Lời giải đề tỉnh Hà Nam-trang 2

Câu 4: Cho đường tròn $$O$$ đường kính $AB$. Lấy điểm $H$ thuộc đoạn $AB$$\$H\$khác\$A\$và\$B\$$, đường thẳng vuông góc với $AB$ tại  $H$ cắt đường tròn $$O$$tại hai điểm $C$ và $D$. Trên cung nhỏ $BC$ lấy điểm $M$$\$M\$khác\$B\$và\$C\$$, gọi $N$ là giao điểm của $AM$ và $CD$.

1. Chứng minh tứ giác $BMNH$ nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh $MA$ là phân giác của $widehat{CMD}$.
3. Chứng minh $A{{D}^{2}}=AM.AN$.
4. Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ và $AM$, $P$ là giao điểm của $AB$ và $DM$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $CMP$.

Lời giải

1. Tứ giác  $BMNH$ nội tiếp đường tròn vì $widehat{NMB}={{90}^{0}}$$Gócnộitiếpchắnnửađườngtròn$$Rightarrow $$widehat{NHB}+widehat{NMB}={{180}^{0}}$.
2. Ta có dây cung $CD$ vuông góc với đường kính $AB$ do đó  $H$ là trung điểm của $CD$ hay tam giác $CAD$ cân tại $A$

$Rightarrow widehat{ACD}=widehat{AMD}=widehat{ADC}=widehat{CMA}$. Vậy $MA$ là phân giác của $widehat{CMD}$.

Ta có $widehat{ADN}=widehat{AMD}$  nên $Delta ADNsim Delta AMD,$g.g$$

$Rightarrow frac{AD}{AM}=frac{AN}{AD}$$Rightarrow A{{D}^{2}}=AM.AN$.

4. Ta có $AB$ là trung trực của $CD$ nên $widehat{PCB}=widehat{PDB}$, mà $widehat{PDB}=widehat{BCM}$$Cùngchắncung\$MB\$$. Do đó $widehat{PCB}=widehat{BCM} $$Rightarrow$$ BC$ là phân giác của $widehat{PCM}$. Theo ý $2)$ thì $MA$ là phân giác của $widehat{CMD} $$Rightarrow$$ I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $CMP$.$dpcm$

Câu 5: Cho các số thực a, b, c > 0 thỏa mãn: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3.$ Chứng minh rằng:

$frac{1}{4-sqrt{ab}}+frac{1}{4-sqrt{bc}}+frac{1}{4-sqrt{ca}}le 1.$

Lời giải

Đặt $sqrt{a}=x>0;,sqrt{b}=y>0;,sqrt{c}=z>0Rightarrow {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}=3$ 

Bài toán trở thành chứng minh

$dfrac{1}{4-xy}+dfrac{1}{4-yz}+dfrac{1}{4-ztext{x}}le 1$.

Ta có 

$ Rightarrow dfrac{1}{{4 – xy}} + frac{1}{{4 – yz}} + dfrac{1}{{4 – z{rm{x}}}} le dfrac{{5 + {{left$xyright$}^2}}}{{18}} + dfrac{{5 + {{left$yzright$}^2}}}{{18}}dfrac{{5 + {{left$zxright$}^2}}}{{18}}$

$ = dfrac{{15 + {{left$xyright$}^2} + {{left$yzright$}^2} + {{left$zrmxright$}^2}}}{{18}} le dfrac{{15 + {x^4} + {y^4} + {z^4}}}{{18}} = dfrac{{18}}{{18}} = 1$

Vậy $frac{1}{4-sqrt{ab}}+frac{1}{4-sqrt{bc}}+frac{1}{4-sqrt{ca}}le 1.$