Lời giai đề trang 2

Câu 31: Đáp án B

Phương pháp:

+) Viết phương trình mô tả vận tốc của vật trong 3h đầu, và trong 1h tiếp theo.

+) Sử dụng công thức $s=intlimits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{vleft$tright$dt}$

Cách giải: Trong 3h đầu. Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là $vleft$tright$=-frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t$

=> Quãng đường vật di chuyển được trong 3h đầu là ${{s}_{1}}=intlimits_{0}^{3}{vleft$tright$dt}=intlimits_{0}^{3}{left$-frac94t^2+9tright$}dt=frac{81}{4}$

Tại $t=3$ta có: $vleft$3right$=frac{27}{4}$

Trong 1h tiếp theo $v=frac{27}{4}left$km/hright$Rightarrow {{s}_{2}}=frac{27}{4}left$kmright$$

Vậy quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó được : $s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}=27left$kmright$$

Câu 32: Đáp án B

Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Cách giải: Đặt

$left{ begin{array}{l}
u = ln left$9–x^{2}right$\
dv = dx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = frac{{ – 2x}}{{9 – {x^2}}}\
v = x
end{array} right.$

$begin{array}{l}
 Rightarrow I = intlimits_1^2 {ln left$9–x^{2}right$dx = left. {xln left$9–x^{2}right$} right|} _1^2 + 2intlimits_1^2 {frac{{{x^2}}}{{9 – {x^2}}}dx = 2ln 5 – 3ln 2 + 2{I_1}} \
{I_1} = intlimits_1^2 {frac{{{x^2}}}{{9 – {x^2}}}dx = intlimits_1^2 {left$–1+frac99–x^{2}right$dx =  – intlimits_1^2 {dx + 9intlimits_1^2 {frac{{dx}}{{left$3–xright$left$3+xright$}}} } } } 
end{array}$

$begin{array}{l}
 = left. { – x} right|{}_1^2 + frac{9}{6}intlimits_1^2 {left$frac13–x+frac13+xright$dx =  – 1 + frac{3}{2}left. {left$–lnleft|3–xright|+lnleft|3+xright|right$} right|{}_1^2}  =  – 1 + frac{3}{2}left. {ln left| {frac{{3 + x}}{{3 – x}}} right|} right|_1^2\
 =  – 1 + frac{3}{2}left$ln5–ln2right$ =  – 1 + frac{3}{2}ln 5 – 3ln 2 = 5ln 5 – 6ln 2 – 2\
 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 5\
b = 6\
c =  – 2
end{array} right. Rightarrow S = left| a right| + left| b right| + left| c right| = 13
end{array}$

Câu 33: Đáp án D

Phương pháp:

+) Tính khoảng cách từ O đến $left$SCDright$.$

+) $MOcap left$SCDright$=CRightarrow frac{dleft$M;left(SCDright$ right)}{dleft$O;left(SCDright$ right)}=frac{MC}{OC}=frac{3}{2}$

Cách giải: Gọi O là tâm của hình vuông $ABCDRightarrow SObot left$ABCDright$$

Gọi E là trung điểm của CD ta có :

$left{ begin{array}{l}
CD bot OE\
CD bot SO
end{array} right. Rightarrow CD bot left$SOEright$$

Trong mặt phẳng $left$SOEright$$ kẻ: $OKbot SERightarrow OKbot CDRightarrow OKbot left$SCDright$Rightarrow dleft$O;left(SCDright$ right)=OK$

Ta có: $OB=frac{asqrt{2}}{2}Rightarrow SO=sqrt{S{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}}=frac{asqrt{2}}{2}$

$Rightarrow frac{1}{O{{K}^{2}}}=frac{1}{S{{O}^{2}}}+frac{1}{O{{E}^{2}}}=frac{6}{{{a}^{2}}}Rightarrow OK=frac{asqrt{6}}{6}$

Ta có: $MOcap left$SCDright$=CRightarrow frac{dleft$M;left(SCDright$ right)}{dleft$O;left(SCDright$ right)}=frac{MC}{OC}=frac{3}{2}$

$Rightarrow dleft$M;left(SCDright$ right)=frac{3}{2}dleft$O;left(SCDright$ right)=frac{3}{2}.frac{asqrt{6}}{6}=frac{asqrt{6}}{4}$

Câu 34: Đáp án A

Phương pháp: Đặt $t={{log }_{2}}x$

Cách giải: Đặt $t={{log }_{2}}x$, với $xin left$0;1right$Rightarrow t<0$

Khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+t+m=0Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}-t=fleft$tright$left$\ast right$left$t<0right$$

Xét hàm số $fleft$tright$=-{{t}^{2}}-tleft$t<0right$$ta có $f’left$tright$=-2t-1=0Leftrightarrow t=-frac{1}{2},$lập BBT của hàm số $y=fleft$tright$$

Số nghiệm của phương trình $\ast$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=fleft$tright$$ và đường thẳng

$y=m$

Để phương trình ban đầu có nghiệm thực $xin left$0;1right$$ thì phương trình $\ast$ có nghiệm âm$Rightarrow mle frac{1}{4}$

Câu 35: Đáp án D

Phương pháp: Giải phương trình $ctext{os}2x=-frac{1}{2}$, tính được 1 góc và suy ra các góc còn lại của tam giác cân.

Cách giải: $ctext{os}2x=-frac{1}{2}Leftrightarrow 2x=pm frac{2pi }{3}+k2pi Leftrightarrow x=pm frac{pi }{3}+kpi $

Vì x là số đo của 1 góc của tam giác cân nên $0 < x < pi  Rightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{3}\
x = frac{{2pi }}{3}
end{array} right.$

Với $x=frac{pi }{3}$=> tam giác cân trở thành tam giác đều => 3 góc của tam giác là $left{ frac{pi }{3};frac{pi }{3};frac{pi }{3} right}$

Với $x=frac{2pi }{3}Rightarrow $ 2 góc còn lại của tam giác cân đều bằng $frac{pi }{6}Rightarrow $3 góc của tam giác là

$left{ frac{2pi }{3};frac{pi }{6};frac{pi }{6} right}$

Câu 36: Đáp án D

Phương pháp:

+) Tính y’, tìm điều kiện để phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt.

+) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số và viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua các điểm cực trị.

+) Tìm điều kiện để $Oleft$0;0right$in d$

Cách giải:

Ta có : $y’=3{{x}^{2}}-27a=0Leftrightarrow {{x}^{2}}=9a$ .

Để hàm số có cực đại, cực tiểu $Leftrightarrow pt,,y’=0$có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow a>0$

Khi đó phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$left[ begin{array}{l}
x = 3sqrt a  Rightarrow y =  – 54sqrt a  Rightarrow Aleft$3sqrta;–54asqrtaright$\
x =  – 3sqrt a  Rightarrow y = 54asqrt a  Rightarrow Bleft$–3sqrta;54asqrtaright$
end{array} right.$

=>Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là :

$begin{array}{l}
frac{{x + 3sqrt a }}{{3sqrt a  + 3sqrt a }} = frac{{y – 54asqrt a }}{{ – 54asqrt a  – 54asqrt a }} Leftrightarrow frac{{x + 3sqrt a }}{{6sqrt a }} = frac{{y – 54asqrt a }}{{ – 108asqrt a }}\
 Leftrightarrow 18aleft$x+3sqrtaright$ =  – y + 54asqrt a  Leftrightarrow 18ax + y = 0,,left$dright$
end{array}$

Ta thấy đường thẳng d luôn đi qua gốc tọa độ với mọi $a>0$

Câu 37: Đáp án A

Phương pháp: $fleft$xright$=int{f’left$xright$dx}$

Cách giải: $fleft$xright$=int{f’left$xright$dx=int{frac{1}{x+1}dx=ln left| x+1 right|+C}}$

$fleft$0right$=2018Leftrightarrow C=2018Rightarrow fleft$xright$=ln left| x+1 right|+2018$

$Rightarrow fleft$3right$-fleft$1right$=ln 4+2018-ln 2-2018=ln 2$

Câu 38: Đáp án C

Phương pháp: Đặt $z=a+bileft$a;binmathbbRright$Rightarrow overline{z}=a-bi,$tính toán và rút gọn, so sánh hai số phức.

Cách giải:Gọi $z=a+bileft$a;binmathbbRright$$ta có:

$begin{array}{l}
{left$1+2iright$^2}z + overline z  = 4i – 20 Leftrightarrow left$–3+4iright$left$a+biright$ + a – bi = 4i – 20\
 Leftrightarrow  – 3a – 3bi + 4ai – 4b + a – bi = 4i – 20 Leftrightarrow left$–2a–4bright$ + left$4a–4bright$i = 4i – 20\
 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
 – 2a – 4b =  – 20\
4a – 4b = 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 4\
b = 3
end{array} right. Rightarrow z = 4 + 3i Rightarrow left| z right| = 5
end{array}$

Câu 39: Đáp án D

Phương pháp:

+) Xác định các điểm cực trị, các khoảng biến thiên của đồ  thị  hàm số $y=fleft$xright$$, từ  đó lập BBT của của đồ thị hàm số $y=fleft$xright$$

+) Đồ  thị  hàm số $y=fleft$-xright$$ đối với đồ  thị  hàm số $y=fleft$xright$$qua  trục tung nên từ  BBT của đồ  thị  hàm số $y=fleft$xright$$ta lập được BBT của đồ  thị hàm số $y=fleft$-xright$$và suy ra các khoảng đồng biến của đồ thị hàm số $y=fleft$-xright$$

Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số $y=fleft$-xright$$ta thấy: $f’left$xright$ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x =  – 1\
x = 1\
x = 4
end{array} right.$

$begin{array}{l}
f’left$xright$ > 0 Leftrightarrow x in left$–1;1right$ cup left$4;+inftyright$\
f’left$xright$ < 0 Leftrightarrow x in left$–infty;–1right$ cup left$1;4right$
end{array}$

Từ đó ta lập BBT của đồ thị hàm số $y=fleft$xright$$ như sau:

Đồ  thị  hàm số $y=fleft$-xright$$đối với đồ  thị  hàm số $y=fleft$xright$$qua trục tung  nên từ  BBT của đồ  thị  hàm số $y=fleft$xright$$ta lập được BBT của đồ thị hàm số $y=fleft$-xright$$như sau :

Từ BBT ta dễ thấy hàm số $y=fleft$-xright$$đồng biến trên khoảng $left$-3;-1right$$

Câu 40: Đáp án C

Phương pháp:

+) Từ $2x+y=frac{5}{4}$rút y theo x, thế vào biểu thức P.

+) Tìm tập giá trị của x.

+) Tìm GTNN của biểu thức P bằng MTCT.

Cách giải:

$2x+y=frac{5}{4}Rightarrow y=frac{5}{4}-2xRightarrow P=frac{2}{x}+frac{1}{4y}=frac{2}{x}+frac{1}{4left$frac54-2xright$}=frac{2}{x}+frac{1}{5-8x}$

Xét hàm  số $fleft$xright$=frac{2}{x}+frac{1}{5-8x}$với $xin left$0;frac58right$$

Sử dụng MTCT ta tính được $underset{xin left$-;frac58right$}{mathop{min }},fleft$xright$=5Leftrightarrow x=frac{1}{2}.$ Vậy ${{P}_{min }}=5$

Câu 41: Đáp án D

Phương pháp:

+) Viết phương trình các mặt phẳng ở đề bài.

+) Gọi $Mleft$a;b;cright$$ là điểm cách đều cả 4 mặt phẳng trên

$Leftrightarrow dleft$M;left(ABCright$ right)=dleft$M;left(BCDright$ right)=dleft$M;left(CDAright$ right)=dleft$M;left(DABright$ right)$

+) Tính các khoảng cách và giải hệ phương trình.

Cách giải:

Phương trình các mặt phẳng : $begin{array}{l}
left$ABCright$:x + y + z – 1 = 0\
left$BCDright$:x = 0\
left$CDAright$:y = 0\
left$DABright$:z = 0
end{array}$

Gọi $Mleft$a;b;cright$$là điểm cách đều cả 4 mặt phẳng trên

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow dleft$M;left(ABCright)right$ = dleft$M;left(BCDright)right$ = d Rightarrow left$M;left(CDAright)right$ = dleft$M;left(DABright)right$\
 Leftrightarrow frac{{left| {a + b + c – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right| = left| b right| = left| c right| Rightarrow left{ begin{array}{l}
left| a right| = left| b right| = left| c right|\
frac{{left| {a + b + c – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right|
end{array} right.
end{array}$

$left| a right| = left| b right| = left| c right| Rightarrow left[ begin{array}{l}
a = b = c\
a = b =  – c\
a = c =  – b\
b = c =  – a
end{array} right.$

$TH1:,,a = b = c Rightarrow frac{{left| {3a – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right| Leftrightarrow 9{a^2} – 6a + 1 = 3{a^2} Rightarrow a = frac{{3 pm sqrt 3 }}{6} Rightarrow left[ begin{array}{l}
Mleft$frac3+sqrt36;frac3+sqrt36;frac3+sqrt36right$\
Mleft$frac3–sqrt36;frac3–sqrt36;frac3–sqrt36right$
end{array} right.$

$TH2:,,a = b =  – c Rightarrow frac{{left| {a – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right| Leftrightarrow {a^2} – 2a + 1 = 3{a^2} Leftrightarrow a = frac{{ – 1 pm sqrt 3 }}{2} Rightarrow left[ begin{array}{l}
left$frac–1+sqrt32;frac–1+sqrt32;frac1–sqrt32right$\
Mleft$frac–1–sqrt32;frac–1–sqrt32;frac1+sqrt32right$
end{array} right.$

$TH3:,,a = c =  – b Rightarrow frac{{left| {a – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right| Leftrightarrow {a^2} – 2a + 1 = 3{a^2} Leftrightarrow a = frac{{ – 1 pm sqrt 3 }}{2} Rightarrow left[ begin{array}{l}
Mleft$frac–1+sqrt32;frac1+sqrt32;frac–1+sqrt32right$\
Mleft$frac–1–sqrt32;frac1+sqrt32;frac–1–sqrt32right$
end{array} right.$

$TH4:,b = c =  – a Rightarrow frac{{left| { – a – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right| Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 = 3{a^2} Leftrightarrow a = frac{{1 pm sqrt 3 }}{2} Rightarrow left[ begin{array}{l}
Mleft$frac1+sqrt32;frac–1–sqrt32;frac–1–sqrt32right$\
Mleft$frac1–sqrt32;frac–1+sqrt32;frac–1+sqrt32right$
end{array} right.$

Vậy có tất cả 8 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 42: Đáp án A

Phương pháp:

+) Nhận xét dãy số trên là cấp số nhân, tìm số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}$và công bội q.

+) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân ${{u}_{1}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$

Cách giải:

Dễ thấy dãy số $left$u_{n}right$$là 1 cấp số nhân có số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}=2$và công bội $q=2$

=>Số hạng tổng quát ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}={{2.2}^{n-1}}={{2}^{n}}$

Câu 43: Đáp án A

Phương pháp:

+) Tìm ĐK.

+) Đưa các logarit về cùng cơ số 2, đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc 2, tìm điều kiện của m để phương trình bậc 2 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Cách giải:$begin{array}{l}
{log _{sqrt 2 }}left$x–1right$ = {log _2}left$mx–8right$ Leftrightarrow {log _2}{left$x–1right$^2} = {log _2}left$mx–8right$\
 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x > 1\
{left$x–1right$^2} = mx – 8
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x > 1\
{x^2} – left$2+mright$x + 9 = 0,,,,left$\ast right$
end{array} right.
end{array}$

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm thực phân biệt thì phương trình $\ast$ phải có 2 nghiệm thực phân biệt lớn hơn ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}>1$

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta  = {left$2+mright$^2} – 36 > 0\
{x_1} > {x_2} > 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} + 4m – 32 > 0\
left$x_1–1right$left$x_2–1right$ > 0\
{x_1} + {x_2} > 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m > 4\
m <  – 8
end{array} right.\
{x_1}{x_2} – left$x_1+x_{2}right$ + 1 > 0\
{x_1} + {x_2} > 2
end{array} right.$
Theo định lí viet có: $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2 + m\
{x_1}{x_2} = 9
end{array} right.$

$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m > 4\
m <  – 8
end{array} right.\
9 – 2 – m + 1 > 0\
2 + m > 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m > 4\
m <  – 8
end{array} right.\
m < 8\
m > 0
end{array} right. Leftrightarrow 4 < m < 8m in left{ {5;6;7} right}$

Câu 44: Đáp án A

Phương pháp:

+) Để mặt phẳng $P$ cắt $S$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì $d{{left$I;left(Pright$ right)}_{mtext{ax}}}$

+) Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc của I trên $P$ và trên đường thẳng AB. Ta có :$IHle IK$

$Rightarrow {{left$I;left(Pright$ right)}_{mtext{ax}}}=I{{H}_{mtext{ax}}}=IKLeftrightarrow Hequiv K$

Cách giải:

$begin{array}{l}
B in left$Pright$ Rightarrow b – 2 = 0 Leftrightarrow b = 2\
A in left$Pright$ Rightarrow 3a – 2b + 6c – 2 = 0 Rightarrow a + 2c = 2 Rightarrow a = 2 – 2c
end{array}$

Khi đó mặt phẳng $P$ có dạng : $left$Pright$:left$2-2cright$x+2y+cz-2=0$

Mặt cầu $left$Sright$$có tâm $Ileft$1;2;3right$$, bán kính $R=5$

Gọi  H  và  K  lần  lượt  là  chân  đường  vuông  góc  của  I  trên  $P$  và  trên đường thẳng AB. Ta có : $IHle IK$

Để  mặt phẳng $P$ cắt $S$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì ${{left$I;left(Pright$ right)}_{mtext{ax}}}=I{{H}_{mtext{ax}}}=IKLeftrightarrow Hequiv K$

Ta có: $overrightarrow{AB}=left$-3;3;-6right$=-3left$1;-1;2right$$

=>Phương trình đường thẳng AB: 

$left{ begin{array}{l}
x = t\
y = 1 – t\
z = 2t
end{array} right.,K in AB Rightarrow Kleft$t;1–t;2tright$ Rightarrow overrightarrow {IK}  = left$t–1;–t–1;2t–3right$$

Vì $IKbot ABRightarrow overrightarrow{IK}.overrightarrow{IB}=0Rightarrow left$t-1right$-left$-t-1right$+2left$2t-3right$=0Leftrightarrow 6t-6=0Leftrightarrow t=1Rightarrow Kleft$1;0;2right$$

$d{{left$I;left(Pright$ right)}_{mtext{ax}}}=I{{H}_{mtext{ax}}}=IKLeftrightarrow Hequiv KRightarrow Hleft$1;0;2right$Rightarrow overrightarrow{IH}=left$0;-2;-1right$$ là 1 VTPT của $P$

$Rightarrow overrightarrow{IH}$và vec tơ pháp tuyến ${{overrightarrow{n}}_{left$Pright$}}left$2-2c;2;cright$$cùng phương

$begin{array}{l}
{overrightarrow n _{left$Pright$}} = k.overrightarrow {IH}  Rightarrow left{ begin{array}{l}
2 – 2c = 0\
2 =  – 2k\
c =  – k
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
c = 1\
k =  – 1
end{array} right. Rightarrow a = 2 – 2c = 0\
 Rightarrow T = a + b + c = 0 + 2 + 1 = 3
end{array}$

Câu 45: Đáp án D

Phương pháp:

+) Xác định khoảng cách từ A đến $SBC$.

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính SA.

+) Tính thể tích khối chóp $V=frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}$

Cách giải: Trong $left$SABright$$kẻ $AHbot SB$ta có:

$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
BC bot SA\
BC bot AB
end{array} right. Rightarrow BC bot left$SABright$ Rightarrow BC bot AH\
 Rightarrow AH bot left$SBCright$ Rightarrow AH = frac{{asqrt 2 }}{2}
end{array}$

Xét tam giác vuông SAB có:

$frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{S{{A}^{2}}}+frac{1}{A{{B}^{2}}}Leftrightarrow frac{2}{{{a}^{2}}}=frac{1}{S{{A}^{2}}}+frac{1}{{{a}^{2}}}Leftrightarrow SA=a$

Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=frac{1}{3}a.{{a}^{2}}=frac{{{a}^{3}}}{3}$

Câu 46: Đáp án D

Phương pháp: Đưa biểu thức T về dạng biểu thức vector bằng cách tìm các vecto biểu diễn cho các số phức.

Cách giải: Tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện $left| z-1 right|=sqrt{2}$ là đường tròn $left$Cright$$ tâm $Ileft$1;0right$$bán kính $R=sqrt{2}$

$T=left| z+i right|+left| z-2-i right|=left| z-left$-1right$ right|+left| z-left$2+iright$ right|$

Gọi M là điểm biểu diễn cho số  phức z, $Aleft$0;-1right$$ là điểm biểu diễn cho số phức $-i,Bleft$2;1right$$là  điểm  biểu  diễn  cho  số  phức $2+i.$

Dễ thấy $A,Bin left$Cright$$ và $AB=sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2sqrt{2}=2RRightarrow AB$là đường kính của  đường  tròn $left$Cright$Rightarrow Delta MAB$ vuông  tại  M $Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=8Rightarrow MB=sqrt{8-M{{A}^{2}}}$

Ta có: $T=left| overrightarrow{OM}-overrightarrow{OA} right|+left| overrightarrow{OM}-overrightarrow{O}B right|=MA+MB=MA+sqrt{8-M{{A}^{2}}}$

Đặt $MA=xleft$0lexle2sqrt2right$,$xét hàm số $fleft$xright$=x+sqrt{8-{{x}^{2}}}$trên $left$$0;2sqrt2right$$$ta có:

$begin{array}{l}
f’left$xright$ = 1 – frac{x}{{sqrt {8 – {x^2}} }} = frac{{sqrt {8 – {x^2}}  – x}}{{sqrt {8 – {x^2}} }} = 0 Leftrightarrow sqrt {8 – {x^2}}  = x Leftrightarrow 8 – {x^2} = {x^2} Leftrightarrow x = 2\
fleft$0right$ = sqrt 2 ,,,,fleft$2sqrt2right$ = 2sqrt 2 ;,,,fleft$2right$ = 4 Rightarrow mathop {m{rm{ax}}}limits_{left$$0;2sqrt2right$$} fleft$xright$ = fleft$2right$ = 4
end{array}$

Vậy $max T=4$

Câu 47: Đáp án B

Phương pháp:Tính thể tích ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}$theo $ctext{os}alpha $

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của BC ta có: [left{ begin{array}{l}
BC bot AM\
BC bot SA
end{array} right. Rightarrow BC bot left$SAMright$]

Trong $left$SAMright$$kẻ $AHbot SMRightarrow AHbot BCRightarrow AHbot left$SBCright$Rightarrow AH=3$

Ta có: $begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
left$SBCright$ cap left$ABCright$ = BC\
AM bot BC\
SM bot BC
end{array} right. Rightarrow left$left(SBCright);left(ABCright)right$ = left$AM;SMright$ = SMA = alpha \
 Rightarrow AM = frac{{AH}}{{sin alpha }} = frac{3}{{sin alpha }} Rightarrow BC = 2AM = frac{6}{{sin alpha }}\
 Rightarrow {S_{ABC}} = frac{1}{2}AM.BC = frac{1}{2}.frac{3}{{sin alpha }}.frac{6}{{sin alpha }} = frac{9}{{{{sin }^2}alpha }}
end{array}$

Trong tam giác vuông SAM có: $SM=frac{AM}{sin alpha }=frac{3}{sin alpha ,ctext{os}alpha }$

$begin{array}{l}
 Rightarrow SA = sqrt {S{M^2} – A{M^2}}  = sqrt {frac{8}{{{{sin }^2}alpha ,c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha }} – frac{9}{{{{sin }^2}alpha }}}  = frac{{3sqrt {1 – c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha } }}{{sin alpha ,c{rm{os}}alpha }} = frac{3}{{c{rm{os}}alpha }}\
 Rightarrow {V_{S.ABC}} = frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = frac{1}{3}.frac{3}{{c{rm{os}}alpha }}.frac{9}{{{{sin }^2}alpha }} = frac{9}{{left$1–crmo{rms}^{2}alpharight$c{rm{os}}alpha }}
end{array}$

Đặt $t=ctext{os}alpha left$0<t<1right$Rightarrow fleft$tright$=frac{9}{left$1-t^{2}right$t}$

$begin{array}{l}
fleft$frac13right$ = frac{{243}}{8};fleft$fracsqrt33right$ = frac{{27sqrt 3 }}{2};fleft$fracsqrt22right$ = 18sqrt 2 ;fleft$frac23right$ = frac{{243}}{{10}}\
 Rightarrow mathop {min }limits_{x in left$0;1right$} fleft$tright$ = fleft$fracsqrt33right$
end{array}$

Câu 48: Đáp án D

Phương pháp: AB lớn nhất $Leftrightarrow dleft$I;Deltaright$$nhỏ nhất.

Cách giải: Mặt cầu $S$ có tâm $Ileft$0;-2;0right$$ và bán kính $R=sqrt{5}$

Dễ thấy $Inotin Delta $

Ta có: ${{overrightarrow{u}}_{Delta }}=left$2;1;-3right$,Mleft$1;-m;2mright$in Delta ,overrightarrow{IM}=left$1;2-m;2mright$$

$Rightarrow fleft$I;Deltaright$=frac{left| left$$overrightarrowIM;{overrightarrowu}_{Delta}right$$ right|}{left| {{overrightarrow{u}}_{Delta }} right|}=frac{sqrt{21{{m}^{2}}+54}}{sqrt{14}}$

Để AB lớn nhất $Leftrightarrow d{{left$I;Deltaright$}_{min }}Leftrightarrow {{left$21m^2+54right$}_{min }}Leftrightarrow m=0$

Câu 49: Đáp án A

Phương pháp:

+) Biểu diễn không gian mẫu dưới dạng tập hợp $Omega =left{ left. left$x;yright$ right|left| x right|le 4;left| y right|le 4;x;yin mathbb{Z} right},$tìm $left| Omega  right|$

+) Gọi A là biến cố: “Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2”, biểu diễn A dưới dạng tập hợp và tìm số phần tử của A.

+) Tính xác suất của biến cố A: $$Pleft(Aright)=fracleft|Aright|left|Omegaright|$$

Cách giải:

Không gian mẫu $Omega =left{ left. left$x;yright$ right|left| x right|le 4;left| y right|le 4;x;yin mathbb{Z} right}$

Có 9 cách chọn x, 9 cách chọn y, do đó $left| Omega  right|=9,,x,,9,=81$

Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là hình tròn tâm O bán kính 2.

Gọi  A  là  biến  cố:  “ Tập  hợp  các  điểm  mà  khoảng  cách  đến  gốc  tọa  độ  nhỏ  hơn  hoặc  bằng  2” $Rightarrow A=left{ left$x;yright$+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}le 4 right}Rightarrow {{x}^{2}}le 4Rightarrow -2le xle 2$

Với $x=0Rightarrow yin left{ 0;pm 1;pm 2 right}Rightarrow $có 5 điểm

Với $x=pm 1Rightarrow yin left{ 0;pm 1 right}Rightarrow $Có $2.3=6$điểm

Với $x=pm 2Rightarrow y=0Rightarrow $Có 2 điểm.

$Rightarrow left| A right|=5+6+2=13.$ Vậy $Pleft$Aright$=frac{left| A right|}{left| Omega  right|}=frac{13}{81}$

Câu 50: Đáp án C

Phương pháp:

+) Tính $f’left$0right$$và sử dụng giả thiết $f’left$0right$=-22$suy ra 1 phương trình chứa a,b.

+) Tính $intlimits_{0}^{1}{fleft$xright$dx}$và sử dụng giả thiết $intlimits_{0}^{1}{fleft$xright$dx}=5$suy ra 1 phương trình nữa chứa a, b.

+) Giải hệ gồm 2 phương trình trên, tìm a và b.

Cách giải:

$begin{array}{l}
f’left$xright$ =  – 3.frac{a}{{{{left$x+1right$}^4}}} + b{e^x} + b{e^x}\
 Rightarrow f’left$0right$ =  – 3a + b =  – 22,,,,,,,,,,,left$1right$\
intlimits_0^1 {fleft$xright$dx}  = intlimits_0^1 {left$fraca{left(x+1right)}^3+bx{e}^{x}right$} dx = aintlimits_0^1 {{{left$x+1right$}^{ – 3}}dx + bintlimits_0^1 {x{e^x}dx = a{I_1} + b{I_2}} } \
{I_1} = intlimits_0^1 {{{left$x+1right$}^{ – 3}}dx = left. {frac{{{{left$x+1right$}^{ – 2}}}}{{ – 2}}} right|} _0^1 = frac{{ – 1}}{2}left$frac14–1right$ = frac{3}{8}
end{array}$

Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x\
dv = {e^x}dx
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
du = dx\
v = {e^x}
end{array} right. Rightarrow {I_2} = left. {x{e^x}} right|{}_1^0 – intlimits_0^1 {{e^x}dx = left. {e – {e^x}} right|} {}_0^1 = e – left$e–1right$ = 1$

$ Rightarrow intlimits_0^1 {fleft$xright$dx}  = frac{3}{8}a + b = 5,,,,,,,,left$2right$$

Từ $1$ và $2$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 8\
b = 2
end{array} right.$