Phiếu bài tập tuần Toán 8 – Tuần 12

PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 8 TUẦN 12

Đại số 8 : § 2+3: Tính chất cơ bản của phân thức. Rút gọn phân thức

Hình học 8:   § 12: Hình vuông.

†††††††††

Bài 1:   Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy tìm các đa thức A, B, C, D, trong mỗi đẳng thức sau:

a) $frac{64{{x}^{3}}+1}{16{{x}^{2}}-1}=frac{A}{4x-1}$                                b) $frac{5x-2}{B}=frac{10{{x}^{2}}-29x+10}{10{{x}^{2}}+27x-5}$

c) $frac{C}{3{{x}^{2}}-7x+4}=frac{3-2x}{3x-4}$                                d) $frac{2x-y-1}{4x-2y}=frac{4{{x}^{2}}-2x-{{y}^{2}}-y}{D}$

Bài 2: Rút gọn các phân thức

Bài 3: Chứng minh các phân thức sau không phụ thuộc vào biến x:

a) $frac{-2{{y}^{2}}-5y+2xy+5x}{{{y}^{3}}+x-y-x{{y}^{2}}}$                          b) $frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1+$x^2-y$$1-y$}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1+$x^2+y$$1+y$}$

Bài 4: Cho đoạn thẳng $AG$ và điểm $D$ nằm giữa hai điểm A và G. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ $AG$ vẽ các hình vuông $ABCD,Dtext{EF}G$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AG, EC. Gọi I, K lần lượt là tâm đối xứng của các hình vuông $ABCD,Dtext{EF}G$.

1. Chứng minh: $AE=CG$ và $AEbot CG$tại H.
2. Chứng minh $IMKN$ là hình vuông.
3. Chứng minh B, H, F thẳng hàng.
4. Gọi T là giao điểm của BF và EG. Chứng minh rằng độ dài TM không đổi khi D di động trên đoạn AG cố định.

– Hết –

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:  

a) Ta có: $frac{64{{x}^{3}}+1}{16{{x}^{2}}-1}=frac{{{$4x$}^{3}}+{{1}^{3}}}{$4x-1$$4x+1$}=frac{$4x+1$$16x^2-4x+1$}{$4x-1$$4x+1$}=frac{$16x^2-4x+1$}{$4x-1$}=frac{A}{left$4x-1right$}$

Vậy A = $$16x^2-4x+1$$

b) Ta có: $left$-10x^2+27x-5right$$5x-2$=-50{{x}^{3}}+135{{x}^{2}}-25x+20{{x}^{2}}-54x+10$

$=-50{{x}^{3}}+155{{x}^{2}}-79x+10=-5x$10x^2-29x+10$=B.$10x^2-29x+10$$

Vậy B = $-5x$

c) Ta có: $left$3x^2-7x+4right$left$3-2xright$=9{{x}^{2}}-21x+12-6{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-8x$

  $ =  – 6{x^3} + 23{x^2} – 29x + 12 = $3x–4$left$–2x^2+5x–3right$$=$left$3x–4right$.C$

Vậy C = $-2{{x}^{2}}+5x-3$

d) Ta có: $frac{2x-y-1}{2$2x-y$}=frac{left$$left(2x-yright)left(2x+yright)-left(2x+yright)right$$}{D}$

                $frac{2x-y-1}{2$2x-y$}=frac{$2x+y$$2x-y-1$}{D}$

                 $D=2$4x^2-y^2$$

Bài 2:

a) $frac{35$x^2-y^2${{$x+y$}^{2}}}{77{{$y-x$}^{2}}{{$x+y$}^{3}}}=frac{5.7$x-y${{$x+y$}^{3}}}{7.11{{$y-x$}^{2}}{{$x+y$}^{3}}}=frac{-5$y-x$}{11{{$y-x$}^{2}}}=frac{-5}{11$y-x$}$

b) $frac{4{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1-4xy}{8{{x}^{3}}{{y}^{3}}-1-6xy$2xy-1$}=frac{{{$2xy-1$}^{2}}}{$2xy-1$$4x^2{y}^2+2xy+1$-6xy$2xy-1$}$

    $=frac{{{$2xy-1$}^{2}}}{$2xy-1$$4x^2{y}^2-4xy+1$}=frac{1}{2xy-1}$

c) $frac{{{x}^{2}}-xy-xz+yz}{{{x}^{2}}+xy-xz-yz}=frac{x$x-y$-z$x-y$}{x$x+y$-z$x+y$}=frac{$x-z$$x-y$}{$x-z$$x+y$}=frac{x-y}{x+y}$

d) $frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}+2ab}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ac}=frac{{{$a+b$}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{$a+c$}^{2}}-{{b}^{2}}}=frac{$a+b+c$$a+b-c$}{$a+b+c$$a-b+c$}=frac{a+b-c}{a-b+c}$

Bài 3:

a) $frac{-2{{y}^{2}}-5y+2xy+5x}{{{y}^{3}}+x-y-x{{y}^{2}}}=frac{2y$x-y$+5$x-y$}{-{{y}^{2}}$x-y$+$x-y$}=frac{$x-y$$2y+5$}{$x-y$$1-y^2$}=frac{2y+5}{1-{{y}^{2}}}$

Vậy phân thức đã cho không phụ thuộc vào biến x.

b) $frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1+$x^2-y$$1-y$}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1+$x^2+y$$1+y$}=frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1+{{x}^{2}}-{{x}^{2}}y-y+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}y+y+y{}^{2}}$

$=frac{{{x}^{2}}$y^2+1$+left$y^2+1right$-y$x^2+1$}{{{x}^{2}}$y^2+1$+left$y^2+1right$+y$x^2+1$}$

$=frac{$y^2+1$$x^2+1$-y$x^2+1$}{$y^2+1$$x^2+1$+y$x^2+1$}=frac{$x^2+1$$y^2-y+1$}{$x^2+1$$y^2+y+1$}=frac{{{y}^{2}}-y+1}{{{y}^{2}}+y+1}$

Vậy phân thức đã cho không phụ thuộc vào biến x.

Bài 4:

Ta có tứ giác $ABCD,D{rm{EF}}G$  là các hình vuông$GT$

$ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{AB = BC = CD = AD;widehat A = widehat B = widehat C = widehat D}\
{DE = {rm{EF}} = FG = DG;widehat D = widehat E = widehat F = widehat G}
end{array}} right.$

Xét $Delta ADE$  và $Delta CDG$  có:

$left. begin{array}{l}
AD = CDleft$cmtright$\
widehat {ADE} = widehat {CDG} = 90^circ \
ED = DGleft$cmtright$
end{array} right} Rightarrow Delta ADE = Delta CDGleft$c.g.cright$$

$ Rightarrow AE = CG$ $Haicạnhtươngứng$ và $widehat {AED} = widehat {CGD}$ $Haigóctươngứng$  hay $widehat {HEC} = widehat {CGD}$

Ta có: $widehat {HCE} = widehat {DCG}$ $Haigócđốiđỉnh$

Mà $widehat {CGD} + widehat {DCG} = 90^circ $ $Haigócphụnhau$

$ Rightarrow widehat {HCE} + widehat {HEC} = 90^circ $

Xét $Delta HEC$  có: $widehat {HCE} + widehat {HEC} = 90^circ left$cmtright$$ $ Rightarrow widehat {EHC} = 90^circ $  hay $AE bot CG = left{ H right}$

b)

Xét $Delta AEC$ có:  $text{I}$ là trung điểm của $text{AC},text{ N }$ là trung điểm của $text{EC}$

$Rightarrow $ $text{IN }$ là đường trung bình của $Delta AEC$

$Rightarrow IN//AE;IN=frac{AE}{2}$

Xét $Delta AEG$ có:  K là trung điểm của EG, M là trung điểm của AG

$Rightarrow $KM là đường trung bình của $Delta AEG$ $ĐN$

$Rightarrow KM//AE;KM=frac{AE}{2}$

Xét tứ giác  MINK có:

$left. begin{array}{l}
IN = KMleft$=fracAE2right$\
IN//KMleft$//AEright$
end{array} right} Rightarrow $ Tứ giác MINK là hình bình hành$DHNB$

Tương tự ta cũng chứng minh được IM là đường trung bình của  $Delta ACG$

$Rightarrow IM//CG;IM=frac{CG}{2}$ mà $KM=frac{AE}{2}$ và $text{AE }~=text{ CG }left$cmtright$$

$Rightarrow IM=KM$ mà tứ giác MINK là hình bình hành

Do đó tứ giác $MINK$ là hình thoi.

Ta có $IM//CGRightarrow widehat{IMA}=widehat{AGC}$$Haigócđồngvị$

$KM//AEleft$cmtright$Rightarrow widehat{KMG}=widehat{EAD}$$Haigócđồngvị$

Mà $widehat{DCG}=widehat{EAD}$$\$DeltaADE=DeltaCDG\$$

Nên $widehat{DCG}=widehat{KMG}$

Mà $widehat{AGC}+widehat{DCG}=90{}^circ $

$Rightarrow widehat{IMA}+widehat{KMG}=90{}^circ Rightarrow widehat{IMK}=90{}^circ $

Mà tứ giác $MINK$ là hình thoi (cmt)

Vậy tứ giác $MINK$ là hình vuông (đpcm)

C2. Sau khi chứng minh MINK là hình thoi ta có IM // CG, CG $bot $ AE suy ra IM $bot $ AE mà AE // IN suy ra IM $bot $ IN hay $widehat{NIM}={{90}^{0}}$

c)

Nối $IH,HK$

Ta có $AEbot CG=left{ H right}left$CMTright$Rightarrow widehat{EHG}=widehat{AHC}=90{}^circ $

Xét $Delta EHG$ có: $widehat{EHG}=90{}^circ $ và K là trung điểm của EG $Tứgiác\$DtextEFG\$làhìnhvuông$

Do đó HK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền EG

$Rightarrow HK=frac{EG}{2}left$TCright$$ mà $EG=DF$$Tứgiác\$DtextEFG\$làhìnhvuông$

$Rightarrow HK=frac{DF}{2}$

Xét $Delta DHF$ có: $HK=frac{DF}{2}left$CMTright$$$Rightarrow Delta DHF$ vuông tại D $Rightarrow widehat{DHF}=90{}^circ $

Tương tự ta cũng chứng minh được: $IH=frac{AC}{2}$ mà $AC=BDRightarrow IH=frac{BD}{2}$

$Rightarrow Delta BHD$vuông tại H$TC$ $Rightarrow widehat{BHD}=90{}^circ $

Do đó: $widehat{BHD}+widehat{DHF}=90{}^circ +90{}^circ =180{}^circ $

Vậy B, H, F thẳng hàng.

d)

Ta có :

$begin{array}{l}
widehat {BAD} = widehat {FGD} = 90^circ \
 Rightarrow AB bot AG;FG bot AG\
 Rightarrow AB//FG
end{array}$

$Rightarrow $ Tứ giác ABFG là hình thang

Ta có:  T là trung điểm của $text{BF}$ $cmt$, M là trung điểm của $text{AG}$ (gt)

$Rightarrow TM$ là đường trung bình của hình thang ABFG

$Rightarrow TM=frac{AB+FG}{2}=frac{AD+DG}{2}=frac{AG}{2}$

Mà $text{AG}$ không đổi nên độ dài $text{TM}$ không đổi khi D di động trên đoạn AG cố định.