Phiếu bài tập tuần Toán 8 – Tuần 22

a) $frac{4}{x-1}-frac{5}{x-2}=-3$

b) $3x-frac{1}{x-2}=frac{x-1}{2-x}$

c) $frac{x+4}{{{x}^{2}}-3x+2}+frac{x+1}{{{x}^{2}}-4x+3}=frac{2x+5}{{{x}^{2}}-4x+3}$

d) $frac{2}{{{x}^{2}}-4}-frac{1}{x(x-2)}+frac{x-4}{x(x+2)}=0$

e) $frac{4x}{{{x}^{2}}+4x+3}-1=6left( frac{1}{x+3}-frac{1}{2x+2} right)$

f) $frac{3}{4(x-5)}+frac{15}{50-2{{x}^{2}}}=frac{7}{6x+30}$

g) $frac{1}{x-1}+frac{2{{x}^{2}}-5}{{{x}^{3}}-1}=frac{4}{{{x}^{2}}+x+1}$

h) $frac{12x+1}{6x-2}-frac{9x-5}{3x+1}=frac{108x-36{{x}^{2}}-9}{4(9{{x}^{2}}-1)}$

i) $x+frac{1}{x}={{x}^{2}}+frac{1}{{{x}^{2}}}$

j) $frac{1}{x}+2=left( frac{1}{x}+2 right)left( {{x}^{2}}+2 right)$

f) $frac{3}{{4(x – 5)}} + frac{{15}}{{50 – 2{x^2}}} = frac{7}{{6x + 30}}$ $ Leftrightarrow frac{3}{{4(x – 5)}} – frac{{15}}{{2({x^2} – 25)}} = frac{7}{{6(x + 5)}}$

$ Leftrightarrow frac{3}{{4(x – 5)}} – frac{{15}}{{2(x – 5)(x + 5)}} = frac{7}{{6(x + 5)}}$   (6)

Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
x + 5 ne 0\
x – 5 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne  – 5\
x ne 5
end{array} right.$

Mẫu chung: $12(x + 5)(x – 5)$

Phương trình (6) trở thành

$frac{{3.3(x + 5)}}{{4.3(x + 5)(x – 5)}} – frac{{15.6}}{{2(x – 5)(x + 5)}} = frac{{7.2(x – 5)}}{{6(x + 5).2(x – 5)}}$

$begin{array}{l}
 Rightarrow 9(x + 5) – 15.6 = 14(x – 5)\
 Leftrightarrow 9x + 45 – 90 = 14x – 70\
 Leftrightarrow  – 5x =  – 25
end{array}$

$ Leftrightarrow x = 5$ (loại)                                                    

   Vậy $S = left{ emptyset  right}$

g) $frac{1}{{x – 1}} + frac{{2{x^2} – 5}}{{{x^3} – 1}} = frac{4}{{{x^2} + x + 1}}$ $ Leftrightarrow frac{1}{{x – 1}} + frac{{2{x^2} – 5}}{{(x – 1)({x^2} + x + 1)}} = frac{4}{{{x^2} + x + 1}}$  (7)

Điều kiện: $x – 1 ne 0 Leftrightarrow x ne 1$  vì ${x^2} + x + 1 > 0forall x$

Mẫu chung: $(x – 1)({x^2} + x + 1)$

Phương trình (7) trở thành

$frac{{1({x^2} + x + 1)}}{{(x – 1)({x^2} + x + 1)}} + frac{{2{x^2} – 5}}{{(x – 1)({x^2} + x + 1)}} = frac{{4(x – 1)}}{{({x^2} + x + 1)(x – 1)}}$                                                              

$begin{array}{l}
 Rightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} – 5 = 4x – 4\
 Leftrightarrow 3{x^2} – 3x = 0\
 Leftrightarrow 3x(x – 1) = 0\
 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x – 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 1
end{array} right.
end{array}$                                                                               

  Vậy $S = left{ 0 right}$

h) $frac{{12x + 1}}{{6x – 2}} – frac{{9x – 5}}{{3x + 1}} = frac{{108x – 36{x^2} – 9}}{{4(9{x^2} – 1)}}$ $ Leftrightarrow frac{{12x + 1}}{{2(3x – 1)}} – frac{{9x – 5}}{{3x + 1}} = frac{{108x – 36{x^2} – 9}}{{4(3x – 1)(3x + 1)}}$   (8)

Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
3x – 1 ne 0\
3x + 1 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne frac{1}{3}\
x ne frac{{ – 1}}{3}
end{array} right.$

Mẫu chung: $4(3x + 1)(3x – 1)$

Phương trình (8) trở thành

$frac{{2(12x + 1)(3x + 1)}}{{2.2(3x + 1)(3x – 1)}} – frac{{4(9x – 5)(3x – 1)}}{{4(3x + 1)(3x – 1)}} = frac{{108x – 36{x^2} – 9}}{{4(3x – 1)(3x + 1)}}$

$begin{array}{l}
 Rightarrow 2(12x + 1)(3x + 1) – 4(9x – 5)(3x – 1) = 108x – 36{x^2} – 9\
 Leftrightarrow 2(36{x^2} + 15x + 1) – 4(27{x^2} – 24x + 5) – 108x + 36{x^2} + 9 = 0\
 Leftrightarrow 72{x^2} + 30x + 2 – 108{x^2} + 96x – 20 – 108x + 36{x^2} + 9 = 0\
 Leftrightarrow 18x – 9 = 0
end{array}$

$ Leftrightarrow x = frac{9}{{18}} Leftrightarrow x = frac{1}{2}$  (nhận)                                       

   Vậy $S = left{ {frac{1}{2}} right}$

i) $x + frac{1}{x} = {x^2} + frac{1}{{{x^2}}}$  $ Leftrightarrow x + frac{1}{x} = {left( {x + frac{1}{x}} right)^2} – 2x.frac{1}{x}$  $ Leftrightarrow {left( {x + frac{1}{x}} right)^2} – left( {x + frac{1}{x}} right) – 2 = 0$  (9)

Điều kiện: $x ne 0$

Đặt $x + frac{1}{x} = t$ , phương trình (9) trở thành
 ${t^2} – t – 2 = 0$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow {t^2} + t – 2t – 2 = 0\
 Leftrightarrow t(t + 1) – 2(t + 1) = 0\
 Leftrightarrow (t – 2)(t + 1) = 0\
 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t – 2 = 0\
t + 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 2\
t =  – 1
end{array} right.
end{array}$

Với t =  2, ta có $x + frac{1}{x} = 2 Rightarrow {x^2} + 1 = 2x Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0$

$ Leftrightarrow {(x – 1)^2} = 0 Leftrightarrow x – 1 = 0 Leftrightarrow x = 1$ (nhận)

Với t= – 1, ta có $x + frac{1}{x} =  – 1 Rightarrow {x^2} + 1 =  – x Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = 0$

$ Leftrightarrow {left( {x + frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4} = 0$  (vô nghiệm)

vì ${left( {x + frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4} > 0forall x$                                                                                                                  

  Vậy $S = left{ 1 right}$

j) $frac{1}{x} + 2 = left( {frac{1}{x} + 2} right)left( {{x^2} + 2} right)$ $ Leftrightarrow frac{1}{x} + 2 – left( {frac{1}{x} + 2} right)left( {{x^2} + 2} right) = 0$  Điều kiện: $x ne 0$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow left( {frac{1}{x} + 2} right) – left( {frac{1}{x} + 2} right)left( {{x^2} + 2} right) = 0\
 Leftrightarrow left( {frac{1}{x} + 2} right)left( {1 – {x^2} – 2} right) = 0\
 Leftrightarrow left( {frac{1}{x} + 2} right)left( { – {x^2} – 1} right) = 0
end{array}$

$ Leftrightarrow  – left( {frac{1}{x} + 2} right)left( {{x^2} + 1} right) = 0$  $ Leftrightarrow frac{1}{x} + 2 = 0$  vì $left( {{x^2} + 1} right) > 0forall x$

$ Rightarrow 1 + 2x = 0$

$ Leftrightarrow x = frac{{ – 1}}{2}$            

Vậy $S = left{ {frac{{ – 1}}{2}} right}$

BD là phân giác trong của góc B nên

${Rightarrow frac { D A } { D C } = frac { B A } { B C }}$

Theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có

 ${frac { D A + D C } { D C } = frac { B A + B C } { B C } Rightarrow frac { A C } { D C } = frac { 15 + 10 } { 10 }}$

${Rightarrow D C = frac { 10 . A C } { 25 } = frac { 10.15 } { 25 } = 6}$ (cm)

                 Ta có DA + DC = AC   ${Rightarrow A D = A C – D C = 15 – 6 = 9}$ (cm)

a) Ta có AM là phân giác của góc A

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có

          ${frac { M B } { M C } = frac { A B } { A C }}$

Tương tự đối với các đường phân giác BN, CP ta có

         ${frac { N C } { N A } = frac { B C } { B A } ; frac { P A } { P B } = frac { C A } { C B }}$

Do đó ${frac { M B } { M C } cdot frac { N C } { N A } cdot frac { P A } { P B } = frac { A B } { A C } cdot frac { B C } { B A } cdot frac { C A } { C B } = 1}$

Vậy ${frac { mathrm { AP } } { A P } cdot frac { B M } { B C } cdot frac { C N } { C A } = 1}$

b) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài của các cạnh BC, CA, AB

Trong ${Delta A B M}$thì BI là phân giác ứng với cạnh AM nên

         $frac{MI}{IA}=frac{BM}{BA}=frac{BM}{c}Rightarrow frac{MI}{MI+IA}=frac{BM}{BM+c}Rightarrow frac{MI}{MA}=frac{BM}{BM+c}$    (1)

Trong ${Delta A C M}$thì CI là phân giác ứng với cạnh AM nên

        $frac{MI}{IA}=frac{CM}{CA}=frac{CM}{b}Rightarrow frac{MI}{MI+IA}=frac{CM}{CM+b}Rightarrow frac{MI}{MA}=frac{CM}{CM+b}$    

Mà CM = BC – BM = a – BM . Nên   ${frac { M I } { M A } = frac { a – B M } { a – B M + b }}$           (2)

So sánh (1) và (2) ta có  ${frac { M I } { M A } = frac { B M } { B M + c } = frac { a – B M } { a – B M + b } = frac { B M + a – B M } { B M + c + a – B M + b }}$

                                        ${Rightarrow frac { M I } { M A } = frac { a } { a + b + c }}$

Chứng minh tương tự ta có ${frac { N I } { B N } = frac { b } { a + b + c }}$

                                            ${frac { P I } { C P } = frac { c } { a + b + c }}$

Suy ra ${frac { M I } { M A } + frac { N I } { B N } + frac { P I } { C P } = frac { a } { a + b + c } + frac { b } { a + b + c } + frac { c } { a + b + c } = frac { a + b + c } { a + b + c } = 1}$

Vậy ${frac { M I } { M A } + frac { N I } { N B } + frac { P I } { P C } = 1}$