Lời giải đề tỉnh Hà Nam-trang 1

LỜI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH MÔN TOÁN VÀO CHUYÊN 10 TỈNH HÀ NAM

NĂM 2017-2018

$Đềthichung$

Câu 1:          (1,5 điểm).

Rút gọn các biểu thức sau:

1.          $A=4sqrt{2}-3sqrt{8}+sqrt{18}$.
2.          $B=left$dfracx-2sqrtxx-4-dfrac2sqrtx+2right$:left$1-dfrac4sqrtx+2right$$, $với\$xge0\$,\$xne4\$$.

Lời giải

1.          $A=4sqrt{2}-3sqrt{8}+sqrt{18}=4sqrt{2}-3sqrt{{{2}^{2}}.2}+sqrt{{{3}^{2}}.2}=4sqrt{2}-6sqrt{2}+3sqrt{2}=sqrt{2}$.
2.          Với điều kiện $xge 0$, $xne 4$ biểu thức $B$ trở thành:

 $B=left$fracx-2sqrtxx-4-frac2sqrtx+2right$:left$1-frac4sqrtx+2right$$

$,,,,,=left$fracsqrtxleft(sqrtx-2right)left(sqrtx-2right)left(sqrtx+2right)-frac2sqrtx+2right$:left$fracsqrtx+2-4sqrtx+2right$,,,,,=left$fracsqrtxsqrtx+2-frac2sqrtx+2right$:left$fracsqrtx-2sqrtx+2right$$

$,,,,,,=frac{sqrt{x}-2}{sqrt{x}+2}.frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-2}=1$.

Câu 2:          $2,0điểm$.

1.          Giải phương trình $3{x^2} – 2x – 1 = 0$.
2.          Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l}
   2x + 3y = 13\
   2x – y = 1
   end{array} right.$.

Lời giải

1. $3{{x}^{2}}-2x-1=0$

$Delta ={{left$-2right$}^{2}}-4.3.left$-1right$=16$.

$Rightarrow sqrt{Delta }=4$.

Vì $Delta >0$ nên phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt :

${{x}_{1}}=frac{2+4}{6}=1$; ${{x}_{2}}=dfrac{2-4}{6}=dfrac{-1}{3}$.

Vậy phương trình trên có tập nghiệm $S = left{ {frac{{ – 1}}{3};{mkern 1mu} 1} right}$

2. $left{ begin{array}{l}
2x + 3y = 13\
2x – y = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
4y = 12\
2x – y = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3\
2x = 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3\
x = 2
end{array} right.$

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm: $left$2;,3right$$.

Câu 3:          Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $left$Pright$$ có phương trình $y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $left$dright$$ có phương trình $y=2left$m+1right$x-{{m}^{2}}$ $với\$m\$làthamsố$.

1. Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $left$dright$$ cắt parabol $left$Pright$$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
2. Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$. Xác định $m$ để $left$2x_1+1right$left$2x_2+1right$=13$.

Lời giải

1. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}$ và $y=2left$m+1right$x-{{m}^{2}}$ là:

x-{{m}^{2}} \  & Leftrightarrow {{x}^{2}}-2left$m+1right$x+{{m}^{2}}=0quad left$1right$ \ end{align}Ta có: {Delta }’={{left$$-left(m+1right)right$$}^{2}}-{{m}^{2}}=2m+1)

Để đường thẳng $left$dright$$ cắt parabol $left$Pright$$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ thì phương trình $left$1right$$ phải có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình $left$1right$$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow {Delta }’>0$$Leftrightarrow 2m+1>0Leftrightarrow m>-frac{1}{2}$.

Vậy với $m>-frac{1}{2}$ thì đường thẳng $left$dright$$ cắt parabol $left$Pright$$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.

2. Với $m>-frac{1}{2}$ thì phương trình $left$1right$$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$ $giaođiểmcủađườngthẳng\$left(dright$$ và parabol $left$Pright$$).

Áp dụng hệ thức Vi – ét với phương trình $left$1right$$, ta có:(left{ begin{matrix}    {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-frac{b}{a}=2left$m+1right$  \    {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=frac{c}{a}={{m}^{2}}quad quad quad   \ end{matrix} right.)Khi đó:left$2x_2+1right$=13 \  & Leftrightarrow 4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+2left$x_1+x_{2}right$+1-13=0 \  & Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+2.2left$m+1right$-12=0 \  & Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m-8=0 \  & Leftrightarrow left[ begin{matrix}    m=1  \    m=-2  \ end{matrix} right. \ end{align})Kết hợp điều kiện $m>-frac{1}{2}$, ta thấy $m=1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.