PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
- Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
- Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt).
2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
2.1. Khái niệm về hình đa diện
- Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
- Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
2.2. Khái niệm về khối đa diện
- Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
- Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
- Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó.
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
3.1. Phép dời hình trong không gian
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
* Một số phép dời hình trong không gian:
3.1.1. Phép tịnh tiến theo vectơ
|
Nội dung |
Hình vẽ |
|
Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho . |
|
3.1.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P )
|
Nội dung |
Hình vẽ |
|
Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc ( P ) thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ không thuộc ( P ) thành điểm M’ sao cho $left( P right)$ là mặt phẳng trung trực của $MM’$. Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) biến hình $left( H right)$ thành chính nó thì ( P ) được gọi là mặt phẳng đối xứng của $left( H right)$ . |
|
3.1.3. Phép đối xứng qua tâm O
|
Nội dung |
Hình vẽ |
|
Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm MM’ Nếu phép đối xứng tâm O biến hình ( H ) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của ( H ) |
|
3.1.4. Phép đối xứng qua đường thẳng $Delta $ (phép đối xứng trục )
|
Nội dung |
Hình vẽ |
|
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc $Delta $ thành điểm M’ sao cho $Delta $ là đường trung trực của MM’ . Nếu phép đối xứng trục $Delta $ biến hình ( H ) thành chính nó thì $Delta $ được gọi là trục đối xứng của ( H ) |
|
* Nhận xét:
- Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
- Phép dời hình biến đa diện ( H ) thành đa diện ( H’ ) , biến đỉnh, cạnh, mặt của ( H ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của ( H’ ) .
3.2. Hai hình bằng nhau
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN
|
Nội dung |
Hình vẽ |
|
Nếu khối đa diện $left( H right)$ là hợp của hai khối đa diện $left( {{H}_{1}} right), left( {{H}_{2}} right)$ sao cho $left( {{H}_{1}} right)$ và $left( {{H}_{2}} right)$ không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện $left( H right)$ thành hai khối đa diện $left( {{H}_{1}} right)$ và $left( {{H}_{2}} right)$, hay có thể lắp ghép hai khối đa diện $left( {{H}_{1}} right)$ và $left( {{H}_{2}} right)$ với nhau để được khối đa diện $left( H right)$. |
|
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
5.1. Khối đa diện lồi
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm $A$ và $B$ nào của nó thì mọi điểm của đoạn $AB$ cũng thuộc khối đó.
Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi
5.2. Khối đa diện đều
5.2.1. Định nghĩa
- Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
- Các mặt là những đa giác đều $n$ cạnh.
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng $p$ cạnh.
- Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại $left{ n, p right}$ .
5.2.2. Định lí
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại $left{ 3,3 right}$, loại $left{ 4,3 right}$, loại $left{ 3,4 right}$, loại $left{ 5,3 right}$, loại $left{ 3,5 right}$. Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.
5.2.3. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
|
Khối đa diện đều |
Số đỉnh |
Số cạnh |
Số mặt |
Loại |
Số MPĐX |
|
|
Tứ diện đều |
|
4 |
6
|
4 |
$left{ 3,3 right}$ |
6 |
|
Khối lập phương |
|
8 |
12 |
6 |
$left{ 4,3 right}$ |
9 |
|
Bát diện đều |
|
6 |
12 |
8 |
$left{ 3,4 right}$ |
9 |
|
Mười hai mặt đều |
|
20 |
30 |
12 |
$left{ 5,3 right}$ |
15 |
|
Hai mươi mặt đều |
|
12 |
30 |
20 |
$left{ 3,5 right}$ |
15 |
Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại $left{ n,p right}$ có $$ đỉnh, $C$ cạnh và $M$ mặt.
Khi đó: $p$Đ$=2C=nM$
5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi
5.3.1. Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
- Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
- Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).
5.3.2. Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.
5.3.3. Kết quả 3
Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương.
5.3.4. Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:
- Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
- Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
- Ba đường chéo bằng nhau.
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
6.1. Thể tích khối chóp
|
Nội dung |
Hình vẽ |
|
|
|
6.2. Thể tích khối lăng trụ
|
Nội dung |
Hình vẽ |
|
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên. |
|
6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật
|
Nội dung |
Hình vẽ |
|
|
6.4. Thể tích khối lập phương
|
Nội dung |
Hình vẽ |
|
|
6.5. Tỉ số thể tích
|
Nội dung |
Hình vẽ |
Thể tích hình chóp cụt ABC.A’B’C’
Với B,B’,H là diện tích hai đáy và chiều cao. |
|
6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG
7.1. Hệ thức lượng trong tam giác
7.1.1. Cho $Delta ABC$ vuông tại$A$, đường cao $AH$
- $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$
- $A{{B}^{2}}=BH.BC$
- $A{{C}^{2}}=CH.BC$
- $AH.BC=AB.AC$
- $A{{H}^{2}}=BH.HC$
- $frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{C}^{2}}}$
- $AB=BC.sin C=BC.cos B=AC.tan C=AC.cot B$
7.1.2. Cho $Delta ABC$có độ dài ba cạnh là: $a,b,c$ độ dài các trung tuyến là ${{m}_{a}},{{m}_{b}},{{m}_{c}}$ bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ ; bán kính đường tròn nội tiếp $r$ nửa chu vi $p.$
- Định lí hàm số cosin:
${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.cos A; {{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{a}^{2}}-2ca.cos B; {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab.cos C$
- Định lí hàm số sin:
$frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}=2R$
- Độ dài trung tuyến:
$m_{a}^{2}=frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-frac{{{a}^{2}}}{4}; m_{b}^{2}=frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2}-frac{{{b}^{2}}}{4}; m_{c}^{2}=frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-frac{{{c}^{2}}}{4}$
7.2. Các công thức tính diện tích
7.2.1. Tam giác
- $S=frac{1}{2}a.{{h}_{a}}=frac{1}{2}b.{{h}_{b}}=frac{1}{2}c.{{h}_{c}}$
- $S=frac{1}{2}bc.sin A=frac{1}{2}ac.sin B=frac{1}{2}ab.sin C$
- $S=frac{abc}{4R}$
- $S=pr$
- $S=sqrt{pleft( p-a right)left( p-b right)left( p-c right)}$
- $Delta ABC$ vuông tại$A:$ $S=frac{AB.AC}{2}=frac{BC.AH}{2}$
- $Delta ABC$đều, cạnh $a:$$AH=frac{asqrt{3}}{2}; S=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}$
7.2.2. Hình vuông
- $S={{a}^{2}}$ ($a:$ cạnh hình vuông)
7.2.3. Hình chữ nhật
- $S=ab$ ($a,b$: hai kích thước)
7.2.4. Hình bình hành
- S = đáy ´ cao $=AB.AD.sin widehat{BAD}$
7.2.5. Hình thoi
- $S=AB.AD.sin widehat{BAD}=frac{1}{2}AC.BD$
7.2.6. Hình thang
- $S=frac{1}{2}left( a+b right)h$ ($a,b:$ hai đáy,$h$: chiều cao)
7.2.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc $ACAnd BD$
- $S=frac{1}{2}AC.BD$
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP
|
Nội dung |
Hình vẽ |
|
Cho hình chóp $SABC$ với các mặt phẳng $left( SAB right), left( SBC right), left( SAC right)$ vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác $SAB, SBC, SAC$ lần lượt là ${{S}_{1}}; {{S}_{2}}; {{S}_{3}}.$ Khi đó: ${{V}_{S.ABC}}=frac{sqrt{2{{S}_{1}}.{{S}_{2}}.{{S}_{3}}}}{3}$
|
|
|
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với $left( ABC right)$, hai mặt phẳng $left( SAB right)$ và $left( SBC right)$ vuông góc với nhau, $widehat{BSC}=alpha ,widehat{ASB}=beta $. Khi đó: ${{V}_{S.ABC}}=frac{S{{B}^{3}}.sin2alpha .tanbeta }{12}$ |
|
|
Cho hình chóp đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$. Khi đó: ${{V}_{S.ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{12}$ |
|
|
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc $alpha $. Khi đó: ${{V}_{S.ABC}}=frac{{{a}^{3}}.tan alpha }{24}$ |
|
|
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có các cạnh bên bằng $b$ và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc $beta $. Khi đó: ${{V}_{S.ABC}}=frac{sqrt{3}{{b}^{3}}.sin beta .{{cos }^{2}}beta }{4} $ |
|
|
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có các cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc $beta $. Khi đó: ${{V}_{S.ABC}}=frac{{{a}^{3}}.tan beta }{12}$ |
|
|
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a,$ và $SA=SB=SC=SD=b.$ Khi đó: ${{V}_{S.ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{4{{b}^{2}}-2{{a}^{2}}}}{6}$ |
|
|
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a,$ góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là $alpha $. Khi đó: ${{V}_{S.ABC}}=frac{{{a}^{3}}.tan alpha }{6}$ |
|
|
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a,$ $widehat{SAB}=alpha $ với $alpha in left( frac{pi }{4};frac{pi }{2} right)$ Khi đó: ${{V}_{S.ABC}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{{{tan }^{2}}alpha -1}}{6}$ |
|
|
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng $a,$ góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là $alpha $ với $alpha in left( 0;frac{pi }{2} right)$ Khi đó: ${{V}_{S.ABC}}=frac{4{{a}^{3}}tan alpha }{3sqrt{{{left( 2+{{tan }^{2}}alpha right)}^{3}}}}$ |
|
|
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a.$ Gọi $left( P right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ song song với $BC$ và vuông góc với $left( SBC right)$, góc giữa $left( P right)$ với mặt phẳng đáy là $alpha $. Khi đó: ${{V}_{S.ABCD}}=frac{{{a}^{3}}cot alpha }{24}$ |
|
|
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh $a.$ Khi đó: $V=frac{{{a}^{3}}}{6}$ |
|
