|
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH |
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học: 2018 – 2019 Môn : TOÁN (chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) |
Câu 1: (2,0 điểm)
|
Nội dung |
Điểm |
|
a) (1,0 điểm) Điều kiện: $xne -y;,xne -1;,yne 1.$ |
0,25 |
|
$P=dfrac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+{{y}^{3}}-{{x}^{3}}{{y}^{2}}-{{x}^{2}}{{y}^{3}}}{(x+y)(1-y)(1+x)}=dfrac{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}+x-y-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{(1-y)(1+x)}$ |
0,25 |
|
$=dfrac{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}y+x-y}{1+x}$ |
0,25 |
|
$=x+xy-y.$ |
0,25 |
|
b) (1,0 điểm) Đặt $S=sqrt{1+dfrac{1}{{{1}^{2}}}+dfrac{1}{{{2}^{2}}}}+sqrt{1+dfrac{1}{{{2}^{2}}}+dfrac{1}{{{3}^{2}}}}+…+sqrt{1+dfrac{1}{{{2017}^{2}}}+dfrac{1}{{{2018}^{2}}}}.$ Ta có$sqrt{1+dfrac{1}{{{n}^{2}}}+dfrac{1}{{{(n+1)}^{2}}}}=sqrt{1+{{left( dfrac{1}{n}-dfrac{1}{n+1} right)}^{2}}+dfrac{2}{n(n+1)}}$ $(nin {{mathbb{N}}^{*}})$ |
0,25 |
|
$=sqrt{{{left( 1+dfrac{1}{n}-dfrac{1}{n+1} right)}^{2}}}=1+dfrac{1}{n}-dfrac{1}{n+1}.$ |
0,25 |
|
Áp dụng đẳng thức trên ta được $S=left( 1+dfrac{1}{1}-dfrac{1}{2} right)+left( 1+dfrac{1}{2}-dfrac{1}{3} right)+…+left( 1+dfrac{1}{2017}-dfrac{1}{2018} right)$ |
0,25 |
|
= $2018-dfrac{1}{2018}<2018.$ (điều phải chứng minh) |
0,25 |
Câu 2: (2,0 điểm)
|
Nội dung |
Điểm |
|
a) (1,0 điểm) Điều kiện: ${{x}^{2}}+2x-1>0.$ $2left( left( 1-x right)sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}+x right)={{x}^{2}}-1Leftrightarrow 2(1-x)sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}={{x}^{2}}-2x-1,,,,(1)$ Đặt $sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}=y,.,,,,,,(yge 0)$ |
0,25 |
|
PT (1) trở thành ${{y}^{2}}-2(1-x)y-4x=0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} |
0,25 |
|
Với $y=2$ thì $sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}=2Leftrightarrow x=-1pm sqrt{6}.$ (thỏa mãn điều kiện) Với $y=-2x$ thì $sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}=-2x$ (vô nghiệm) |
0,25 |
|
Phương trình có tập nghiệm $left{ -1-sqrt{6};-1+sqrt{6} right}.$ |
0,25. |
|
2) (1,0 điểm) Điều kiện $xle 8;yge -1;x-yge 0.$ Hệ đã cho tương đương $left{ begin{array}{l} Nhận xét: $y=-1$ và $y=0$ không thỏa mãn, do đó |
0,25 |
|
$(1)Leftrightarrow dfrac{x-y}{y+1}+sqrt{dfrac{x-y}{y+1}}-2=0$ $Leftrightarrow sqrt{dfrac{x-y}{y+1}}=1Leftrightarrow x=2y+1$. Thế vào (2) ta được phương trình $4sqrt{y+1}-3sqrt{7-2y}+4{{y}^{2}}-10y-11=0$$Leftrightarrow 4left( sqrt{y+1}-2 right)-3left( sqrt{7-2y}-1 right)+4{{y}^{2}}-10y-6=0$ $Leftrightarrow left( y-3 right)left( dfrac{2}{sqrt{y+1}+2}+dfrac{3}{sqrt{7-2y}+1}+2y+1 right)=0.,,(3)$ |
0,25 |
|
Với $-1<yle dfrac{7}{2}$ thì $dfrac{2}{sqrt{y+1}+2}ge dfrac{2sqrt{2}}{3+2sqrt{2}};,dfrac{3}{sqrt{7-2y}+1}>dfrac{3}{4};,2y+1>-1$ $Rightarrow dfrac{2}{sqrt{y+1}+2}+dfrac{3}{sqrt{7-2y}+1}+2y+1>0$. |
0,25 |
|
Do đó $(3)Leftrightarrow y-3=0Leftrightarrow y=3.$ $Rightarrow x=7$ thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của hệ là$(x;y)=(7;3).$ |
0,25 |
