Câu 1. (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức [T=left( frac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}+frac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}-1 right):left( frac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}-frac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}+1 right)]
b) Cho $x+sqrt{3}=2.$ Tính giá trị của biểu thức: $H={{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-20x+2023$
Câu 2. ( 1,0 điểm). Cho Parabol $(P):y=frac{1}{2}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $(d):y=left( m+1 right)x-{{m}^{2}}-frac{1}{2}$ ($m$ là tham số).
Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $(d)$ cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ sao cho biểu thức
$T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3. (2,0 điểm).
a) Giải phương trình: $sqrt{x+1}+sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5$
b) Giải hệ phương trình: $left{ begin{array}{l}
left( {{x^2} + 1} right)left( {{y^2} + 1} right) = 10\
left( {x + y} right)left( {xy – 1} right) = 3
end{array} right.$
Câu 4. (3,0 điểm). Cho đường tròn $left( O;R right)$ có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Trên dây $BC$
lấy điểm $M$($M$ khác $B$ và $C$). Trên dây $BD$ lấy điểm $N$ sao cho $widehat{MAN}=dfrac{1}{2}widehat{CAD}$; $AN$ cắt $CD$ tại $K$.
Từ $M$ kẻ $MHbot AB$$left( Hin AB right)$.
a) Chứng minh tứ giác $ACMH$ và tứ giác $ACMK$ nội tiếp.
b) Tia $AM$ cắt đường tròn $left( O right)$ tại $E$ ($E$ khác $A$). Tiếp tuyến tại $E$ và $B$ của đường tròn $left( O right)$ cắt nhau tại $F$.
Chứng minh rằng $AF$ đi qua trung điểm của $HM$.
c) Chứng minh $MN$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên dây $BC$ $left( M right.$khác
$B$ và $left. C right).$
Câu 5. (1,0 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $16p+1$ là lập phương của số nguyên dương.
b) Tìm tất cả các bộ số nguyên $left( a,b right)$ thỏa mãn $3left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)-7left( a+b right)=-4$
Câu 6. ( 1,0 điểm).
a) Cho $x,y$ là hai số dương. Chứng minh rằng: $dfrac{{{x}^{2}}}{y}+dfrac{{{y}^{2}}}{x}ge x+y$
b) Xét các số thực $a,b,c$ với $bne a+c$ sao cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm thực $m,n$ thỏa mãn $0le m,nle 1.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$M=dfrac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}$
HẾT
Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….…………..………………………..Số báo danh:…..………………………….……………
Chữ ký của giám thị 1:……………………......…………….Chữ ký của giám thị 2:…….………………………..
