Bài 1:
a. Điều kiện xác định: $x ne 0;x ne pm 1;x ne pm sqrt 2 $. Khi đó:
$A=left( dfrac{{{x}^{3}}-1}{x-1}+x right)left( dfrac{{{x}^{3}}+1}{x+1}-x right):dfrac{x{{left( 1-{{x}^{2}} right)}^{2}}}{{{x}^{2}}-2}$
$A=left[ dfrac{left( x-1 right)left( {{x}^{2}}+x+1 right)}{x-1}+x right]left[ dfrac{left( x+1 right)left( {{x}^{2}}-x+1 right)}{x+1}-x right]cdot dfrac{{{x}^{2}}-2}{x{{left( 1-{{x}^{2}} right)}^{2}}}$
$A=left( {{x}^{2}}+x+1+x right)left( {{x}^{2}}-x+1-x right)cdot dfrac{{{x}^{2}}-2}{x{{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{2}}}$
$A=left( {{x}^{2}}+2x+1 right)left( {{x}^{2}}-2x+1 right)cdot dfrac{{{x}^{2}}-2}{x{{left( x+1 right)}^{2}}{{left( x-1 right)}^{2}}}$
$A=dfrac{{{left( x+1 right)}^{2}}{{left( x-1 right)}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)}{x{{left( x+1 right)}^{2}}{{left( x-1 right)}^{2}}}$
$A=dfrac{{{x}^{2}}-2}{x}$
Vậy $A=dfrac{{{x}^{2}}-2}{x}$ với $xne 0;,,xne pm 1;,,xne pm sqrt{2}$
b. Thay $x=sqrt{6+2sqrt{2}}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A đã rút gọn, ta được:
$A=dfrac{{{left( sqrt{6+2sqrt{2}} right)}^{2}}-2}{sqrt{6+2sqrt{2}}}=dfrac{6+2sqrt{2}-2}{sqrt{6+2sqrt{2}}}=dfrac{4+2sqrt{2}}{sqrt{6+2sqrt{2}}}$
$Rightarrow {{A}^{2}}={{left( dfrac{4+2sqrt{2}}{sqrt{6+2sqrt{2}}} right)}^{2}}=dfrac{{{left( 4+2sqrt{2} right)}^{2}}}{{{left( sqrt{6+2sqrt{2}} right)}^{2}}}=dfrac{24+16sqrt{2}}{6+2sqrt{2}}=dfrac{4left( 3+2sqrt{2} right)}{3+sqrt{2}}$
$Rightarrow {{A}^{2}}=dfrac{4left( 3+2sqrt{2} right)left( 3-sqrt{2} right)}{left( 3+sqrt{2} right)left( 3-sqrt{2} right)}=dfrac{4left( 5+3sqrt{2} right)}{7}=dfrac{4left( 35+21sqrt{2} right)}{49}$
Mà $A>0$ (do $A=dfrac{4+2sqrt{2}}{sqrt{6+2sqrt{2}}}$) nên $A=dfrac{2sqrt{35+21sqrt{2}}}{7}$
Vậy $A=dfrac{2sqrt{35+21sqrt{2}}}{7},,,khi,,,x=sqrt{6+2sqrt{2}}$
c. Với $xne 0;,,xne pm 1;,,xne pm sqrt{2}$, để $A=-1$ thì $dfrac{{{x}^{2}}-2}{x}=-1$
$begin{array}{l}
Rightarrow {x^2} – 2 = – x\
Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0\
Leftrightarrow left( {{x^2} – x} right) + left( {2{rm{x}} – 2} right) = 0\
Leftrightarrow xleft( {x – 1} right) + 2left( {x – 1} right) = 0\
Leftrightarrow left( {x – 1} right)left( {x + 2} right) = 0\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 1 = 0\
x + 2 = 0
end{array} right.\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1 ( không quad thỏa quad mãn )\
x = – 2 ( thỏa quad mãn )
end{array} right.
end{array}$
(Có thể nhẩm nghiệm bằng Viét hoặc dùng công thức nghiệm)
Vậy để $A=-1$ thì $x=-2$.
Bài 2: Đổi $4h45’=4,75,h$
Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là x (h), thời gian ô tô đi từ B đến C là y (h).
(Điều kiện: $0<x;,,y<4,75)$
Vì tổng thời gian ô tô đi từ A đến C là 4h45’ nên: $x+y=4,75,,,left( 1 right)$
Vì vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là 40 km/h, khi đi từ B đến C là 30 km/h mà quãng đường BC ngắn hơn quãng đường AB là 15km nên: $40text{x}-30y=15,,,,left( 2 right)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l}
x + y = 4,75\
40{rm{x}} – 30y = 15
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
40{rm{x}} + 40y = 190\
40{rm{x}} – 30y = 15
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = 4,75\
70y = 175
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 2,25,,(thỏa mãn)\
y = 2,5,,(thỏa mãn)
end{array} right.$
Quãng đường AB dài là: $40cdot 2,25=90$ (km).
Quãng đường BC dài là: $30cdot 2,5=75$ (km).
Vậy quãng đường AB, BC dài lần lượt là: 90km, 75km.
Bài 3:
a. Xét hàm số $y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}},,$
Lập bảng giá trị của hàm số:
Đồ thị hàm số $y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}},$là một parabol đi qua các điểm có tọa độ là: $left( -4;8 right);left( -2;2 right);$ $left( 0;0 right);left( 4;8 right);left( 2;2 right)$.
Vẽ đồ thị hàm số $y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}},,left( P right):$
b. Để điểm $Cleft( -2;m right)in left( P right)$ thì thay $x=-2;y=m$ vào hàm số $y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}},$ta được:$m=dfrac{1}{2}cdot {{left( -2 right)}^{2}},=2$
Vậy để $Cleft( -2;m right)in left( P right)$ thì $m=2$
c. Giải hệ phương trình:
$1)left{ begin{array}{l}
2{rm{x}} – 3y = 8\
x + 3y = 7
end{array} right.,,,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2{rm{x}} – 3y = 8\
2{rm{x}} + 6y = 14
end{array} right.,,,,,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
9y = 6\
x + 3y = 7
end{array} right.,,,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = frac{2}{3}\
x + 3 cdot frac{2}{3} = 7
end{array} right.,,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = frac{2}{3}\
x = 5
end{array} right.,,$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $left( x;y right)=left( 5,;dfrac{2}{3} right)$
$2)left{ begin{array}{l}
left( {x + 3} right)left( {y – 1} right) = xy + 2\
left( {x – 1} right)left( {y + 3} right) = xy – 2
end{array} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
xy – x + 3y – 3 = xy + 2\
xy + 3{rm{x}} – y – 3 = xy – 2
end{array} right.,,,,,,,,$
$ Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
– x + 3y = 5\
,,,3{rm{x}} – y = 1
end{array} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
– x + 3y = 5\
,,,y = 3{rm{x}} – 1
end{array} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
– x + 3left( {3{rm{x}} – 1} right) = 5\
,,,y = 3{rm{x}} – 1
end{array} right.,,,,$
$ Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
– x + 9{rm{x – 3}} = 5\
,,,y = 3{rm{x}} – 1
end{array} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
{rm{8x}} = 8\
,,,y = 3{rm{x}} – 1
end{array} right.,,, Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
{rm{x}} = 1\
y = 2
end{array} right.,,,,,$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $left( x;y right)=left( 1;2 right)$
Bài 4:
a. Vì $MIbot AB,MHbot BC$ (I, H là chân các đường vuông góc) nên $widehat{MIB}=widehat{MHB}={{90}^{0}}$
Tứ giác BIMH có tổng hai góc đối: $widehat{MIB}+widehat{MHB}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$ nên tứ giác BIMH nội tiếp (đpcm).
b. Theo câu (a), tứ giác BIMH nội tiếp nên $widehat{MIH}=widehat{MBH};widehat{,,MHI}=widehat{MBI}$ (1)
Tương tự câu (a), tứ giác MHCK nội tiếp nên $widehat{MHK}=widehat{MCK};,,,widehat{MKH}=widehat{MCH}$ (2)
Lại có: $widehat{MBH}=widehat{MCK};,,widehat{MBI}=widehat{MCH}$ (3) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn một cung của đường tròn thì bằng nhau)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: $widehat{MIH}=widehat{MHK};,,,widehat{MHI}=widehat{MKH}$ nên $Delta MIH$ ∽ $Delta MHK$ (g.g)
$Rightarrow dfrac{MI}{MH}=dfrac{MH}{MK}Rightarrow M{{H}^{2}}=MIcdot MK$ (đpcm).
c. Từ (1) và (3) ta có: $widehat{MHI}=widehat{MCH},,,hay,,,widehat{MHP}=widehat{MCB}$ (4)
Từ (2) và (3) ta có: $widehat{MHK}=widehat{MBH},,,hay,,,widehat{MHQ}=widehat{MBC}$ (5)
Từ (4) và (5), ta được: $widehat{PHQ}=widehat{MHP}+widehat{MHQ}=widehat{MCB}+widehat{MBC}$
Tứ giác MPHQ có : $widehat{PMQ}+widehat{PHQ}=widehat{BMC}+widehat{MCB}+widehat{MBC}={{180}^{0}}$ nên tứ giác MPHQ nội tiếp (tổng hai góc đối bằng ${{180}^{0}}$) (đpcm).
Bài 5: Với $x>0$; a, b là các hằng số dương cho trước, ta có:
$P=left( sqrt{x}+dfrac{a}{sqrt{x}} right)left( sqrt{x}+dfrac{b}{sqrt{x}} right)=x+dfrac{ab}{x}+a+b$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x$ và $dfrac{ab}{x}$, ta được:
$x+dfrac{ab}{x}ge 2sqrt{xcdot dfrac{ab}{x}}=2sqrt{ab}$
$Rightarrow x+dfrac{ab}{x}+a+bge 2sqrt{ab}+a+b={{(sqrt{a}+sqrt{b})}^{2}}$
Dấu “=” xảy ra khi $left{ begin{array}{l}
x = dfrac{{ab}}{x}\
x > 0
end{array} right. Leftrightarrow x = sqrt {ab} $
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là ${{(sqrt{a}+sqrt{b})}^{2}}$ khi $x=sqrt{ab}$ với $x>0$; a, b là các hằng số dương cho trước.
