LỜI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH MÔN TOÁN VÀO CHUYÊN 10 TỈNH HÀ NAM
NĂM 2017-2018
(Đề thi chung)
Câu 1: (1,5 điểm).
Rút gọn các biểu thức sau:
- $A=4sqrt{2}-3sqrt{8}+sqrt{18}$.
- $B=left( dfrac{x-2sqrt{x}}{x-4}-dfrac{2}{sqrt{x}+2} right):left( 1-dfrac{4}{sqrt{x}+2} right)$, (với $xge 0$, $xne 4$).
Lời giải
- $A=4sqrt{2}-3sqrt{8}+sqrt{18}=4sqrt{2}-3sqrt{{{2}^{2}}.2}+sqrt{{{3}^{2}}.2}=4sqrt{2}-6sqrt{2}+3sqrt{2}=sqrt{2}$.
- Với điều kiện $xge 0$, $xne 4$ biểu thức $B$ trở thành:
$B=left( frac{x-2sqrt{x}}{x-4}-frac{2}{sqrt{x}+2} right):left( 1-frac{4}{sqrt{x}+2} right)$
$,,,,,=left( frac{sqrt{x}left( sqrt{x}-2 right)}{left( sqrt{x}-2 right)left( sqrt{x}+2 right)}-frac{2}{sqrt{x}+2} right):left( frac{sqrt{x}+2-4}{sqrt{x}+2} right),,,,,=left( frac{sqrt{x}}{sqrt{x}+2}-frac{2}{sqrt{x}+2} right):left( frac{sqrt{x}-2}{sqrt{x}+2} right)$
$,,,,,,=frac{sqrt{x}-2}{sqrt{x}+2}.frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-2}=1$.
Câu 2: (2,0 điểm).
- Giải phương trình $3{x^2} – 2x – 1 = 0$.
- Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l}
2x + 3y = 13\
2x – y = 1
end{array} right.$.
Lời giải
- $3{{x}^{2}}-2x-1=0$
$Delta ={{left( -2 right)}^{2}}-4.3.left( -1 right)=16$.
$Rightarrow sqrt{Delta }=4$.
Vì $Delta >0$ nên phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt :
${{x}_{1}}=frac{2+4}{6}=1$; ${{x}_{2}}=dfrac{2-4}{6}=dfrac{-1}{3}$.
Vậy phương trình trên có tập nghiệm $S = left{ {frac{{ – 1}}{3};{mkern 1mu} 1} right}$
2. $left{ begin{array}{l}
2x + 3y = 13\
2x – y = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
4y = 12\
2x – y = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3\
2x = 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3\
x = 2
end{array} right.$
Vậy hệ phương trình trên có nghiệm: $left( 2;,3 right)$.
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $left( P right)$ có phương trình $y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $left( d right)$ có phương trình $y=2left( m+1 right)x-{{m}^{2}}$ (với $m$ là tham số).
- Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $left( d right)$ cắt parabol $left( P right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
- Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$. Xác định $m$ để $left( 2{{x}_{1}}+1 right)left( 2{{x}_{2}}+1 right)=13$.
Lời giải
- Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}$ và $y=2left( m+1 right)x-{{m}^{2}}$ là:
(begin{align} & {{x}^{2}}=2left( m+1 right)x-{{m}^{2}} \ & Leftrightarrow {{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+{{m}^{2}}=0quad left( 1 right) \ end{align}Ta có: {Delta }’={{left[ -left( m+1 right) right]}^{2}}-{{m}^{2}}=2m+1)
Để đường thẳng $left( d right)$ cắt parabol $left( P right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ thì phương trình $left( 1 right)$ phải có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình $left( 1 right)$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow {Delta }’>0$$Leftrightarrow 2m+1>0Leftrightarrow m>-frac{1}{2}$.
Vậy với $m>-frac{1}{2}$ thì đường thẳng $left( d right)$ cắt parabol $left( P right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
- Với $m>-frac{1}{2}$ thì phương trình $left( 1 right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$ (giao điểm của đường thẳng $left( d right)$ và parabol $left( P right)$).
Áp dụng hệ thức Vi – ét với phương trình $left( 1 right)$, ta có:(left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-frac{b}{a}=2left( m+1 right) \ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=frac{c}{a}={{m}^{2}}quad quad quad \ end{matrix} right.)Khi đó:(begin{align} & left( 2{{x}_{1}}+1 right)left( 2{{x}_{2}}+1 right)=13 \ & Leftrightarrow 4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+2left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)+1-13=0 \ & Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+2.2left( m+1 right)-12=0 \ & Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m-8=0 \ & Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=1 \ m=-2 \ end{matrix} right. \ end{align})Kết hợp điều kiện $m>-frac{1}{2}$, ta thấy $m=1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
