Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js

Phiếu bài tập tuần Toán 8 – Tuần 22

Đăng vào bởi admin

PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 8 TUẦN 22

Đại số 8 :       Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Hình học 8:   Tính chất đường phân giác của tam giác

 

†††††††††

Bài 1:   Giải các phương trình sau

a) $frac{4}{x-1}-frac{5}{x-2}=-3$

b) $3x-frac{1}{x-2}=frac{x-1}{2-x}$

c) $frac{x+4}{{{x}^{2}}-3x+2}+frac{x+1}{{{x}^{2}}-4x+3}=frac{2x+5}{{{x}^{2}}-4x+3}$

d) $frac{2}{{{x}^{2}}-4}-frac{1}{xx−2}+frac{x-4}{xx+2}=0$

e) $frac{4x}{{{x}^{2}}+4x+3}-1=6leftfrac1x+3−frac12x+2right$

f) $frac{3}{4x−5}+frac{15}{50-2{{x}^{2}}}=frac{7}{6x+30}$

g) $frac{1}{x-1}+frac{2{{x}^{2}}-5}{{{x}^{3}}-1}=frac{4}{{{x}^{2}}+x+1}$

h) $frac{12x+1}{6x-2}-frac{9x-5}{3x+1}=frac{108x-36{{x}^{2}}-9}{49x2−1}$

i) $x+frac{1}{x}={{x}^{2}}+frac{1}{{{x}^{2}}}$

j) $frac{1}{x}+2=leftfrac1x+2rightleftx2+2right$

Bài 2: Cho $Delta ABC$có$AB=6cm,AC=9cm,BC=10cm$, đường phân giác trong$AD$, đường phân giác ngoài$AE$.

a) Tính $DB,DC,EB$.

b) Đường phân giác$CF$của $Delta ABC$cắt $AD$ở$I$. Tính tỉ số diện tích $Delta DIF$và diện tích$Delta ABC$.

Bài 3:  Cho tam giác ABC cân ở A, phân giác trong BD, BC = 10cm, AB = 15cm.

Tính AD, DC.

Bài 4:  Cho tam giác ABC có 3 phân giác trong AM, BN, CP cắt nhau tại I.

Chứng minh             a) ${frac { mathrm { AP } } { A P } cdot frac { B M } { B C } cdot frac { C N } { C A } = 1}$

                                     b) ${frac { M I } { M A } + frac { N I } { N B } + frac { P I } { P C } = 1}$

– Hết –

 

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:  

a) $frac{4}{{x – 1}} – frac{5}{{x – 2}} =  – 3$   1        

Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
x – 1 ne 0\
x – 2 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne 1\
x ne 2
end{array} right.$

Mẫu chung: x−1x−2

Phương trình 1 trở thành   $frac{{4x–2}}{{x–1x–2}} – frac{{5x–1}}{{x–2x–1}} = frac{{ – 3x–1x–2}}{{x–1x–2}}$

$begin{array}{l}
 Rightarrow 4x–2 – 5x–1 =  – 3x–1x–2\
 Leftrightarrow 4x – 8 – 5x + 5 =  – 3x2–3x+2\
 Leftrightarrow  – x – 3 =  – 3{x^2} + 9x – 6\
 Leftrightarrow 3{x^2} – 10x + 3 = 0
end{array}$                        $begin{array}{l}
 Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – x + 3 = 0\
 Leftrightarrow 3xx–3 – x–3 = 0\
 Leftrightarrow x–33x–1 = 0
end{array}$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 3 = 0\
3x – 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 3\
x = frac{1}{3}
end{array} right.$     nhận          

Vậy $S = left{ {frac{1}{3};3} right}$

b)

$3x – frac{1}{{x – 2}} = frac{{x – 1}}{{2 – x}}$     2

Điều kiện: $x – 2 ne 0 Leftrightarrow x ne 2$

Mẫu chung: x-2

Phương trình 2 trở thành                  $frac{{3xx–2}}{{x – 2}} – frac{1}{{x – 2}} = frac{{ – x–1}}{{x – 2}}$                         $ Rightarrow 3xx–2 – 1 =  – x–1$                 $begin{array}{l}
 Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 1 + x – 1 = 0\
 Leftrightarrow 3{x^2} – 5x – 2 = 0\
 Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + x – 2 = 0\
 Leftrightarrow 3xx–2 + x–2 = 0\
 Leftrightarrow x–23x+1 = 0
end{array}$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 2 = 0\
3x + 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2{rm{          l}}\
x = frac{{ – 1}}{3}{rm{      t/m}}
end{array} right.$                              

Vậy $S = left{ {frac{{ – 1}}{3}} right}$

c) $frac{{x + 4}}{{{x^2} – 3x + 2}} + frac{{x + 1}}{{{x^2} – 4x + 3}} = frac{{2x + 5}}{{{x^2} – 4x + 3}}$

$ Leftrightarrow frac{{x + 4}}{{x–1x–2}} + frac{{x + 1}}{{x–1x–3}} = frac{{2x + 5}}{{x–1x–3}}$ 3

Điều kiện $left{ begin{array}{l}
x – 1 ne 0\
x – 2 ne 0\
x – 3 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne 1\
x ne 2\
x ne 3
end{array} right.$

Phương trình 3 trở thành

$frac{{x+4x–3}}{{x–1x–2x–3}} + frac{{x+1x–2}}{{x–1x–3x–2}} = frac{{2x+5x–2}}{{x–1x–3x–2}}$

$begin{array}{l}
 Rightarrow x+4x–3 + x+1x–2 = 2x+5x–2\
 Leftrightarrow {x^2} + x – 12 + {x^2} – x – 2 = 2{x^2} + x – 10\
 Leftrightarrow  – x = 4
end{array}$

$ Leftrightarrow x =  – 4$    nhận                                                                    

Vậy $S = left{ { – 4} right}$

d) $frac{2}{{{x^2} – 4}} – frac{1}{{xx–2}} + frac{{x – 4}}{{xx+2}} = 0$  $frac{2}{{{x^2} – 4}} – frac{1}{{xx–2}} + frac{{x – 4}}{{xx+2}} = 0$  4

Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
x ne 0\
x + 2 ne 0\
x – 2 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne 0\
x ne  – 2\
x ne 2
end{array} right.$

Mẫu chung: $xx+2x–2$

Phương trình 4 trở thành

$frac{{2x}}{{x–2x+2x}} – frac{{1x+2}}{{xx–2x+2}} + frac{{x–4x–2}}{{xx+2x–2}} = 0$$frac{{2x}}{{x–2x+2x}} – frac{{1x+2}}{{xx–2x+2}} + frac{{x–4x–2}}{{xx+2x–2}} = 0$

$begin{array}{l}
 Rightarrow 2x – x+2 + x–4x–2 = 0\
 Leftrightarrow 2x – x – 2 + {x^2} – 6x + 8 = 0\
 Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0\
 Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3x + 6 = 0\
 Leftrightarrow xx–2 – 3x–2 = 0\
 Leftrightarrow x–2x–3 = 0
end{array}$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 2 = 0\
x – 3 = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
x = 3
end{array} right.$                                         

    Vậy $S = left{ 3 right}$

 

e)

$frac{{4x}}{{{x^2} + 4x + 3}} – 1 = 6leftfrac1x+3–frac12x+2right$ $ Leftrightarrow frac{{4x}}{{x+1x+3}} – 1 = 6leftfrac1x+3–frac12(x+1)right$  5

Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
x + 1 ne 0\
x + 3 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne  – 1\
x ne  – 3
end{array} right.$

Mẫu chung: $2x+1x+3$

Phương trình 5 trở thành                 

$frac{{4.2x}}{{2x+1x+3}} – frac{{2x+1x+3}}{{2x+1x+3}} = 6leftfrac1(x+1).2(x+3)(x+1).2–frac1(x+3)2(x+1)(x+3)right$

$begin{array}{l}
 Rightarrow 4.2x – 2x+1x+3 = 62(x+1 – x+3)\
 Leftrightarrow 8x – 2x2+4x+3 = 62x+2–x–3\
 Leftrightarrow 8x – 2{x^2} – 8x – 6 = 6x–1\
 Leftrightarrow  – 2{x^2} – 6x = 0\
 Leftrightarrow  – 2xx+3 = 0
end{array}$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x + 3 = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0{rm{       t/m}}\
x =  – 3{rm{    (k}}{rm{.t/m)}}
end{array} right.$                                                          

   Vậy$S = left{ 0 right}$

 

f) $frac{3}{{4x–5}} + frac{{15}}{{50 – 2{x^2}}} = frac{7}{{6x + 30}}$ $ Leftrightarrow frac{3}{{4x–5}} – frac{{15}}{{2x2–25}} = frac{7}{{6x+5}}$

$ Leftrightarrow frac{3}{{4x–5}} – frac{{15}}{{2x–5x+5}} = frac{7}{{6x+5}}$   6

Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
x + 5 ne 0\
x – 5 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne  – 5\
x ne 5
end{array} right.$

Mẫu chung: $12x+5x–5$

Phương trình 6 trở thành

$frac{{3.3x+5}}{{4.3x+5x–5}} – frac{{15.6}}{{2x–5x+5}} = frac{{7.2x–5}}{{6x+5.2x–5}}$

$begin{array}{l}
 Rightarrow 9x+5 – 15.6 = 14x–5\
 Leftrightarrow 9x + 45 – 90 = 14x – 70\
 Leftrightarrow  – 5x =  – 25
end{array}$

$ Leftrightarrow x = 5$ loại                                                    

   Vậy $S = left{ emptyset  right}$

g) $frac{1}{{x – 1}} + frac{{2{x^2} – 5}}{{{x^3} – 1}} = frac{4}{{{x^2} + x + 1}}$ $ Leftrightarrow frac{1}{{x – 1}} + frac{{2{x^2} – 5}}{{x–1x2+x+1}} = frac{4}{{{x^2} + x + 1}}$  7

Điều kiện: $x – 1 ne 0 Leftrightarrow x ne 1$  vì ${x^2} + x + 1 > 0forall x$

Mẫu chung: $x–1x2+x+1$

Phương trình 7 trở thành

$frac{{1x2+x+1}}{{x–1x2+x+1}} + frac{{2{x^2} – 5}}{{x–1x2+x+1}} = frac{{4x–1}}{{x2+x+1x–1}}$                                                              

 

 

 

loại

nhận

$begin{array}{l}
 Rightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} – 5 = 4x – 4\
 Leftrightarrow 3{x^2} – 3x = 0\
 Leftrightarrow 3xx–1 = 0\
 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x – 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 1
end{array} right.
end{array}$                                                                               

 

  Vậy $S = left{ 0 right}$

h) $frac{{12x + 1}}{{6x – 2}} – frac{{9x – 5}}{{3x + 1}} = frac{{108x – 36{x^2} – 9}}{{49x2–1}}$ $ Leftrightarrow frac{{12x + 1}}{{23x–1}} – frac{{9x – 5}}{{3x + 1}} = frac{{108x – 36{x^2} – 9}}{{43x–13x+1}}$   8

Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
3x – 1 ne 0\
3x + 1 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne frac{1}{3}\
x ne frac{{ – 1}}{3}
end{array} right.$

Mẫu chung: $43x+13x–1$

Phương trình 8 trở thành

$frac{{212x+13x+1}}{{2.23x+13x–1}} – frac{{49x–53x–1}}{{43x+13x–1}} = frac{{108x – 36{x^2} – 9}}{{43x–13x+1}}$

$begin{array}{l}
 Rightarrow 212x+13x+1 – 49x–53x–1 = 108x – 36{x^2} – 9\
 Leftrightarrow 236x2+15x+1 – 427x2–24x+5 – 108x + 36{x^2} + 9 = 0\
 Leftrightarrow 72{x^2} + 30x + 2 – 108{x^2} + 96x – 20 – 108x + 36{x^2} + 9 = 0\
 Leftrightarrow 18x – 9 = 0
end{array}$

$ Leftrightarrow x = frac{9}{{18}} Leftrightarrow x = frac{1}{2}$  nhận                                       

   Vậy $S = left{ {frac{1}{2}} right}$

 

i) $x + frac{1}{x} = {x^2} + frac{1}{{{x^2}}}$  $ Leftrightarrow x + frac{1}{x} = {leftx+frac1xright^2} – 2x.frac{1}{x}$  $ Leftrightarrow {leftx+frac1xright^2} – leftx+frac1xright – 2 = 0$  9

Điều kiện: $x ne 0$

Đặt $x + frac{1}{x} = t$ , phương trình 9 trở thành
 ${t^2} – t – 2 = 0$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow {t^2} + t – 2t – 2 = 0\
 Leftrightarrow tt+1 – 2t+1 = 0\
 Leftrightarrow t–2t+1 = 0\
 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t – 2 = 0\
t + 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 2\
t =  – 1
end{array} right.
end{array}$

Với t =  2, ta có $x + frac{1}{x} = 2 Rightarrow {x^2} + 1 = 2x Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0$

$ Leftrightarrow {x–1^2} = 0 Leftrightarrow x – 1 = 0 Leftrightarrow x = 1$ nhận

Với t= – 1, ta có $x + frac{1}{x} =  – 1 Rightarrow {x^2} + 1 =  – x Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = 0$

$ Leftrightarrow {leftx+frac12right^2} + frac{3}{4} = 0$  vônghiệm

vì ${leftx+frac12right^2} + frac{3}{4} > 0forall x$                                                                                                                  

  Vậy $S = left{ 1 right}$

j) $frac{1}{x} + 2 = leftfrac1x+2rightleftx2+2right$ $ Leftrightarrow frac{1}{x} + 2 – leftfrac1x+2rightleftx2+2right = 0$  Điều kiện: $x ne 0$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow leftfrac1x+2right – leftfrac1x+2rightleftx2+2right = 0\
 Leftrightarrow leftfrac1x+2rightleft1–x2–2right = 0\
 Leftrightarrow leftfrac1x+2rightleft–x2–1right = 0
end{array}$

$ Leftrightarrow  – leftfrac1x+2rightleftx2+1right = 0$  $ Leftrightarrow frac{1}{x} + 2 = 0$  vì $leftx2+1right > 0forall x$

$ Rightarrow 1 + 2x = 0$

$ Leftrightarrow x = frac{{ – 1}}{2}$            

Vậy $S = left{ {frac{{ – 1}}{2}} right}$

 

Bài 2:

Ta có: $frac{BD}{CD}=frac{AB}{AC}=frac{6}{9}=frac{2}{3}$do$AD$làphângiáctrongcủa$DeltaABC$

$Rightarrow BD=frac{2}{3}.DC$

Mà $BD+DC=BC=10$do$D$nằmgiữa$B$và$C$

$Rightarrow frac{2}{3}DC+DC=10Rightarrow frac{5}{3}DC=10Rightarrow DC=6cmRightarrow BD=4cm$

Ta có: $CE=BE+BC=BE+10$do$B$nằmgiữa$E$và$C$

Và $frac{BE}{CE}=frac{AB}{AC}=frac{2}{3}$do$AE$làphângiácngoàicủa$DeltaABC$

$Rightarrow frac{BE}{BE+10}=frac{2}{3}Rightarrow 3BE=2leftBE+10rightRightarrow BE=20cm$

Vậy $BD=4cm,DC=6cm,BE=20cm$

 

Bài 3:

 

BD là phân giác trong của góc B nên

${Rightarrow frac { D A } { D C } = frac { B A } { B C }}$

Theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có

 ${frac { D A + D C } { D C } = frac { B A + B C } { B C } Rightarrow frac { A C } { D C } = frac { 15 + 10 } { 10 }}$

${Rightarrow D C = frac { 10 . A C } { 25 } = frac { 10.15 } { 25 } = 6}$ cm

                 Ta có DA + DC = AC   ${Rightarrow A D = A C – D C = 15 – 6 = 9}$ cm

 

Bài 4:  

a) Ta có AM là phân giác của góc A

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có

          ${frac { M B } { M C } = frac { A B } { A C }}$

Tương tự đối với các đường phân giác BN, CP ta có

         ${frac { N C } { N A } = frac { B C } { B A } ; frac { P A } { P B } = frac { C A } { C B }}$

                                                                                                                                                      

Do đó ${frac { M B } { M C } cdot frac { N C } { N A } cdot frac { P A } { P B } = frac { A B } { A C } cdot frac { B C } { B A } cdot frac { C A } { C B } = 1}$

Vậy ${frac { mathrm { AP } } { A P } cdot frac { B M } { B C } cdot frac { C N } { C A } = 1}$

b) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài của các cạnh BC, CA, AB

Trong ${Delta A B M}$thì BI là phân giác ứng với cạnh AM nên

         $frac{MI}{IA}=frac{BM}{BA}=frac{BM}{c}Rightarrow frac{MI}{MI+IA}=frac{BM}{BM+c}Rightarrow frac{MI}{MA}=frac{BM}{BM+c}$    1

Trong ${Delta A C M}$thì CI là phân giác ứng với cạnh AM nên

        $frac{MI}{IA}=frac{CM}{CA}=frac{CM}{b}Rightarrow frac{MI}{MI+IA}=frac{CM}{CM+b}Rightarrow frac{MI}{MA}=frac{CM}{CM+b}$    

Mà CM = BC – BM = a – BM . Nên   ${frac { M I } { M A } = frac { a – B M } { a – B M + b }}$           2

So sánh 1 và 2 ta có  ${frac { M I } { M A } = frac { B M } { B M + c } = frac { a – B M } { a – B M + b } = frac { B M + a – B M } { B M + c + a – B M + b }}$

                                        ${Rightarrow frac { M I } { M A } = frac { a } { a + b + c }}$

Chứng minh tương tự ta có ${frac { N I } { B N } = frac { b } { a + b + c }}$

                                            ${frac { P I } { C P } = frac { c } { a + b + c }}$

Suy ra ${frac { M I } { M A } + frac { N I } { B N } + frac { P I } { C P } = frac { a } { a + b + c } + frac { b } { a + b + c } + frac { c } { a + b + c } = frac { a + b + c } { a + b + c } = 1}$

Vậy ${frac { M I } { M A } + frac { N I } { N B } + frac { P I } { P C } = 1}$

– Hết –

 

 

 

 

 

 

Bài Viết cùng chủ đề

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *