Lời giải đề thi vào lớp 10 chuyên Tỉnh Nam Định năm 2016-2017 (đề chung)

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

(2,0đ)

1)

Biểu thức $A=sqrt{x-1}+dfrac{2}{3-x}$ xác định $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x – 1 ge 0\
x ne 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 1\
x ne 3
end{array} right.$

0,5

2)

Ta có $B=sqrt{{{left( x-3 right)}^{2}}}+x=left| x-3 right|+x$.

Với $x=3-sqrt{3}$, ta có $B=left| 3-sqrt{3}-3 right|+left( 3-sqrt{3} right)=3$.

0,5

3)

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$ có đường kính $AC=5sqrt{2}$ cm.

Suy ra bán kính đường tròn đó là $R=dfrac{AC}{2}=dfrac{5sqrt{2}}{2}$ cm.

0,5

4)

Xét phương trình ${x^2} =  – x + 2 Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x =  – 2.
end{array} right.$

Với $x=1Rightarrow y=1;$ với $x=-2Rightarrow y=4$.

Tọa độ các giao điểm cần tìm là $left( 1;1 right)$ và $left( -2;4 right)$.

0,5

Câu 2

(1,5đ)

1)

Ta có $P=dfrac{3x+6sqrt{x}}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+2 right)}-dfrac{{{left( sqrt{x}+2 right)}^{2}}}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+2 right)}-dfrac{left( sqrt{x}+1 right)left( sqrt{x}-1 right)}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+2 right)}$

0,25

            $,,,,=dfrac{3x+6sqrt{x}-x-4sqrt{x}-4-x+1}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+2 right)}$

0,25

               $,=dfrac{x+2sqrt{x}-3}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+2 right)}$

0,25

                $=dfrac{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+3 right)}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+2 right)}=dfrac{sqrt{x}+3}{sqrt{x}+2}$.

0,25

2)

$P=dfrac{sqrt{x}+3}{sqrt{x}+2}=1+dfrac{1}{sqrt{x}+2}$.

0,25

Với $xge 0;,,xne 1$ ta có $sqrt{x}+2ge 2Rightarrow dfrac{1}{sqrt{x}+2}le dfrac{1}{2}Rightarrow 1+dfrac{1}{sqrt{x}+2}le dfrac{3}{2}Rightarrow Ple dfrac{3}{2}.$

0,25

Câu 3

(2,5đ)

1.a)

Ta có $Delta ={{left( m+1 right)}^{2}}-4left( 2m-2 right)={{m}^{2}}-6m+9={{left( m-3 right)}^{2}}$.

0,25

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},,,{{x}_{2}}$ $Leftrightarrow Delta >0Leftrightarrow mne 3$.

0,25

0,25

Đối chiếu điều kiện ta được $m=1$ là giá trị cần tìm.

0,25

1.b)

0,25

Phương trình có nghiệm lớn hơn 2 khi và chỉ khi $m-1>2Leftrightarrow m>3$.

0,25

2)

 ${x^2} – left( {m + 1} right)x + 2m – 2 = 0 Leftrightarrow left( {x – 2} right)left( {x – m + 1} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
x = m – 1.
end{array} right.$

Điều kiện: $2x+yge 2$

(1) $Leftrightarrow left( x-y right)left( 2x+y right)+left( x-y right)=0Leftrightarrow left( x-y right)left( 2x+y+1 right)=0$

0,25

 $Leftrightarrow x=y$ vì $2x+y+1>0,$ do $2x+yge 2$.

0,25

 Thế $y=x$ vào (2) ta được $sqrt{3x-2}=2x-2$

0,25

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 1\
4{x^2} – 11x + 6 = 0
end{array} right. Leftrightarrow x = 2.$

Với $x=2Rightarrow y=2$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $left( x;y right)=left( 2;2 right)$.

0,25

Câu 4

(3 đ)

1)

Tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật, suy ra $I$ là trung điểm của $AH$

0,25

$Rightarrow IK$ là đường trung bình của $Delta AHDRightarrow IK$ song song $AD$

0,25

$Rightarrow KIbot AB$ ($ADbot AB$)

0,25

Xét $Delta ABK$ có $KIbot AB$ và $AIbot BD$ (giả thiết),

suy ra I là trực tâm của $Delta ABK.$

0,25

2)

$BIbot AK$ ( I  là trực tâm của $Delta ABK$)                                               (1) 

0,25

$IK$ song song $AD$, $IK=dfrac{1}{2}AD$ ($IK$ là đường trung bình của $Delta AHD$)

$Rightarrow IK$ song song $BM$, $IK=BM$

Do đó tứ giác $BMKI$ là hình bình hành $Rightarrow BI$ song song $MK$         (2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra $MKbot AK$ hay $widehat{AKM}={{90}^{0}}$.

0,25

$widehat{ABM},,+,,widehat{AKM}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$, do đó tứ giác $ABMK$ là tứ giác nội tiếp.

0,25

3)

Vì $Delta ABD$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $A{{H}^{2}}=BH.DH$

0,25

Do đó $A{{H}^{3}}=BE.BD.DFLeftrightarrow AH.A{{H}^{2}}=BE.BD.DF$$Leftrightarrow AH.BH.DH=BE.BD.DF$

$Leftrightarrow AH.dfrac{BH}{BD}.DH=BE.DFLeftrightarrow AH.dfrac{BE}{BA}.DH=BE.DF$ ($HE$ song song $AD$).

0,25

$Leftrightarrow dfrac{AH.DH}{BA}=DFLeftrightarrow AH.DH=AB.DF$            (*)

0,25

$Delta ABH$ đồng dạng với $Delta DHF$(g.g), do đó $dfrac{AH}{AB}=dfrac{DF}{DH}Leftrightarrow AH.DH=AB.DF$. Suy ra (*)  đúng. Vậy $A{{H}^{3}}=BE.BD.DF$.

0,25

Câu 5

(1 đ)

Ta có $dfrac{1}{4{{x}^{2}}-yz+2}=dfrac{1}{4{{x}^{2}}-yz+2(xy+yz+zx)}=dfrac{1}{4{{x}^{2}}+2xy+yz+2zx}$

                           $,,,,,=dfrac{1}{left( 2x+y right)left( 2x+z right)}$.

Tương tự, ta có $S=dfrac{1}{left( 2x+y right)left( 2x+z right)}+dfrac{1}{left( 2y+z right)left( 2y+x right)}+dfrac{1}{left( 2z+x right)left( 2z+y right)}$

0,25

    $Leftrightarrow S=dfrac{yz}{left( 2xz+yz right)left( 2xy+yz right)}+dfrac{xz}{left( 2xy+xz right)left( 2yz+xz right)}+dfrac{xy}{left( 2yz+xy right)left( 2xz+xy right)}$

0,25

Với mọi $a,,b$ ta có ${{left( a-b right)}^{2}}ge 0Rightarrow {{left( a+b right)}^{2}}ge 4abRightarrow able dfrac{{{left( a+b right)}^{2}}}{4}.$