Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 30

PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 9 TUẦN 30

Đại số 9                      Ôn tập: Phương trình bậc hai và bài toán phụ

                        §6        Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 1:  Cho phương trình:  x² -2$m-1$x – 3 – m = 0 $ẩnsốx–thamsốm$

   a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x₁, x₂ với mọi m

   b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

   c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.

   d) Tìm m sao cho nghiệm số x₁, x₂ của phương trình thoả mãn ${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}ge 10$

Bài 2:   Cho phương trình:  ${{x}^{2}}+text{ }2x+m-1=0~$ $mlàthamsố$

  a)  Tìm m để phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau.

  b)  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thoả mãn $3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1$

Bài 3: Cho phương trình $dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-mx+dfrac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1=0$ $\$m\$làthamsố$.

a) Giải phương trình đã cho với $m=-1$ .

b) Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn $dfrac{1}{{{x}_{1}}}+dfrac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}$

Bài 4: Giải các phương trình sau

– Hết –

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: 

a)   Ta có: $Delta $^’ = $m-1$² – $–3–m$ = ${{left$m-dfrac12right$}^{2}}+dfrac{15}{4}$

     Do ${{left$m-dfrac12right$}^{2}}ge 0$ với mọi m; $dfrac{15}{4}>0$ ⇒  $Delta $ > 0 với mọi m.

       ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

       Hay phương trình luôn có hai nghiệm $đpcm$

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3

     Vậy  m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

    Khi đó theo định lí Viet ta có:$S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2$m-1$$ và $P={{x}_{1.}}{{x}_{2}}=-left$m+3right$$

    Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0

     $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2$m–1$ < 0\
 – $m+3$ > 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 1\
m <  – 3
end{array} right. Leftrightarrow m <  – 3$

     Vậy m < -3

d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có:$S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2$m-1$$ và $P={{x}_{1.}}{{x}_{2}}=-left$m+3right$$

Khi đó $Atext{ }=text{ }{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=text{ }{{left$x_1+text{x}_{2}right$}^{2}}-text{ }2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{left$m-1right$}^{2}}+2left$m+3right$=4{{m}^{2}}-6m+10$

Theo bài $A ge10$ ⇔ $4{{m}^{2}}text{ }6mge 0$ ⇔ $2mleft$2m-3right$ge 0$

   $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
m ge 0\
2m – 3 ge 0
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
m le 0\
2m – 3 le 0
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
m ge 0\
m ge dfrac{3}{2}
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
m le 0\
m le dfrac{3}{2}
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m ge dfrac{3}{2}\
m le 0
end{array} right.$         Vậy $m ge dfrac{3}{2}$ hoặc $m le 0$

Bài 2:  

a)  Ta có $Delta $^’ = 1² – $m-1$ = 2 – m

     Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

    $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{Delta  ge 0}\
{P = 1}
end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{2 – m ge 0}\
{m – 1 = 1}
end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m le 2}\
{m = 2}
end{array} Leftrightarrow m = 2} right.} right.$

     Vậy m = 2

b) Ta có  $Delta $^’ = 1² – $m-1$ = 2 – m

     Phương trình có nghiệm ⇔ $Delta  ge 0$ ⇔ $2 – m ge 0$ ⇔ $m le 2$ $\ast$

     Khi đó theo định lí Viet ta có: x₁+ x₂ = -2  $1$;  x₁x₂ = m – 1 $2$

     Theo bài: $3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1$  $3$

  Từ $1$ và $3$ ta có: 

$left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  – 2\
3{x_1} + 2{x_2} = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2{x_1} + 2{x_2} =  – 4\
3{x_1} + 2{x_2} = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} = 5\
{x_1} + {x_2} =  – 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} = 5\
{x_2} =  – 7
end{array} right.$

   Thế vào $2$ ta có:   $5left$-7right$=mtext{ }-1$ ⇔ $mtext{ }=-text{ }34$ $thoảmãn(\ast$)

   Vậy $mtext{ }=-text{ }34$ là giá trị cần tìm.

Bài 3:

1. Với $m=-1$ phương trình trở thành $dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+x-dfrac{9}{2}=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-9=0$

$Rightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} =  – 1 – sqrt {10} \
{x_2} =  – 1 + sqrt {10} 
end{array} right.$

2. Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì $Delta >0$

$Leftrightarrow {{left$-mright$}^{2}}-4.dfrac{1}{2}.left$dfrac12m^2+4m-1right$>0Leftrightarrow -8m+2>0Leftrightarrow m<dfrac{1}{4}$

Để phương trình có nghiệm khác 0 $Leftrightarrow dfrac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1ne 0$

$Rightarrow left{ begin{array}{l}
{m_1} ne  – 4 – 3sqrt 2 \
{m_2} ne  – 4 + 3sqrt 2 
end{array} right.$

Ta có $dfrac{1}{{{x_1}}} + dfrac{1}{{{x_2}}} = {x_1} + {x_2} Leftrightarrow left$x_1+x_{2}right$left$x_1{x}_2–1right$ = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 0\
{x_1}{x_2} – 1 = 0
end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2m = 0\
{m^2} + 8m – 3 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m = 0\
m =  – 4 – sqrt {19} \
m =  – 4 + sqrt {19} 
end{array} right.$

Kết hợp với điều kiện ta được $left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{m = 0}\
{m =  – 4 – sqrt {19} }
end{array}} right.$

Vậy  $left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{m = 0}\
{m =  – 4 – sqrt {19} }
end{array}} right.$ là các giá trị cần tìm.

Bài 4:

a) Đặt t = x²  ⇒  $t ge0$ phương trình $1$ có dạng :

                        ${{t}^{2}}-13t+36=0~~$ Ta có

$Delta  = {$–13$^2} – 4.36 = 25 Rightarrow sqrt Delta   = 5$ 

$ Rightarrow {t_1} = dfrac{{ – $–13$ + 5}}{2};{t_2} = dfrac{{ – $–13$ – 5}}{2}$

• Với  t₁ = 9     x²= 9 $ Rightarrow x =  pm sqrt 9  =  pm 3$
• Với  t₂ = 4     x² =4 $ Rightarrow x =  pm sqrt 4  =  pm 2$     

Vậy phương trình  $1$ có  4 nghiệm : x₁=-2  ;  x₂=-3;  x₃ =2;  x₄ =3.

b) Đặt  t = x²  ⇒  $t ge0$ phương trình $2$ có dạng : ${{t}^{2}}-5ttext{ }+6text{ }=text{ }0$

Ta có:

$Delta  = {$–5$^2} – 4.6 = 1 Rightarrow sqrt Delta   = 1$

$ Rightarrow {t_1} = dfrac{{ – $–5$ + }1}{2};{t_2} = dfrac{{ – $–5$ – 1}}{2}$

• Với  t₁ = 3     x² = 3$ Rightarrow x =  pm sqrt 3 $
• Với  t₂ = 2     x² =2$ Rightarrow x =  pm sqrt 2 $

Vậy phương trình $2$ có 4 nghiệm: x₁= $x = sqrt 3 $ ; x₂= – $x = sqrt 3 $ ; x₃=$x = sqrt 2 $ ; x₄ = – $x = sqrt 2 $ .

c) Ta có phương trình$Leftrightarrow {{x}^{4}}-{{left$2x-3right$}^{2}}=0$  $1.1$

$Leftrightarrow left$x^2+2x–3right$left$x^2–2x+3right$ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} + 2x – 3 = 0\
{x^2} – 2x + 3 = 0
end{array} right. Leftrightarrow x = 1;x = 3$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=1;x=3$

d) Hướng dẫn: ĐKXĐ: $xne pm 1$ . MTC: $2$x^2-1$$

Quy đồng, khử mẫu ta được phương trình $5{{x}^{2}}-19x-66=0$

Giải ra hai nghiệm: ${{x}_{1}}=6;{{x}_{2}}=-2,2$ $thoảmãn$. Kết luận nghiệm.

e) $sqrt {x – 3}  = 2x – 7 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2x – 7 ge 0\
x – 3 = {left$2x–7right$^2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge dfrac{7}{2}\
4{x^2} – 29x + 52 = 0{rm{ $\ast$}}
end{array} right.$.

${{x}_{1}}=4;{{x}_{2}}=dfrac{13}{4}$ . Giải phương trình $\ast$ ta được Nhận giá trị ${{x}_{1}}=4>dfrac{7}{2}$, loại giá trị ${{x}_{2}}=dfrac{13}{4}<dfrac{7}{2}$

Kết luận: Vậy $x=4$là nghiệm của phương trình.

f) $sqrt {{x^2} – 3}  = sqrt {3x – 5}  Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
3x – 5 ge 0\
{x^2} – 3 = 3x – 5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge dfrac{5}{3}\
{x^2} – 3x + 2 = 0{rm{ $\ast \ast$}}
end{array} right.$

Giải $\ast \ast$ theo trường hợp a + b + c = 0 ta có ${{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=2$.

${{x}_{1}}=1<dfrac{5}{3}$ $loại$ . ${{x}_{2}}=2>dfrac{5}{3}$$nhận$.

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Hết