PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 8 TUẦN 27
Hình học 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CK. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC hai tam giác CAE và CBF tương ứng vuông góc tại E ; F và thỏa mãn $widehat{ACE}=widehat{CBA};widehat{BCF}=widehat{CAB}$ .
Chứng minh rằng:$C{{K}^{2}}=AE.BF$ .
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD ( AC > BD) vẽ CE vuông góc với AB tại E, vẽ CF vuông góc với AD tại F.Chứng minh rằng $AB.AEtext{ }+text{ }AD.text{ }AFtext{ }=text{ }A{{C}^{2}}$ .
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.
c) Kẻ DH ^ BC, (H Î BC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ ^ PD.
Bài 4: Cho tam giác ABC có hai góc B và C thỏa mãn điều kiện $widehat{B}-widehat{C}={{90}^{0}}$ . Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng: $A{{H}^{2}}=BH.CH$
Bài 5 : Cho tam giác ABC cân tại A($widehat{A}<{{90}^{0}}$), đường cao AD, trực tâm H. Chứng minh hệ thức
$C{{D}^{2}}=text{ }DH.DA$
Bài 6:
Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 150cm2 (như hình vẽ). Gọi E, F là trung điểm AB và BC. Gọi M, N là giao điểm của DE, DF với AC. Tính tổng diện tích phần tô đậm.
– Hết –
PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:
∆ACK và ∆CBF có : $widehat {CKA} = widehat {BFC} = {90^0};widehat {CAK} = widehat {BCF} Rightarrow $ ∆ACK ∆CBF (g.g) $ Rightarrow frac{{CK}}{{CA}} = frac{{BF}}{{BC}}$ (1).
Tương tự ta có ∆BCK $$ ∆CAE(g.g) $Rightarrow frac{CK}{CB}=frac{AE}{AC}$ (2)
Nhân từng vế của (1) và (2) ta được:
$Rightarrow frac{CK}{CA}cdot frac{CK}{CB}=frac{BF}{BC}cdot frac{Atext{E}}{AC}Rightarrow C{{K}^{2}}=Atext{E}.BF.$
Bài 2:
Vẽ $BHbot ACleft( Hin AC right)$
Xét $Delta $ ABH và $Delta $ ACE có $widehat {AHB} = widehat {AEC} = {90^0};widehat {BAC}$ chung . Suy ra $Delta $ ABH $Delta $ ACE (g.g) $ Rightarrow frac{{AB}}{{AC}} = frac{{AH}}{{AE}} Rightarrow AB.AE = AC.AH$ (1)
Xét$Delta $CBH và $Delta $ACF có $widehat{BCH}=widehat{CAF}$(so le trong) $widehat{CHB}=widehat{CFA}left( ={{90}^{0}} right)$
Suy ra $Delta $CBH $backsim $$Delta $ACF (g.g) $Rightarrow frac{BC}{AC}=frac{CH}{AF}Rightarrow BC.AF=AC.CH$(2)
Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được:
$AB.AE+BC.AF=AC.AH+AC.CHRightarrow AB.AE+AD.AF=ACleft( AH+CH right)=A{{C}^{2}}.$
Bài 3:
a) Chứng minh EA.EB = ED.EC
Xét ∆EBD và ∆ECA có: $widehat{Etext{D}B}=widehat{Etext{A}C}={{90}^{0}}$ , $widehat{BEC}$ chung nên ∆EBD $$ ∆ECA (g-g)
Từ đó suy ra
$frac{EB}{EC}=frac{ED}{EA}Rightarrow EA.EB=ED.EC$
b) Kẻ MI vuông góc với BC (I Î BC). Ta có ∆BIM và ∆BDC có $widehat{BIM}=widehat{Btext{D}C}={{90}^{0}}$ , $widehat{MBC}$ chung , nên ∆BIM $backsim $∆BDC (g-g ) $Rightarrow frac{BM}{BC}=frac{BI}{Btext{D}}Rightarrow $BM.BD = BC.BI (1)
Tương tự: ∆ACB $backsim $∆ICM (g-g) $Rightarrow frac{CM}{BC}=frac{CI}{CA}$
$Rightarrow $CM.CA = BC.CI (2)
Từ (1) và (2) cộng vế với vế,suy ra $BM.BD+CM.CA=BI.BC+CI.BC=BC(BI+CI)=B{{C}^{2}}$(không đổi)
c) Xét ∆BHD ∆DHC (g-g) Þ $frac{{BH}}{{DH}} = frac{{H{rm{D}}}}{{HC}} Rightarrow frac{{2.HP}}{{2.HQ}} = frac{{H{rm{D}}}}{{HC}} Rightarrow frac{{HP}}{{HQ}} = frac{{H{rm{D}}}}{{HC}}$
Þ∆HPD ∆HQC (c-g-c) Þ $widehat {PDH} = widehat {QCH}$ mà $widehat {HDP} + widehat {DPC} = {90^o}$
$ Rightarrow widehat {HCQ} + widehat {DPC} = {90^o}$ $ Rightarrow CQ bot PD$
Bài 4:
Ta có $widehat{ABC}=widehat{BAH}+widehat{AHB}=widehat{BAH}+{{90}^{0}}$ mà $widehat{ABC}=widehat{ACB}+{{90}^{{}^circ }}$$ Rightarrow widehat {ACH} = widehat {BAH}$ .
Từ đó suy ra: $Delta $ ABH $$ $Delta $ CAH(g.g) ${Rightarrow frac { mathrm { AH } } { mathrm { CH } } = frac { mathrm { BH } } { mathrm { AH } } Rightarrow mathrm { AH } ^ { 2 } = mathrm { BH.CH }}$
Bài 5:
Ta có: $widehat{BAD}=widehat{BCH}$ $(={{90}^{0}}-widehat{ABC})$ và $widehat{CDH}=widehat{ADB}={{90}^{0}}$
Suy ra: ∆CDH $$ ∆ADB(g.g) nên ${frac { C mathrm { D } } { A mathrm { D } } = frac { D H } { D B }}$ .
Ta lại có CD = DB nên CD2 = DA.DH.
Bài 6:
Ta có: ∆AME ” ∆CMD $ Rightarrow frac{{EM}}{{DM}} = frac{{AE}}{{DC}} = frac{1}{2} Rightarrow DM = 2.EM$
Đặt ${{S}_{AEM}}=x$ Ta có ${frac { S _ { A B M } } { S _ { A D M } } = frac { E M } { D M } = frac { 1 } { 2 } Rightarrow S _ { A M M } = 2 x}$Ta có: ${{S}_{AEM}}+{{S}_{ADM}}={{S}_{ADE}}=frac{1}{2}{{S}_{ABD}}=frac{1}{4}{{S}_{ABCD}}$ $Rightarrow x+2x=37,5Leftrightarrow x=12,5$ $Rightarrow {{S}_{AMD}}=25text{ }c{{m}^{2}}$
Tương tự ta có: ${S _ { mathrm { CNE } } = 12,5 mathrm { cm } ^ { 2 } ; mathrm { S } _ { mathrm { CND } } = 25 mathrm { cm } ^ { 2 }}$
${{S}_{DMN}}={{S}_{ACD}}-{{S}_{AMD}}-{{S}_{CND}}=75-25-25=25text{ }c{{m}^{2}}$
Þ diện tích phần tô đậm là: ${12,5 + 12,5 + 25 = 50 mathrm { cm } ^ { 2 }}$. – Hết –
