Câu 27: Đáp án A
Ta có [left{ begin{array}{l}
overrightarrow {AB’} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BB’} \
overrightarrow {BC’} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {CC’} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {BB’}
end{array} right. Rightarrow overrightarrow {AB’} .overrightarrow {BC’} = AB.BC.cos 120^circ + B{B’^2} = frac{3}{2}{a^2}]
[ Rightarrow cos left( {AB’;BC’} right) = frac{{left| {overrightarrow {AB’} .overrightarrow {BC’} } right|}}{{AB’.BC’}} = frac{{frac{3}{2}{a^2}}}{{sqrt {A{B^2} + B{{B’}^2}} .sqrt {B{C^2} + C{{C’}^2}} }} = frac{1}{2} Rightarrow left( {AB’;BC’} right) = 60^circ ]
Câu 28: Đáp án D
Ta chọn được $fleft( x right)=-x+sqrt{{{x}^{2}}+3}$ thỏa mãn.
Thật vậy ${f}’left( x right)=-1+dfrac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+3}}=dfrac{x-sqrt{{{x}^{2}}+3}}{sqrt{{{x}^{2}}+3}}<0,,forall xin mathbb{R}.$
$fleft( x right)=-x+sqrt{{{x}^{2}}+1}Rightarrow underset{xto -infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=+infty .$
$fleft( x right)=-x+sqrt{{{x}^{2}}+1}=dfrac{1}{x+sqrt{{{x}^{2}}+1}}Rightarrow underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=0.$
Với $fleft( x right)=-x+sqrt{{{x}^{2}}+5}$ và $gleft( x right)=dfrac{4}{x}Rightarrow x=2$ thỏa mãn $fleft( x right)=gleft( x right)-1$.
Câu 29: Đáp án A
Ta có ${{left( dfrac{1}{x}-x+2{{text{x}}^{2}} right)}^{9}}=dfrac{{{left( 1-{{x}^{2}}+2{{text{x}}^{3}} right)}^{9}}}{{{x}^{9}}}$.
Ta cần tìm hệ số của ${{x}^{12}}$ trong khai triển $P={{left( 1-{{x}^{2}}+2{{text{x}}^{3}} right)}^{9}}$.
Ta có [P = sumlimits_{k = 0}^9 {C_9^k{{left( {2{{rm{x}}^3} – {x^2}} right)}^k} Rightarrow left[ begin{array}{l}
k = 6\
k = 5\
k = 4
end{array} right.} ] thỏa mãn
+) Với $k=6Rightarrow $ hệ số $C_{9}^{6}.{{left( -1 right)}^{6}}=84.$
+) Với $k=4Rightarrow $ hệ số $C_{9}^{4}{{.2}^{4}}=2016.$
+) Với $k=5Rightarrow C_{9}^{k}{{left( 2{{x}^{3}}-{{x}^{2}} right)}^{k}}=126{{text{x}}^{10}}{{left( 2text{x}-1 right)}^{5}}=126{{text{x}}^{10}}sumlimits_{{k}’=0}^{5}{C_{5}^{{{k}’}}.{{left( 2text{x} right)}^{{{k}’}}}.{{left( -1 right)}^{5-{k}’}}}$
${k}’=2Rightarrow $ hệ số $126.C_{5}^{2}{{.2}^{2}}.{{left( -1 right)}^{5-2}}=-5040.$
Vậy hệ số cần tìm là $84+2016-5040=-2940.$
Câu 30: Đáp án C
Chọn hệ trục như hình vẽ và cắt mặt nước theo thiết diện là tam giác vuông $PNM$. Hình chiếu vuông góc của mặt phẳng thiết diện xuống đáy là nửa đường tròn đường kính $AB$
Ta có: $Scos varphi =dfrac{1}{2}{{S}_{left( C right)}}=dfrac{1}{2}.pi {{R}^{2}}=dfrac{9}{2}pi $ với $varphi =widehat{left( MAB right);left( NAB right)}$
Lại có: $cos varphi =dfrac{R}{sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}}=dfrac{1}{sqrt{26}}$
Do đó $S=dfrac{9pi sqrt{26}}{2}$.
