Lời giải – Trang 2

Câu IV

$6.0đ$

Phần 1

4,0 điểm

Phần a

$1.0điểm$

Tứ giác $CDME$ nội tiếp $Rightarrow AM.AD=AE.AC$

Tứ giác $BMDF$ nội tiếp $Rightarrow AM.AD=AB.AF$

0,5

Suy ra $AB.AF=AE.AC$. Do đó tứ giác $BECF$ nội tiếp.

0.5

Phần b

$2.0điểm$

Tứ giác $CDME$ nội tiếp $Rightarrow $ $widehat{DEC}=widehat{DMC}$  $1$

Tứ giác $BMDF$ nội tiếp $Rightarrow widehat{DMC}=widehat{DFB}$   $2$    $cùngbùvớigóc\$widehatDMB\$$             

Từ $1$ và $2$ $Rightarrow widehat{DEC}=widehat{DFB}$   $3$

0.5

Tứ giác $ABDC$ nội tiếp $Rightarrow widehat{DBF}=widehat{ACD}$   $4$  $cùngbùvớigóc\$widehatABD\$$

Từ $3$ và $4$ suy ra tam giác $ECD$ và $FBD$ đồng dạng.

0.5

Theo chứng minh trên, ta có tam giác $ECD$ và $FBD$ đồng dạng $Rightarrow widehat{EDC}=widehat{BDF}$

0.5

Tứ giác $ECDM$ nội tiếp $Rightarrow $ $widehat{EDC}=widehat{EMC}$  

Tứ giác $BMDF$ nội tiếp $Rightarrow $ $widehat{BDF}=widehat{BMF}$

Suy ra $widehat{EMC}=widehat{BMF}$ $ởvịtríđốiđỉnh$ . Vậy ba điểm $E,M,F$ thẳng hàng.

0.5

Phần c

$1.0điểm$

Kẻ tiếp tuyến $Ax$ của đường tròn $left$Oright$$$Rightarrow widehat{ACB}=widehat{BAx}$

0.25

Do tứ giác $CEBF$ nội tiếp $Rightarrow $ $widehat{ECB}=widehat{EFB}$  hay $widehat{ACB}=widehat{EFA}$.

0.25

Suy ra $widehat{BAx}=widehat{EFA}$ $vịtrísoletrong$ $Rightarrow Ax$ // $EF$.

mà $Axbot AORightarrow EFbot AO$.

0.5

Phần 2

$2.0điểm$

Gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Theo giả thiết ta có

${{left$2CDright$}^{2}}=4CD.AC+4A{{C}^{2}}Leftrightarrow C{{D}^{2}}=CD.AC+A{{C}^{2}}Leftrightarrow dfrac{C{{D}^{2}}}{AC}=CD+AC$  $1$

0.75

Kẻ phân giác trong $AE$ của tam giác $ACD$. Theo tính chất của đường phân giác,

ta có $dfrac{EC}{ED}=dfrac{AC}{AD}=dfrac{AC}{DC}Rightarrow dfrac{EC}{ED+EC}=dfrac{AC}{AD+AC}Rightarrow dfrac{EC}{CD}=dfrac{AC}{AC+CD}$  $2$

Từ $1$ và $2$ suy ra $dfrac{EC}{AC}=dfrac{CD}{CD+AC}=dfrac{AC}{CD}$

0.75

Suy ra tam giác $ACE$ đồng dạng  với tam giác $DCA$ nên tam giác $ACE$ cân tại $A$.

Lại có $widehat{EAC}=dfrac{1}{2}widehat{CAD}=dfrac{1}{2}widehat{ACB}$

Do đó : $dfrac{1}{2}widehat{ACB}+widehat{ACB}+widehat{ACB}={{180}^{0}}Rightarrow widehat{ACB}={{72}^{0}}Rightarrow widehat{ABC}={{18}^{0}}$.

0.5

Câu V

$1.0đ$

$1.0điểm$

Áp dụng tính chất $left| a-b right|le left| a right|+left| b right|$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $able 0$.

0.25

0.25

Vậy $Mle 2left${left|xright|}^3+{left|yright|}^3+{left|zright|}^{3}right$le 4sqrt{2}left$x^2+y^2+z^{2}right$$=$32sqrt{2}$.

0.25

Đẳng thức xảy ra khi $left$x;y;zright$=left$2sqrt2;0;0right$$ hoặc $left$x;y;zright$=left$-2sqrt2;0;0right$$ và các hoán vị của nó.  Vậy giá trị lớn nhất của $M$ bằng $32sqrt{2}$.

0.25

Tổng

Điểm toàn bài

20 đ