ Vậy $min ({S_2} + {S_3}) = {R^2}$ khi M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O).

Câu 6a

(0.5đ)

Vì $f(x)+3f(dfrac{1}{x})={{x}^{2}},,(forall xne 0)$. Nên ta có: (left{ begin{matrix}    f(2)+3f(dfrac{1}{2})=4  \    f(dfrac{1}{2})+3f(2)=dfrac{1}{4}  \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}    f(2)+3f(dfrac{1}{2})=4  \    3f(dfrac{1}{2})+9f(2)=dfrac{3}{4}  \ end{matrix} right.)

$Rightarrow 8f(2)=-dfrac{13}{4}Rightarrow f(2)=-dfrac{13}{32}$

Câu 6b

(0.5đ)

Giả sử tồn tại các số nguyên tố $,b,c$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Theo bài toán ta có $,b,c$ đều là ước của $a + b + c + ab + bc + ca$

$Rightarrow abc$ là ước của $a + b + c + ab + bc + ca$

Giả sử $a + b + c + ab + bc + ca = kabc;,,(k in )$

$Rightarrow k = frac{1}{{ab}} + frac{1}{{bc}} + frac{1}{{ca}} + frac{1}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c}$

Dễ thấy $a,b,c$ đều là số lẻ. Không giảm tính tổng quát giả sử $a < b < c$

$Rightarrow a ge 3;b ge 5;c ge 7 Rightarrow k le frac{1}{3} + frac{1}{5} + frac{1}{7} + frac{1}{{15}} + frac{1}{{21}} + frac{1}{{35}} < 1$ Vô lí.

Do đó, a, b, c không đồng thời là số nguyên tố.