Lời giải đề thi vào lớp 10 chuyên Tỉnh Nam Định năm 2018 – trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI

ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Năm học:  2018 – 2019

Môn : TOÁN $chuyên$

$Hướngdẫnchấmgồm:05trang$

Nội dung

Điểm

a) $1,0điểm$

Điều kiện: $xne -y;,xne -1;,yne 1.$

0,25

$P=dfrac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+{{y}^{3}}-{{x}^{3}}{{y}^{2}}-{{x}^{2}}{{y}^{3}}}{$x+y$$1-y$$1+x$}=dfrac{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}+x-y-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{$1-y$$1+x$}$

0,25

   $=dfrac{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}y+x-y}{1+x}$

0,25

   $=x+xy-y.$

0,25

b) $1,0điểm$

Đặt $S=sqrt{1+dfrac{1}{{{1}^{2}}}+dfrac{1}{{{2}^{2}}}}+sqrt{1+dfrac{1}{{{2}^{2}}}+dfrac{1}{{{3}^{2}}}}+…+sqrt{1+dfrac{1}{{{2017}^{2}}}+dfrac{1}{{{2018}^{2}}}}.$

Ta có$sqrt{1+dfrac{1}{{{n}^{2}}}+dfrac{1}{{{$n+1$}^{2}}}}=sqrt{1+{{left$dfrac1n-dfrac1n+1right$}^{2}}+dfrac{2}{n$n+1$}}$     $$nin{mathbbN}^{\ast }$$                              

0,25

                                        $=sqrt{{{left$1+dfrac1n-dfrac1n+1right$}^{2}}}=1+dfrac{1}{n}-dfrac{1}{n+1}.$

0,25

 Áp dụng đẳng thức trên ta được $S=left$1+dfrac11-dfrac12right$+left$1+dfrac12-dfrac13right$+…+left$1+dfrac12017-dfrac12018right$$                                

0,25

     = $2018-dfrac{1}{2018}<2018.$ $điềuphảichứngminh$                                       

0,25

Nội dung

Điểm

a) $1,0điểm$    

Điều kiện: ${{x}^{2}}+2x-1>0.$

 $2left$left(1-xright$sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}+x right)={{x}^{2}}-1Leftrightarrow 2$1-x$sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}={{x}^{2}}-2x-1,,,,$1$$

Đặt $sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}=y,.,,,,,,$yge0$$

0,25

PT $1$ trở thành ${{y}^{2}}-2$1-x$y-4x=0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
y = 2\
y =  – 2x
end{array} right.$

0,25

Với $y=2$ thì $sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}=2Leftrightarrow x=-1pm sqrt{6}.$ $thỏamãnđiềukiện$

Với $y=-2x$ thì $sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}=-2x$ $vônghiệm$

0,25

Phương trình có tập nghiệm $left{ -1-sqrt{6};-1+sqrt{6} right}.$

0,25.

2) $1,0điểm$   

 Điều kiện $xle 8;yge -1;x-yge 0.$

Hệ đã cho tương đương $left{ begin{array}{l}
x – 3y – 2 + sqrt {$x–y$$y+1$}  = 0{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} $1$\
3sqrt {8 – x}  – frac{{4y}}{{sqrt {y + 1}  + 1}} = {x^2} – 14y – 8{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} $2$
end{array} right.$

Nhận xét: $y=-1$ và $y=0$ không thỏa mãn, do đó

0,25

$$1$Leftrightarrow dfrac{x-y}{y+1}+sqrt{dfrac{x-y}{y+1}}-2=0$ $Leftrightarrow sqrt{dfrac{x-y}{y+1}}=1Leftrightarrow x=2y+1$.

Thế vào $2$ ta được phương trình

$4sqrt{y+1}-3sqrt{7-2y}+4{{y}^{2}}-10y-11=0$$Leftrightarrow 4left$sqrty+1-2right$-3left$sqrt7-2y-1right$+4{{y}^{2}}-10y-6=0$

$Leftrightarrow left$y-3right$left$dfrac2sqrty+1+2+dfrac3sqrt7-2y+1+2y+1right$=0.,,$3$$

0,25

Với $-1<yle dfrac{7}{2}$ thì $dfrac{2}{sqrt{y+1}+2}ge dfrac{2sqrt{2}}{3+2sqrt{2}};,dfrac{3}{sqrt{7-2y}+1}>dfrac{3}{4};,2y+1>-1$

$Rightarrow dfrac{2}{sqrt{y+1}+2}+dfrac{3}{sqrt{7-2y}+1}+2y+1>0$.

0,25

Do đó $$3$Leftrightarrow y-3=0Leftrightarrow y=3.$

$Rightarrow x=7$ thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của hệ là$$x;y$=$7;3$.$

0,25