Đáp án
Bài 1
a. $A=left( dfrac{1}{x+sqrt{x}}-dfrac{1}{sqrt{x}+1} right):dfrac{sqrt{x}}{x+2sqrt{x}+1}$ , với $x>0$
$begin{array}{l}
A = left( {frac{1}{{x + sqrt x }} – frac{1}{{sqrt x + 1}}} right):frac{{sqrt x }}{{x + 2sqrt x + 1}}\
A = left( {frac{1}{{sqrt x left( {sqrt x + 1} right)}} – frac{{sqrt x }}{{sqrt x left( {sqrt x _1} right)}}} right).frac{{{{left( {sqrt x + 1} right)}^2}}}{{sqrt x }}\
A = frac{{left( {1 – sqrt x } right){{left( {1 + sqrt x } right)}^2}}}{{sqrt x left( {sqrt x + 1} right)sqrt x }} = frac{{left( {1 – sqrt x } right)left( {sqrt x + 1} right)}}{x} = frac{{1 – x}}{x}
end{array}$
b. Điều kiện: $x>0$
$A>dfrac{1}{2}Leftrightarrow dfrac{1-x}{x}>dfrac{1}{2}Leftrightarrow 2-2x>xLeftrightarrow 3x<2Leftrightarrow x<dfrac{2}{3}$
Kết hợp với điều kiện $x>0$, Vậy với $0<x<dfrac{2}{3}$ thì $A>dfrac{1}{2}$
Bài 2
Gọi pt đường thẳng d có hệ số góc k là $y=kx+b$
a. M(1;-3) ϵ d nên: $-3=k.1+bRightarrow b=-3-k$
Khi đó đường thẳng d có dạng: $y=kx-3-k$
Nếu $k = 0,{kern 1pt} {kern 1pt} y = – 3$ thì M$notin $ d trái với giả thiết, suy ra $kne 0$
Đường thẳng d cắt Ox tại A nên $A({{x}_{0}};0)in d:$ $k{{x}_{0}}-3-k=0Leftrightarrow {{x}_{0}}=dfrac{3+k}{k}$
$Rightarrow Aleft( dfrac{3+k}{k};0 right)$
Đường thẳng d cắt Oy tại B nên $Bleft( 0;{{y}_{0}} right)in d:$ ${{y}_{0}}=k.0-3-k=-3-k$
$Rightarrow Bleft( 0;-3-k right)$
b. Khi $k = 2$ thì $Aleft( dfrac{5}{2};0 right)$; $Bleft( 0;-5 right)$
$OA=dfrac{5}{2};OB=5$
Tam giác OAB vuông tại O
${S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}OA.OB = frac{1}{2}.frac{5}{2}.5 = frac{{25}}{4}{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} left( {dvdt} right)$
Bài 3:
Số có 2 chữ số có dạng $overline{xy}$ , điều kiện: $x,yin left{ 1;2;3;…;9} right.$
Số đảo ngược của $overline{xy}$ là $overline{yx}$. $overline{xy}=10x+y;overline{yx}=10y+x$
Theo đề ta có:$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
overline {xy} – overline {yx} = 18\
overline {xy} + {overline {yx} ^2} = 618
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
10x + y – (10y + x) = 18\
10x + y + {(10y + x)^2} = 618
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
9x – 9y = 18\
10x + y + {(10y + x)^2} = 618
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = y + 2\
{x^2} + 100{y^2} + 20xy + 10x + y = 618{rm{ }}(2)
end{array} right.
end{array}$
$x = 2 + y$ thế vào (2) ta được
$begin{array}{l}
{left( {2 + y} right)^2} + 100{y^2} + 20left( {2 + y} right)y + 10left( {2 + y} right) + y = 618\
Leftrightarrow 4 + {y^2} + 4y + 100{y^2} + 40y + 20{y^2} + 20 + 10y + y = 618\
Leftrightarrow 121{y^2} + 55y – 594 = 0\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
y = 2{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} left( {tm} right)\
y = frac{{ – 27}}{{11}}{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} left( l right)
end{array} right.
end{array}$
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
x = 2\
y = 4
end{array} right.$
Vậy số cần tìm là 42
Bài 4:
a. Chứng minh APMQ nt (O)
Xét tứ giác APMQ có:
$begin{array}{l}
widehat {APM} = {90^o},{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} widehat {AQM} = {90^o}{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} left( {gt} right)\
Rightarrow widehat {APM} + widehat {AQM} = {180^o}
end{array}$
Suy ra tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM
Gọi O là trung điểm của AM.
Suy ra O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ
b. Chứng minh $OHbot PQ$
Ta có:
$widehat{HPQ}=widehat{HAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HQ)
$widehat{HQP}=widehat{HAB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HP)
Mà $widehat{HAC}=widehat{HAB}$ (do ∆ABC đều, AH đường cao, phân giác)
$ Rightarrow $$widehat{HPQ}=widehat{HQP}$ suy ra ∆PHQ cân tại H suy ra HP=HQ (1)
Mặt khác OP=OQ (do O,Q đều thuộc (O) ) (2)
Từ (1) và (2) $ Rightarrow $ OH là trung trực của PQ
$ Rightarrow $$OHbot PQ$ (đpcm)
c. Chứng minh MP+MQ=AH
$begin{array}{l}
{S_{Delta MAB}} = dfrac{1}{2}MP.AB = dfrac{1}{2}MP.BC{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} left( {do{kern 1pt} AB = BC} right)\
{S_{Delta MAC}} = dfrac{1}{2}MQ.AC = dfrac{1}{2}MQ.BC{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} left( {do{kern 1pt} AB = BC} right)\
{S_{Delta ABC}} = dfrac{1}{2}AH.BC
end{array}$
Mà ${S_{Delta ABC}} = {S_{Delta MAB}} + {S_{Delta MAC}}$
$begin{array}{l}
Rightarrow dfrac{1}{2}AH.BC = dfrac{1}{2}MP.BC + dfrac{1}{2}MQ.BC\
Leftrightarrow AH.BC = BC.left( {MP + MQ} right)\
Leftrightarrow AH = MP + MQ{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} left( {dpcm} right)
end{array}$
Bài 5:
∆ABC đều cạnh a
$begin{array}{l}
dfrac{{AM}}{{MB}} + dfrac{{AN}}{{NC}} = 1.AM = x,AN = y\
Cm:MN = a – x – y
end{array}$
Ta có:
$dfrac{AM}{MB}+dfrac{AN}{NC}=1$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow frac{{AM}}{{AB – AM}} + frac{{AN}}{{AC – AN}} = 1\
Leftrightarrow frac{x}{{a – x}} + frac{y}{{a – y}} = 1\
Leftrightarrow x(a – y) + y(a – x) = (a – x)(a – y)\
Leftrightarrow {a^2} – 2ax – 2ay + 3xy = 0\
Leftrightarrow {a^2} + {x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + 2xy = {x^2} + {y^2} – xy
end{array}$
$ Leftrightarrow {(a – x – y)^2} = {x^2} + {y^2} – xy$ (1)
Kẻ $MHbot AC$
Ta có $widehat{MAH}=60{}^circ $ (do ∆ABC đều)
∆AHM vuông tại H: $MH=x.sin 60{}^circ =dfrac{sqrt{3}}{2}x$
$AH=x.sin 60{}^circ =dfrac{x}{2}$
$HN=y-dfrac{x}{2}$
Áp dụng ĐL Pitago trong tam giác vuông MNH:
$M{{N}^{2}}=M{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}$
= ${{left( dfrac{xsqrt{3}}{2} right)}^{2}}+{{left( y-dfrac{x}{2} right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra: $M{{N}^{2}}={{(a-x-y)}^{2}}Leftrightarrow MN=left| a-x-y right|$
Vì $dfrac{x}{a-x}<1$ nên $x<dfrac{a}{2}$ ; $dfrac{y}{a-y}<1$ nên $y<dfrac{a}{2}$
$left{ begin{array}{l}
x < frac{1}{2}a\
y < frac{1}{2}a
end{array} right.$
$ Rightarrow $$x+y<a$ nên $a-(x+y)>0$ hay $a-x-y>0$
Vậy $MN = a – x – y$ (đpcm)
