Câu 37: Đáp án C
HD: Gọi $Aleft( a;dfrac{a-1}{2a} right);,Bleft( b;dfrac{b-1}{2b} right)left( ane b right)$
Do tiếp tuyến A và B song song với nhau nên $y’left( a right)=y’left( b right)Leftrightarrow dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=dfrac{1}{2{{b}^{2}}}Rightarrow a=-b$
Suy ra A, B đối xứng nhau qua tâm đối xứng $Ileft( 0;dfrac{1}{2} right)$
PTTT tạo A là: $y=dfrac{1}{2{{a}^{2}}}left( x-a right)+dfrac{a-1}{2a}left( Delta right)$
Khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến:
$d = 2dleft( {I;Delta } right) = 2frac{{left| { – frac{1}{{2a}} – frac{1}{2} + frac{1}{2} – frac{1}{{2a}}} right|}}{{sqrt {frac{1}{{4{a^4}}} + 1} }} = frac{2}{{sqrt {frac{1}{{4{a^2}}} + {a^2}} }} le frac{2}{{sqrt {2sqrt {frac{1}{4}} } }} = 2$
(Do theo BĐT Co-si ta có $dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+{{a}^{2}}ge 2sqrt{dfrac{1}{4}}$)
Vậy khoảng cách lớn nhất giữa d1 và d2 là 2. Chọn C.
Câu 38: Đáp án A
HD: Phương trình đường thẳng IA và IB lần lượt là: $dfrac{x-1}{1}=dfrac{y-2}{1}=dfrac{z+1}{2};dfrac{x-1}{2}=dfrac{y-2}{-1}=dfrac{z+1}{1}$
Khi đó $A=IAcap left( P right)=left( 0;1;-3 right);B=IBcap left( P right)=left( 3;1;0 right)Rightarrow AB=3sqrt{2}$. Chọn A.
Câu 39: Đáp án B
HD: Ta có: $E{{F}_{mtext{ax}}}Leftrightarrow d{{left( I;d right)}_{min }}={{dfrac{left| left[ overline{I{{M}_{0}}};overrightarrow{{{u}_{d}}} right] right|}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}}_{min }}$ (trong đó M0 (1; -1; m))
Ta có: $d{{left( I;d right)}_{min }}=dfrac{left| left[ overline{I{{M}_{0}}};overrightarrow{{{u}_{d}}} right] right|}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}=dfrac{sqrt{{{left( m+2 right)}^{2}}+{{left( m-2 right)}^{2}}+4}}{sqrt{1+1+4}}=dfrac{sqrt{2{{m}^{2}}+12}}{sqrt{6}}$
Suy ra ${{d}_{min }}=sqrt{2}<R=3$ khi m = 0. Chọn B.
Câu 40: Đáp án C
HD: Ta có: $y’=m-dfrac{36}{{{left( x+1 right)}^{2}}};yleft( 0 right)=36;yleft( 3 right)=3m+9$
TH1: Hàm số nghịch biến trên đoạn $left[ {0;3} right] Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m le frac{9}{4}}\
{3m + 9 = 20}
end{array}} right.left( {vn} right)$
TH2: $y’ = m – frac{{36}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + frac{6}{{sqrt m }} in left[ {0;3} right]}\
{x = – 1 – frac{6}{{sqrt m }}left( {loai} right)}
end{array}} right.$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng$20 Rightarrow yleft( { – 1 + frac{6}{{sqrt m }}} right) = 20$
$ Leftrightarrow mleft( { – 1 + frac{6}{{sqrt m }}} right) + frac{{36}}{{ – 1 + frac{6}{{sqrt m }} + 1}} Leftrightarrow – m + 6sqrt m + 6sqrt m = 20 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m = 100,left( {loai} right)}\
{m = 4}
end{array}} right.$
Câu 41: Đáp án D
HD: Để AB nhỏ nhất $Leftrightarrow $ AB là đoạn vuông góc chung của $d,{d}’.$
Gọi $Ain dRightarrow Aleft( 1+a;2-a;a right)$ và $Bin {d}’Rightarrow Bleft( 2b;1+b;2+b right)Rightarrow overrightarrow{AB}=left( 2b-a-1;a+b-1;b-a+2 right)$.
Vì
$left{ begin{array}{l}
AB bot d\
AB bot d’
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
overrightarrow {AB} .{overrightarrow u _d} = 0\
overrightarrow {AB} .{overrightarrow u _{d’}} = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2b – a – 1 – a – b + 1 + b – a + 2 = 0\
2left( {2b – a – 1} right) + a + b – 1 + b – a + 2 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 3a + 2b + 2 = 0\
– 2a + 6b – 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
b = frac{1}{2}
end{array} right..$
Vậy $Aleft( {2;1;1} right),Bleft( {1;frac{3}{2};frac{5}{2}} right) Rightarrow overrightarrow {AB} = left( { – 1;frac{1}{2};frac{3}{2}} right) = – frac{1}{2}left( {2; – 1; – 3} right) Rightarrow left( {AB} right):frac{{x – 2}}{{ – 2}} = frac{{y – 1}}{1} = frac{{z – 1}}{3}.$
Câu 42: Đáp án A
HD: Ta có ${f}’left( x right)=left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}} right)left( {{x}^{3}}-2x right)={{x}^{3}}left( x-2 right)left( {{x}^{2}}-2 right);,forall xin mathbb{R}.$
Số điểm cực trị của hàm số $y=left| gleft( x right) right|=left| fleft( 1-2018x right) right|$ là tổng
- Số nghiệm phương trình ${g}’left( x right)=0Leftrightarrow -2018.{f}’left( 1-2018x right)=0xrightarrow{{}}$ có 4 điểm.
- Số nghiệm của phương trình $fleft( 1-2018x right)=0xrightarrow{{}}$ có tối đa 5 nghiệm vì đạo hàm có 4 nghiệm.
Vậy hàm số đã cho có tối đa 9 điểm cực trị.
Câu 43: Đáp án A
HD: Ta có $fleft( n right)ge fleft( n+1 right)Leftrightarrow dfrac{{{log }_{3}}2.{{log }_{3}}4…{{log }_{3}}n}{{{9}^{n}}}ge dfrac{{{log }_{3}}2.{{log }_{3}}4…{{log }_{3}}n.{{log }_{3}}left( n+1 right)}{{{9}^{n+1}}}$
$Leftrightarrow 9ge {{log }_{3}}left( n+1 right)Leftrightarrow {{3}^{9}}ge n+1Leftrightarrow nle {{3}^{9}}-1.$ Suy ra $fleft( 1 right)>fleft( 2 right)>fleft( 3 right)>…>fleft( {{3}^{9}}-1 right)=fleft( {{3}^{9}} right).$
Vậy hàm số $fleft( n right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $n={{3}^{9}}-1;n={{3}^{9}}.$
Câu 44: Đáp án C
HD: Gắn hệ tọa độ Oxyz, với $Aleft( 0;0;0 right),Sleft( 0;0;2 right),Dleft( 0;1;0 right),Bleft( 1;0;0 right),Cleft( 1;1;0 right).$
Tọa độ trung điểm M của SD là $Mleft( 0;dfrac{1}{2};1 right).$ Ta có $left[ overrightarrow{SB};overrightarrow{SC} right]=left( 2;0;1 right)$ và $left[ overrightarrow{AM};overrightarrow{AC} right]=left( -1;1;-dfrac{1}{2} right).$
Do đó $cos widehat{left( AMC right);left( SBC right)}=dfrac{left| {{overrightarrow{u}}_{left( AMC right)}}.{{overrightarrow{u}}_{left( SBC right)}} right|}{left| {{overrightarrow{u}}_{left( AMC right)}} right|.left| {{overrightarrow{u}}_{left( SBC right)}} right|}=sqrt{5}xrightarrow{{}}tan alpha =sqrt{1-dfrac{1}{{{cos }^{2}}alpha }}=dfrac{2sqrt{5}}{5}.$
