Câu 1: Đáp án C
$intlimits_{b}^{a}{fleft( x right)dtext{x}}=intlimits_{a}^{c}{fleft( x right)dtext{x}}+intlimits_{b}^{c}{fleft( x right)dtext{x}}$nên đáp án C sai
Câu 2: Đáp án B
Áp dụng công thức $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+…+C_{n}^{n}={{2}^{n}}$
Ta có $S=C_{2018}^{1009}+C_{2018}^{1010}+C_{2018}^{1011}+…+C_{2018}^{2018}$
Xét $S’=C_{2018}^{0}+C_{2018}^{1}+C_{2018}^{2}+…+C_{2018}^{1009}$
Ta có $S+S’=C_{2018}^{2009}+C_{2018}^{0}+C_{2018}^{1}+…+C_{2018}^{2009}+C_{2018}^{2010}+…+C_{2018}^{2018}={{2}^{2018}}+C_{2018}^{2009}left( 1 right)$
Lấy $S-S’=C_{2018}^{2009}+C_{2018}^{0}+C_{2018}^{1}+…+C_{2018}^{2009}-C_{2018}^{2009}-C_{2018}^{2010}-…-C_{2018}^{2018}=0left( 2 right)$
Lăy $left( 1 right)+left( 2 right)$ theo vế ta được $2S={{2}^{2018}}+C_{2018}^{2009}Rightarrow S={{2}^{2017}}+dfrac{C_{2018}^{2009}}{2}$
Câu 3: Đáp án C
$S=intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}dx}+intlimits_{1}^{2}{left( 2-x right)dx}=dfrac{1}{2}+intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}dx}$
Câu 4: Đáp án A
$y=sin sqrt{dfrac{{{pi }^{2}}}{4}-{{x}^{2}}}$ xác định $Leftrightarrow dfrac{{{pi }^{2}}}{4}-{{x}^{2}}ge 0Leftrightarrow -dfrac{pi }{2}le xle dfrac{pi }{2}$
Vậy tập xác định của hàm số $D=left[ -dfrac{pi }{2};dfrac{pi }{2} right]$
Câu 5: Đáp án B
$begin{array}{l}
{sin ^6}x + co{s^6}x = 4co{s^2}2x\
Leftrightarrow {left( {{{sin }^2}x + co{s^2}x} right)^2} – 3{sin ^2}x.co{s^2}xleft( {{{sin }^2}x + co{s^2}x} right) = 4co{s^2}2x
end{array}$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow 1 – frac{3}{4}{sin ^2}2x = 4co{s^2}2x Leftrightarrow 1 – frac{3}{4}left( {1 – co{s^2}2x} right) = 4co{s^2}2x\
Leftrightarrow frac{{13}}{4}co{s^2}2x = frac{1}{4} Leftrightarrow 13left( {frac{{1 + cos4x}}{2}} right) = 1
end{array}$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow 1 + cos4x = frac{2}{{13}} Leftrightarrow cos4x = – frac{{11}}{{13}}\
Leftrightarrow 4x = pm arccos left( { – frac{{11}}{{13}}} right) + k2pi ,k in Leftrightarrow x = pm frac{1}{4}arccos left( { – frac{{11}}{{13}}} right) + kfrac{pi }{2},k in
end{array}$
Câu 6: Đáp án C
$begin{array}{l}
y = – {x^3} + 3{x^2}\
y’ = – 3{x^2} + 6x\
y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 2
end{array} right.
end{array}$
Bảng biến thiên
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $left( 0;2 right)$
Câu 7: Đáp án A
Đặt $x-1=a.$
Khi đó phương trình $fleft( x-1 right)=2018$ trở thành $fleft( a right)=2018$
Hay a là nghiệm phương trình $fleft( x right)=2018$
Mà phương trình $x-1=a$ luôn có nghiệm duy nhất với mọi số thực a
Đáp án B sai vì đồ thị hàm số $y=fleft( x-2018 right)$ tạo thành qua phép tịnh tiến đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$
Mà $y=fleft( x right)$ có 2 cực trị nên $y=fleft( x-2018 right)$ phải có 2 cực trị
Đáp án C, D sai vì thử máy tính không thỏa mãn
Câu 8: Đáp án B
$y={{x}^{4}}-dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}Rightarrow y=4{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2x$
$y’=0Rightarrow x=0$ hoặc $x=1$ hoặc $x=-dfrac{1}{2}$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có đáp án B
Câu 9: Đáp án A
$TH1:a>0$
$mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {ax + sqrt {4{{rm{x}}^2} + 1} } right) = + infty $
$mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {ax + sqrt {4{{rm{x}}^2} + 1} } right) = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{left( {{a^2} – 4} right){x^2} – 1}}{{ax – sqrt {4{{rm{x}}^2} + 1} }} = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{left( {{a^2} – 4} right)x – frac{1}{x}}}{{a – sqrt {4 + frac{1}{x}} }}$
Vậy để $underset{xto -infty }{mathop{lim }},left( ax+sqrt{4{{text{x}}^{2}}+1} right)$ không tồn tại thì ${{a}^{2}}-4=0Leftrightarrow a=2$ (do $a>0)$
$TH2:a<0:$ Trình bày tương tự ta được $a=-2$
$TH3:a=0$
$underset{xto pm infty }{mathop{lim }},sqrt{4{{text{x}}^{2}}+1}=+infty $ nên loại $a=0$
Vậy các giá trị thỏa mãn là $a=pm 2$
Câu 10: Đáp án A
Ta có $f’left( x right)=3-frac{3}{{{left( x+2 right)}^{2}}}$
Do đó $f’left( x right)=0Leftrightarrow x=-1vee x=-3$
Do $xin D$ nên ta chọn $x=-1$
Bảng biến thiên:
Vậy câu A sai
Câu 11: Đáp án C
Vì $y=fleft( x right)$có $underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=0$ và $underset{xto infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=+infty $ nên đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ có một tiệm cận ngang là trục hoành
Câu 12: Đáp án B
Đồ thị cắt trục Ox tại điểm $left( -dfrac{b}{a};0 right)$
Ta có $dfrac{-b}{a}>0Rightarrow ab<0$
Mặt khác $TCN:y=dfrac{a}{c}>0$
$TCD:x=-dfrac{d}{c}<0Rightarrow ad>0$
Câu 13: Đáp án D
Để phương trình $fleft( x right)=m$có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y=m$phải cắt đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ tại ba điểm phân biệt.
Qua bảng biến thiên ta thấy, đường thẳng $ytext{ }-text{ }m$ phải cắt đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ tại ba điểm phân biệt khi $m>dfrac{27}{4}$
Câu 14: Đáp án C
Đồ thị $left| fleft( x right) right|=m$ là
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow m=text{ }0$ hoặc $mtext{ }=text{ }3$
Câu 15: Đáp án D
Hàm bậc ba nghịch biến trên $mathbb{R}Leftrightarrow y’le 0,forall xin mathbb{R}$ và $y’=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm và đồ thị hàm số không có tiếp tuyến song song với trục hoành $Leftrightarrow y’=0$ vô nghiệm.
Kết hợp 2 tính chất ta được $y’le 0,forall xin mathbb{R}$
$TX:text{ }D=mathbb{R},y’=3m{{x}^{2}}-6mx-3.$
Nếu $m=0$ thì $y’=-3<0,forall xin mathbb{R}$ (thoả mãn)
Nếu $mne 0$ thì ycbt $Leftrightarrow y’=<0,forall xin mathbb{R}$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 0\
Delta ‘ < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 0\
9{m^2} + 9m < 0{rm{ }}
end{array} right. Leftrightarrow – 1 < m < 0$
Kết hợp 2 trường hợp ta được: $-1text{ }<mtext{ }<0$
Câu 16: Đáp án A
Theo đề bài số lượng bèo ban đầu chiếm 0,04 diện tích mặt hồ.
Sau 7 ngày số lượng bèo là $0,04times {{3}^{1}}$ diện tích mặt hồ.
Sâu 14 ngày sổ lượng bèo là $0,04times {{3}^{2}}$ diện tích mặt hồ.
Sau $7times n$ ngày số lượng bèo là $0,04times {{3}^{n}}$ diện tích mặt hổ.
Để bèo phủ kín mặt hồ thì:
$0,04times {{3}^{n}}=1Leftrightarrow {{3}^{n}}=25Leftrightarrow n=lo{{g}_{3}}25.$
Vậy sau $7times lo{{g}_{3}}25$ ngày thì bèo vừa phủ kín mặt hồ.
Câu 17: Đáp án B
Phương án B sai vì ln a,ln bkhông xác định khi $a<b<0$
Câu 18: Đáp án B
Hàm số xác định $Leftrightarrow 2x-{{x}^{2}}>0Leftrightarrow 0<x<2$
Vậy TXĐ: D=$left( 0;2 right)$
Câu 19: Đáp án D
Ta có $y’=left( {{x}^{2}}+2x right){{e}^{x}}.$
Do đó $y'<0Leftrightarrow left( {{x}^{2}}+2x right){{e}^{x}}<0Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x<0Leftrightarrow -2<x<0$
Câu 20: Đáp án C
${{2}^{{{x}^{2}}-1}}={{3}^{x+1}}Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=left( x+1 right){{log }_{2}}3$
$Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=1+{{log }_{2}}3$
Vậy $a+b+ab=-1$
Câu 21: Đáp án A
Hàm số $y={{log }_{2}}left( {{4}^{x}}-{{2}^{x}}+m right)$có tập xác định $D=mathbb{R}$ khi
${{4}^{x}}-{{2}^{x}}+m>0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow m>{{2}^{x}}-{{4}^{x}},forall xin mathbb{R}Leftrightarrow m>maxleft( {{2}^{x}}-{{4}^{x}} right)=dfrac{1}{4}$
Câu 22: Đáp án C
Ta có $begin{array}{l}
frac{{a + c}}{{a + d}} le frac{{a + frac{2}{3}}}{{a + d}} = 1 – frac{{frac{2}{3} – d}}{{a + d}} le frac{7}{{3left( {1 + 2d} right)}}\
frac{{c + d}}{{a + b}} = frac{{frac{2}{3} + d}}{{frac{1}{2} + frac{1}{2}}} = frac{1}{3}left( {3d + 2} right)
end{array}$
Do đó $Tle 16dfrac{49}{9{{left( 1+2d right)}^{2}}}+25.dfrac{1}{9}{{left( 3d+2 right)}^{2}}=fleft( d right)le fleft( dfrac{2}{3} right)=544$ (dùng đạo hàm thấy điều này)
Vậy $dfrac{a}{b}=dfrac{544}{9}Rightarrow a-55b=49$
Câu 23: Đáp án D
Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm SC.
Dựng $IG//SC$ và $IM//CG.$ Khi đó I là tấm mặt cầu ngoại tiếp hlnh chóp $S.ABC.$
Ta có: $R=IC=sqrt{C{{M}^{2}}+C{{G}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a$
Câu 24: Đáp án D
Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh trục XY thì vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) là phần in đậm như hình bên. Nhìn hình ta thấy thể tích V cần tim bằng thể tích của hình trụ có đường kính đáy bằng AB và chiều cao bằng XY
$Rightarrow V=pi {{left( dfrac{AB}{2} right)}^{2}}.XY=pi {{left( dfrac{sqrt{{{5}^{2}}+{{5}^{2}}}}{2} right)}^{2}}.10=125pi $
Câu 25: Đáp án C
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích phần hình nón giữa đỉnh S và mặt phẳng $left( P right)$
${{V}_{2}}$ là thể tích phần hình nón giữa hai mặt phằng $left( Q right)$ và (P),
${{V}_{3}}$ là thể tích phần hình nón giữa mặt phằng $left( Q right)$và đáy hình nón
Ta có $dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}={{left( dfrac{R’}{x} right)}^{3}}left( 1 right)$
$dfrac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}={{left( dfrac{R}{x} right)}^{3}}left( 2 right)$
Và ${{V}_{2}}={{V}_{3}}left( 3 right)$
Từ (2) và (3) ta có $dfrac{{{V}_{1}}+2{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}={{left( dfrac{R}{x} right)}^{3}}left( 4 right)$
Từ (1) và (4) ta có
$dfrac{2{{V}_{1}}+2{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}={{left( dfrac{R}{x} right)}^{3}}+{{left( dfrac{R’}{x} right)}^{3}}=dfrac{{{R}^{3}}+R{{‘}^{3}}}{{{x}^{3}}}Leftrightarrow dfrac{{{R}^{3}}+R{{‘}^{3}}}{{{x}^{3}}}=2Rightarrow x=sqrt[3]{dfrac{{{R}^{3}}+R{{‘}^{3}}}{2}}$
Vậy khi $x=sqrt[3]{dfrac{{{R}^{3}}+R{{‘}^{3}}}{2}}$thì $left( Q right)$chia phần khối nón nằm giữa $left( P right)$và đáy hình nón thành hai phần có thể tích bằng nhau
Câu 26: Đáp án B
$begin{array}{l}
{z^2} + 4{rm{z}} + 5 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{z_1} = – 2 + i\
{z_2} = – 2 – i
end{array} right.\
Rightarrow {rm{w}} = {left( { – 1 + i} right)^{100}} + {left( { – 1 – i} right)^{100}} = {left( { – 2i} right)^{50}} + {left( {2i} right)^{50}} = – {2^{51}}
end{array}$
Câu 27: Đáp án A
Gọi $Aleft( -dfrac{5}{2};2 right),Bleft( -dfrac{3}{2};-2 right)$ tập hợp các điểm z thoả mãn giả thiết$left| z+dfrac{5}{2}-2i right|=left| z+dfrac{3}{2}+2i right|$ là đường trung trực dcủa AB có phương trình $x-4y+2=0.$
Xét hai điểm $Mleft( 2;4 right),Nleft( 4;6 right)$ thì $Q=IM+IN$ với $Iin d.$
Do đó Q nhỏ nhất khi và chỉ khi I là giao điểm của M’ N với $M’left( dfrac{58}{17};-dfrac{28}{17} right)$ là điểm đối xứng của M qua d. Vậy $Ileft( dfrac{62}{17};dfrac{24}{17} right)$ ứng với $z=dfrac{62}{17}+dfrac{24}{17}i$
Câu 28: Đáp án B
$z=3+2iRightarrow overline{z}=3-2i$
Câu 29: Đáp án B
$MN=sqrt{{{left( 0-3 right)}^{2}}+{{left( 0-0 right)}^{2}}+{{left( 4-0 right)}^{2}}}=5$
Câu 30: Đáp án A
Đường thẳng d qua điểm $Mleft( 2;-2;-l right)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}=left( -3;1;-2 right)$
Đường thẳng d’ qua điểm $Nleft( 0;4;2 right)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u’}=left( 6;-2;4 right).$
Ta có$dfrac{-3}{6}=dfrac{1}{-2}=dfrac{-2}{4}$ nến $overrightarrow{u},text{ }overrightarrow{u’}$ cùng phương. Lại có $M(2;-2;-1)notin d’$
Vậy $d//d’$
Câu 31: Đáp án B
$a=1,b=-2,c=2,d=-m$
Theo giả thiết
$R=5Rightarrow sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=5Leftrightarrow sqrt{9+m}=5Leftrightarrow m=16$
Câu 32: Đáp án C
Đường thẳng d đi qua $Mleft( l;-3;0 right).$ Toạ độ điểm M chỉ thoả mãn phương trình mặt phẳng trong phương án A và C.
Tính khoảng cách từ tâm $Ileft( l;text{ }2;-2 right)$ của (S) và so sánh với bán kính $R=5$ được đáp án C đúng
Câu 33: Đáp án B
Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d.
Phương trình cùa $left( P right):2x+2y-z+9=0.$
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc cùa A trên $Delta ,text{ }left( P right).$
Ta có: $Kleft( -3;-2;-l right)$
$dleft( A,Delta right)=AHge AK$
Vậy khoảng cách từ A đến $Delta $ bé nhất khi A đi qua $M,K.text{ }Delta $ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}=left( l;0;2 right)$
