Lời giải – Trang 2

Câu IV

(6.0 đ)

Phần 1

4,0 điểm

Phần a

(1.0 điểm)

Tứ giác $CDME$ nội tiếp $Rightarrow AM.AD=AE.AC$

Tứ giác $BMDF$ nội tiếp $Rightarrow AM.AD=AB.AF$

0,5

Suy ra $AB.AF=AE.AC$. Do đó tứ giác $BECF$ nội tiếp.

0.5

Phần b

(2.0 điểm)

Tứ giác $CDME$ nội tiếp $Rightarrow $ $widehat{DEC}=widehat{DMC}$  (1)

Tứ giác $BMDF$ nội tiếp $Rightarrow widehat{DMC}=widehat{DFB}$   (2)    ( cùng bù với góc $widehat{DMB}$)             

Từ (1) và (2) $Rightarrow widehat{DEC}=widehat{DFB}$   (3)

0.5

Tứ giác $ABDC$ nội tiếp $Rightarrow widehat{DBF}=widehat{ACD}$   (4)  ( cùng bù với góc $widehat{ABD}$)

Từ (3) và (4) suy ra tam giác $ECD$ và $FBD$ đồng dạng.

0.5

Theo chứng minh trên, ta có tam giác $ECD$ và $FBD$ đồng dạng $Rightarrow widehat{EDC}=widehat{BDF}$

0.5

Tứ giác $ECDM$ nội tiếp $Rightarrow $ $widehat{EDC}=widehat{EMC}$  

Tứ giác $BMDF$ nội tiếp $Rightarrow $ $widehat{BDF}=widehat{BMF}$

Suy ra $widehat{EMC}=widehat{BMF}$ ( ở vị trí đối đỉnh) . Vậy ba điểm $E,M,F$ thẳng hàng.

0.5

Phần c

(1.0 điểm)

Kẻ tiếp tuyến $Ax$ của đường tròn $left( O right)$$Rightarrow widehat{ACB}=widehat{BAx}$

0.25

Do tứ giác $CEBF$ nội tiếp $Rightarrow $ $widehat{ECB}=widehat{EFB}$  hay $widehat{ACB}=widehat{EFA}$.

0.25

Suy ra $widehat{BAx}=widehat{EFA}$ ( vị trí so le trong) $Rightarrow Ax$ // $EF$.

mà $Axbot AORightarrow EFbot AO$.

0.5

Phần 2

(2.0 điểm)

Gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Theo giả thiết ta có

${{left( 2CD right)}^{2}}=4CD.AC+4A{{C}^{2}}Leftrightarrow C{{D}^{2}}=CD.AC+A{{C}^{2}}Leftrightarrow dfrac{C{{D}^{2}}}{AC}=CD+AC$  (1)

0.75

Kẻ phân giác trong $AE$ của tam giác $ACD$. Theo tính chất của đường phân giác,

ta có $dfrac{EC}{ED}=dfrac{AC}{AD}=dfrac{AC}{DC}Rightarrow dfrac{EC}{ED+EC}=dfrac{AC}{AD+AC}Rightarrow dfrac{EC}{CD}=dfrac{AC}{AC+CD}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $dfrac{EC}{AC}=dfrac{CD}{CD+AC}=dfrac{AC}{CD}$

0.75

Suy ra tam giác $ACE$ đồng dạng  với tam giác $DCA$ nên tam giác $ACE$ cân tại $A$.

Lại có $widehat{EAC}=dfrac{1}{2}widehat{CAD}=dfrac{1}{2}widehat{ACB}$

Do đó : $dfrac{1}{2}widehat{ACB}+widehat{ACB}+widehat{ACB}={{180}^{0}}Rightarrow widehat{ACB}={{72}^{0}}Rightarrow widehat{ABC}={{18}^{0}}$.

0.5

Câu V

(1.0 đ)

(1.0 điểm)

Áp dụng tính chất $left| a-b right|le left| a right|+left| b right|$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $able 0$.

0.25

0.25

Vậy $Mle 2left( {{left| x right|}^{3}}+{{left| y right|}^{3}}+{{left| z right|}^{3}} right)le 4sqrt{2}left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} right)$=$32sqrt{2}$.

0.25

Đẳng thức xảy ra khi $left( x;y;z right)=left( 2sqrt{2};0;0 right)$ hoặc $left( x;y;z right)=left( -2sqrt{2};0;0 right)$ và các hoán vị của nó.  Vậy giá trị lớn nhất của $M$ bằng $32sqrt{2}$.

0.25

Tổng

Điểm toàn bài

20 đ