Lời giải đề thi vào lớp 10 chuyên Tỉnh Nam Định năm 2016-2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI

ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Năm học:  2016 – 2017

Nội dung

Điểm

a) (1,0 điểm)

$sqrt{x+2+2sqrt{x+1}}-sqrt{x+2-2sqrt{x+1}}=sqrt{x+1+2sqrt{x+1}+1}-sqrt{x+1-2sqrt{x+1}+1}$

0,25

$=sqrt{{{left( sqrt{x+1}+1 right)}^{2}}}-sqrt{{{left( sqrt{x+1}-1 right)}^{2}}}$

0,25

$=left| sqrt{x+1}+1 right|-left| sqrt{x+1}-1 right|$

0,25

$=sqrt{x+1}+1-left( sqrt{x+1}-1 right)=2.$

0,25

b) (1,0 điểm)

 Do $a+b+c=6$ nên $dfrac{a}{b+c}+dfrac{b}{c+a}+dfrac{c}{a+b}=dfrac{6-left( b+c right)}{b+c}+dfrac{6-left( c+a right)}{c+a}+dfrac{6-left( a+b right)}{a+b}$

0,25

                                   $=dfrac{6}{b+c}+dfrac{6}{c+a}+dfrac{6}{a+b}-3$

0,25

                                   $=6left( dfrac{1}{b+c}+dfrac{1}{c+a}+dfrac{1}{a+b} right)-3$

0,25

                                         $=6.dfrac{47}{60}-3=dfrac{47}{10}-3=dfrac{17}{10}.$

0,25

Nội dung

Điểm

a) (1,0 điểm)   Điều kiện $2{{x}^{2}}+3x+1ge 0;,,1-3xge 0.$

Đặt $a=sqrt{2{{x}^{2}}+3x+1};,,b=sqrt{{{x}^{2}}+1};,,,,a;bge 0$. Khi đó ta được $2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}=1-3x.$

0,25

Phương trình đã cho trở thành:

$a+sqrt{2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}=2b$$Rightarrow sqrt{2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}=2b-a$

                                 $Rightarrow 2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}={{left( 2b-a right)}^{2}}$

                                 $Rightarrow 2left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} right)=0Rightarrow a=b.$

0,25

Với $2{x^2} + 3x + 1 = {x^2} + 1 Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x =  – 3.
end{array} right.$

0,25

Thử lại ta được nghiệm phương trình là: $x=0;,x=-3.$

0,25

2) (1,0 điểm)   

     $left{ begin{array}{l}
{x^2} + 3{y^2} – 3x – 1 = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 right)\
{x^2} – {y^2} – x – 4y + 5 = 0,,,,,,,,,,,,left( 2 right)
end{array} right.$

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được   $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-4x-4y+4=0,,,,,,,,,,,left( 3 right)$

0,25

Phương trình (3) tương đương với   ${{left( x-y right)}^{2}}+{{left( x+y-2 right)}^{2}}=0$

0,25

0,25

Ta thấy $x=y=1$ thỏa mãn (1) và (2). Hệ đã cho có duy nhất nghiệm $left( x;y right)=left( 1;1 right).$

0,25

Nội dung

Điểm

a) (1,0 điểm).

Chứng minh được tứ giác $BNHK$ và tứ giác $CMHK$ là các tứ giác nội tiếp.

0,25

Chứng minh được tứ giác $BNMC$ nội tiếp.

0,25

Chứng minh được $widehat{NBM}=widehat{NKH};,,,widehat{MCN}=widehat{MKH};widehat{NBM}=widehat{MCN.}$

0,25

Từ đó chứng minh được $widehat{MKH}=widehat{NKH}.$

0,25

b) (1,0 điểm).

Kẻ đường kính $AS$ của $left( O;R right)$, nối $BS$. Ta có $widehat{Btext{S}A}=widehat{ACB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung).

0,25

Tứ giác $BNMC$ nội tiếp nên $widehat{ANM}=widehat{ACB}$ (cùng bù với $widehat{BNM}$)$Rightarrow widehat{ANM}=widehat{ASB}$

0,25

Trong tam giác $ABS$ ta có $widehat{ABS}={{90}^{0}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $widehat{BSA}+widehat{BAS}={{90}^{0}}$. Suy ra $widehat{ANM}+widehat{BAS}={{90}^{0}}$ $Rightarrow AObot MN$ hay $AObot IJ.$

0,25

Tam giác $OIJ$ cân ở $O$$left( OI=OJ right)$, $AObot IJ$ suy ra  $AO$ đi qua trung điểm $IJ.$

0,25

c) (1,0 điểm).  

Ta có $widehat{ABS}=widehat{SCA}={{90}^{0}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $Rightarrow SCbot AC;,SBbot AB$

$Rightarrow CH$ song song  $SB$ (cùng vuông góc $BC$)

$Rightarrow BH$ song song  $SC$ (cùng vuông góc $AB$)

$Rightarrow BHCS$ là hình bình hành $Rightarrow P$ là trung điểm của $HS$ (vì $P$ là trung điểm của $BC$).                                    

Do đó $OP$ là đường trung bình của tam giác $AHS$$Rightarrow OP=dfrac{1}{2}AH.$

0,5

Trong tứ giác $ANHM$ ta có  $A{{H}^{2}}=N{{A}^{2}}+N{{H}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{H}^{2}}$

$N{{A}^{2}}+N{{H}^{2}}ge 2NA.NH$ hay $N{{A}^{2}}+N{{H}^{2}}ge 4{{S}_{Delta NAH}}$ (Vì $2NA.NH=4{{S}_{Delta NAH}}$)

$M{{A}^{2}}+M{{H}^{2}}ge 2MA.MHRightarrow M{{A}^{2}}+M{{H}^{2}}ge 4{{S}_{Delta MAH}}$ (Vì $2MA.MH=4{{S}_{Delta MAH}}$)

$Rightarrow 2.H{{A}^{2}}ge 4{{S}_{ANHM}}$$Rightarrow 8.text{O}{{P}^{2}}ge 4S$ hay $2.O{{P}^{2}}ge S.$

0,25

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $NH=NA;MH=MA$, khi đó $widehat{MAN}={{90}^{0}}$ hay $widehat{BAC}={{90}^{0}}$ (mâu thuẫn với tam giác $ABC$ nhọn). Do đó không xảy ra dấu bằng, suy ra $2.O{{P}^{2}}>S.$

0,25

Nội dung

Điểm

a) (0,75 điểm).

Với mỗi số nguyên $kne 0$ ta có: ${{x}^{5}}+8{{y}^{3}}+7{{text{z}}^{2}}=0Leftrightarrow {{k}^{30}}{{x}^{5}}+{{k}^{30}}.8{{y}^{3}}+{{k}^{30}}.7{{text{z}}^{2}}=0$

                                                                                    $Leftrightarrow {{left( {{k}^{6}}.x right)}^{5}}+8{{left( {{k}^{10}}.y right)}^{3}}+7{{left( {{k}^{15}}.z right)}^{2}}=0.$

0,25

Do đó nếu $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ là một bộ số nguyên thỏa mãn điều kiện đề bài thì với mỗi số nguyên $kne 0$ ta cũng có  $left( {{k}^{6}}{{x}_{0}};{{k}^{10}}{{y}_{0}};{{k}^{15}}{{z}_{0}} right)$cũng là một bộ số nguyên khác thỏa mãn điều kiện đề bài.

0,25

Ta thấy bộ $left( 1;-2;3 right)$ thỏa mãn điều kiện đề bài. Từ đó suy ra tồn tại vô hạn bộ ba số nguyên $left( x,y,z right)$ thỏa mãn $xyzne 0$ và ${{x}^{5}}+8{{y}^{3}}+7{{text{z}}^{2}}=0.$

Lưu ý: Học sinh có thể chỉ ra ngay bộ $left( {{k}^{6}};-{{k}^{10}};{{k}^{15}} right)$ với $k$ là số nguyên khác 0 tùy ý là một bộ số nguyên thỏa mãn đề bài.

0,25

b) (0,75 điểm).

Giả sử $a;b;c$ là các số nguyên không âm thỏa mãn đề bài, ta có:

${{left( a-b right)}^{2}}+{{left( b-c right)}^{2}}+{{left( c-a right)}^{2}}=6abcLeftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca=3abc$   (1)

0,25

Phân tích ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=left( a+b+c right)left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca right)$          (2)

0,25

Từ (1) và (2)  ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=3abcleft( a+b+c right)$ hay ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abcleft( a+b+c+1 right)$.

Do ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+1$ chia hết cho $a+b+c+1$ nên ta được 1 chia hết cho $a+b+c+1$

Suy ra $a=b=c=0.$

Thử lại: $a=b=c=0$ thỏa mãn. Vậy có duy nhất bộ số $left( a;b;c right)=left( 0;0;0 right)$ thỏa mãn đề bài.

0,25

Nội dung

Điểm

a) (0,75 điểm).

Đặt $x-y=a;,,x-z=b$ ta được $ab=1;,,ane b.$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

 $dfrac{1}{{{a}^{2}}}+dfrac{1}{{{b}^{2}}}+dfrac{1}{{{left( a-b right)}^{2}}}ge 4Leftrightarrow dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}+dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab}ge 4$$Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2}ge 4$

0,25

$Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2+dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2}ge 2.$

0,25

Do $ab=1;,,ane b$ nên ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>2ab$ hay  ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2>0.$

Mặt khác $left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2 right)+dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2}ge 2sqrt{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2 right).dfrac{1}{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2 right)}}$ tức là

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2+dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2}ge 2$. Vậy  $dfrac{1}{{{left( x-y right)}^{2}}}+dfrac{1}{{{left( y-z right)}^{2}}}+dfrac{1}{{{left( z-x right)}^{2}}}ge 4.$

0,25

b) (0,75 điểm).

Đặt $k=ab+a+b=left( a+1 right)left( b+1 right)-1.$

Nếu trong 2 số $a,b$ tồn tại một số chia 3 dư 2 thì k chia 3 dư 2.

0,5

Ban đầu trên bảng gồm có số 2 và số 4 (một số chia 3 dư 1; một số chia 3 dư 2). Suy ra tại mọi thời điểm, trên bảng luôn chỉ có một số chia 3 dư 1 và các số còn lại chia 3 dư 2. Do đó với cách thực hiện như đề bài, trên bảng không thể xuất hiện số