Lời giải: Đề thi thử THPTQG Năm 2018 Môn Toán THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc lần 3- trang 2

Câu 30: Đáp án A

Bán kính đáy của hình nón là: $R-=frac{2}{3}frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}$

Chiều cao của hình nón là: $h=sqrt{{{a}^{2}}-{{left$fracasqrt33right$}^{2}}}=frac{asqrt{6}}{3}$

Diện tích xung quanh của hình nón là:

 ${{S}_{xq}}=pi Rl=pi .frac{asqrt{3}}{3}=frac{pi {{a}^{2}}sqrt{3}}{3}.$

Câu 31: Đáp án A

Dựng hình như hình vẽ.

Ta có: $OA=frac{asqrt{2}}{2}Rightarrow SO=sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=frac{asqrt{2}}{2}$

Khi đó $tan ,varphi =tan widehat{SHO}=frac{SO}{OH}=sqrt{2}$

Do đó $ctext{os}varphi =frac{1}{sqrt{3}}$

Câu 32: Đáp án A

Ta có: $fleft$1right$=0Rightarrow a+b=0.$ Do $fleft$xright$=a,x+frac{b}{{{x}^{2}}}left$xne0right$Rightarrow Fleft$xright$=frac{a,{{x}^{2}}}{2}-frac{b}{x}+C$

Do $Fleft$-1right$=1Rightarrow frac{a}{2}+b+C=1;Fleft$1right$=4Rightarrow frac{a}{2}-b+C=4$

Suy ra  $a=frac{3}{2};b=-frac{3}{2};c=frac{7}{4}Rightarrow Fleft$xright$=frac{3{{x}^{2}}}{4}+frac{3}{2x}+frac{7}{4}$

Câu 33: Đáp án C

Gọi $Ileft$-1;-1;-4right$;A{{B}^{2}}=24$ là trung điểm của AB khi đó $A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}=30$

Suy ra ${{overrightarrow{MA}}^{2}}+{{overrightarrow{MB}}^{2}}=30{{left$overrightarrowMI+overrightarrowIAright$}^{2}}+{{left$overrightarrowMI+overrightarrowIBright$}^{2}}=30$

$2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+2overrightarrow{MI}left$overrightarrowIA+overrightarrowIBright$=30Leftrightarrow 2M{{I}^{2}}=30-frac{A{{B}^{2}}}{2}Leftrightarrow MI=3.$

Do đó mặt cầu $left$Sright$$tâm $Ileft$-1;-1;-4right$;R=3$.

Câu 34: Đáp án B

Cách 1: CALC

Cách 2: $underset{xto 0}{mathop{lim }},,fleft$xright$=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{2sqrt{1+x}-2+2-sqrt$$3$${8-x}}{x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{2left$$fracleft(1+xright)-1sqrt1+x+1right$$+frac{8-left$8-xright$}{4+2sqrt$$3$${8-x}+sqrt$$3$${{{left$8-xright$}^{2}}}}}{x}$

$=underset{xto 0}{mathop{lim }},left$frac2sqrt1+x+1+frac14+2sqrt[3]8-x+sqrt[3]{left(8-xright)}^{2}right$=frac{13}{12}$

Câu 35: Đáp án D

Phương trình đã cho $Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-6+{{x}^{2}}-x-3=left$x^2-x-3right${{.8}^{{{x}^{2}}+3x-6}}+left$x^2+3x-6right${{.8}^{{{x}^{2}}-x-3}}$

$Rightarrow u+v=u{{.8}^{v}}+v{{.8}^{u}}$$với\$u=x^2+3x-6;v=x^2-x-3\$$ $Leftrightarrow left$8^u-1right$v+left$8^v-1right$u=0,,,,,,,,,,left$\ast right$.$

TH1. Nếu $u=0$, khi đó $left$\ast right$ Leftrightarrow v = 0 Rightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} + 3x – 6 = 0\
{x^2} – x – 3 = 0
end{array} right.$

TH2. Nếu $v=0,$tương tự TH1.

TH3. Nếu $u>0;v>0,$khi đó $left$8^u-1right$v+left$8^v-1right$u>0Rightarrow left$\ast right$$ vô nghiệm.

TH4. Nếu $u<0;v<0,$tương tự TH3.

TH5. Nếu $u>0;v<0$, khi đó $left$8^u-1right$v+left$8^v-1right$u<0Rightarrow left$\ast right$$vô nghiệm.

TH6. Nếu $u<0;v>0,$ tương tự TH5.

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt .

Hoặc biến đổi $left$\ast right$Leftrightarrow frac{{{8}^{u}}-1}{u}+frac{{{8}^{v}}-1}{v}=0,$dễ thấy $frac{{{8}^{u}}-1}{u}>0;forall une 0$ $Table=Mode7$.

Câu 36: Đáp án C

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

$I=SOcap B’D’Rightarrow C’=AI’cap SC.$

Ta có: $left{ begin{array}{l}
BC bot AB\
BC bot SA
end{array} right. Rightarrow BC bot AB’$ 

Lại có $AB’bot SBRightarrow ABbot ‘SC$, tương tự $AD’bot SC$

Do đó $AC’bot SC$

Xét tam giác SAB có: $SB’.SB=S{{A}^{2}}Rightarrow frac{SB’}{SB}=frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=frac{2}{3}$

Tương tự $frac{SC’}{SC}=frac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=frac{2}{4}$

Do đó $frac{{{V}_{S.AB’C’}}}{{{V}_{S.ABC}}}=frac{2}{3}.frac{2}{4}=frac{1}{3},$do tính chất đối xứng nên:

$frac{{{V}_{S.AB’C’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=frac{1}{3};{{V}_{S.ABCD}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}Rightarrow V=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{9}.$

Câu 37: Đáp án A

Giả sử ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+left$n-1right$dRightarrow {{u}_{5}}={{u}_{1}}+4d=18left$1right$.$

Ta có: ${{S}_{n}}=frac{nleft$$2u_1+left(n-1right)dright$$}{2};{{S}_{2n}}=frac{2nleft$$2u_1+left(2n-1right)dright$$}{2}$

Do ${{S}_{2n}}=4{{S}_{n}}Rightarrow 2nleft$$2u_1+left(2n-1right)dright$$=4nleft$$2u_1+left(n-1right)dright$$Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+left$2n-1right$d=4{{u}_{1}}+left$2n-2right$d$

$Leftrightarrow 2{{u}_{1}}=d,,left$2right$.$ Từ $1$ và $2$ suy ra ${{u}_{1}}=2,d=4.$

Câu 38: Đáp án A

Do $AB//CD$do đó $dleft$CD;left(SABright$ right)=dleft$D;left(SABright$ right)$

Dựng $DHbot SARightarrow DHbot left$SABright$Rightarrow d=DH=frac{SD.DA}{sqrt{S{{D}^{2}}+D{{A}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{3}}$

Câu 39: Đáp án A

Ta có đáy của hình hộp đã cho là hình thoi:

Do đó $left{ begin{array}{l}
AC bot BD\
AC//A’C’
end{array} right. Rightarrow A’C’ bot BD$ nên A đúng,

tương tự C, D đúng.

Câu 40: Đáp án C

PTTT của $left$Cright$$tại điểm $Mleft$a;2a^3-3a^2+5right$$là: $y=left$6a^2-6aright$left$x-aright$+2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5$

Do tiếp tuyến đi qua điểm $Aleft$frac1912;4right$$nên $4 = left$6a^2–6aright$left$frac1912–aright$ + 2{a^3} – 3{a^2} + 5$

$ Leftrightarrow 4{a^3} – frac{{25}}{2}{a^2} + frac{{19}}{2}a – 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a = frac{1}{8}\
a = 1\
a = 2
end{array} right.$ 

Vậy từ điểm $Aleft$frac1912;4right$$kẻ được 3 tiếp tuyến tới $left$Cright$$.

Câu 41: Đáp án D

Gọi $Ileft$a;b;cright$$là điểm cách đều bốn mặt phẳng $left$ABCright$,left$BCDright$,left$CDAright$,left$DABright$.$

Khi đó, ta có $left| a right|=left| b right|=left| c right|=frac{left| a+b+c-1 right|}{sqrt{3}},,,,,,,left$\ast right$$. Suy ra có 8 cặp $left$a;b;cright$$ thỏa mãn $\ast$.

Câu 42: Đáp án A

Gọi r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

Thể tích khối nón là $V=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}$, với h là chiều cao khối nón.

Ta có ${{r}^{4}}left$l^2-r^{2}right$=4.frac{{{r}^{2}}}{2}.frac{{{r}^{2}}}{2}.left$l^2-r^{2}right$le frac{4}{27}left$frac{r}^{2}2+frac{r}^{2}2+l^2-r^{2}right$=frac{4}{27}{{l}^{6}}$

Suy ra ${{r}^{2}}sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}le frac{2{{l}^{3}}}{3sqrt{3}}Rightarrow {{V}_{left$Nright$}}le frac{2pi {{l}^{3}}}{9sqrt{3}}.$ Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow frac{{{r}^{2}}}{2}={{l}^{2}}-{{r}^{2}}Leftrightarrow {{l}^{2}}=frac{3{{r}^{2}}}{2},,,,,left$1right$$

Mà x là chu vi đường tròn đáy hình nón $Rightarrow x=2pi r$ và đường sinh $l=R,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left$2right$$

Từ $1$, $2$ suy ra ${{R}^{2}}=frac{3}{2}.{{left$fracx2piright$}^{2}}Leftrightarrow {{x}^{2}}=frac{8{{pi }^{2}}{{R}^{2}}}{3}Rightarrow x=frac{2pi Rsqrt{6}}{3}.$

Câu 43: Đáp án C

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy

+) Đồ thị hàm số có TCĐ và tiệm cận ngang là $x =  – frac{d}{c},y = frac{a}{c} Rightarrow left{ begin{array}{l}
 – frac{d}{c} < 0\
frac{a}{c} > 0
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
cd > 0\
ac > 0
end{array} right. Rightarrow ad > 0$ 

+) Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ $left$0;fracbdright$,left$–fracba;0right$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
frac{b}{d} < 0\
 – frac{b}{a} > 0
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
bd < 0\
ab < 0
end{array} right.$ 

Câu 44: Đáp án B

Ta có $y’=frac{-sin xleft$cosx-mright$+sin xleft$cosx-2right$}{{{left$cosx-mright$}^{2}}}=frac{sin xleft$m-2right$}{{{left$cosx-mright$}^{2}}}$

Hàm số nghịch biến trên $left$0;fracpi2right$ Leftrightarrow y’ < 0,forall x in left$0;fracpi2right$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
m – 2 < 0\
cos x ne m
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 2\
m notin left$0;1right$
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
m le 0\
{cos ^{ – 1}}1 le m < 2
end{array} right.$

Câu 45: Đáp án B

Ô tô dừng hẳn $Leftrightarrow vleft$tright$=0Leftrightarrow -5t+10=0Leftrightarrow t=2left$sright$$

Suy ra quãng đường đi được bằng $intlimits_{0}^{2}{left$-5t+10right$d}t=left. left$-frac52t^2+10tright$ right|_{0}^{2}=10left$mright$$

Câu 46: Đáp án C

PT hoành độ giao điểm là $m+1={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2xrightarrow{t={{x}^{2}}}{{t}^{2}}-3t-m-3=0,,left$1right$.$

Hai đồ thị có 2 giao điểm $Leftrightarrow left$1right$Leftrightarrow $có 2 nghiệm trái dấu $Leftrightarrow {{t}_{1}}{{t}_{2}}<0Leftrightarrow -m-3<0Leftrightarrow m>-3,,,left$2right$$

Khi đó $left{ begin{array}{l}
{t_1} = frac{{3 + sqrt {21 + 4m} }}{2}\
{t_2} = frac{{3 – sqrt {21 + 4m} }}{2}
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{x_A} = sqrt {{t_1}} \
{x_B} =  – sqrt {{t_1}} 
end{array} right.$ 

Suy ra tọa độ hai điểm A,B là $Aleft$sqrt{t}_1;m+1right$,Bleft$–sqrt{t}_1;m+1right$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
overrightarrow {OA}  = left$sqrt{t}_1;m+1right$\
overrightarrow {OB}  = left$–sqrt{t}_1;m+1right$
end{array} right.$ 

Tam giác OAB vuông tại O $Rightarrow overrightarrow{OA}.overrightarrow{OB}=0Leftrightarrow -{{t}_{1}}+{{left$m+1right$}^{2}}=0Leftrightarrow -frac{3+sqrt{21+4m}}{2}+{{left$m+1right$}^{2}}=0$

Giải PT kết hợp với điều kiện $left$2right$Rightarrow m=1Rightarrow min left$frac34;frac54right$$

Câu 47: Đáp án B

Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ các số trên có: $3.4.4.3=144$số

Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ 4 số trên và không có mặt chữ số 3 có: $2.3.3.2=36$ số

Do đó có $144-36=108$ thỏa mãn.

Câu 48: Đáp án B

Gọi $Mleft$a;b;cright$$suy ra $overrightarrow{AM}=left$a;b-2;c+4right$,overrightarrow{BM}=left$a+3;b-5;c-2right$$

Khi đó $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{left$b-2right$}^{2}}+{{left$c+4right$}^{2}}+2left$${left(a+3right)}^2+{left(b-5right)}^2+{left(c-2right)}^{2}right$$$

$=3{{a}^{2}}+12a+3{{b}^{2}}-24b+3{{c}^{2}}+96=3{{left$a+2right$}^{2}}+3{{left$b-4right$}^{2}}+3{{c}^{2}}+36ge 36$

Vậy ${{left{ M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}} right}}_{min }}=36.$ Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow left$a;b;cright$=left$-2;4;0right$.$

Câu 49: Đáp án C

Đặt $t={{left$sqrt2+1right$}^{x}}to PTLeftrightarrow 4t+frac{1}{t}-m=0Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-m.t+1=0,left$1right$$.

PT ban đầu có 2 nghiệm âm phân biệt $Leftrightarrow left$1right$$có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}<1.$

Suy ra $left{ begin{array}{l}
Delta left$1right$ > 0\
{t_1} + {t_2} < 2\
left$t_1–1right$left$t_2–1right$ < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 16 > 0\
frac{m}{4} < 2\
{t_1}{t_2} – left$t_1+t_{2}right$ + 1 < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m > 4\
m <  – 4
end{array} right.\
frac{1}{4} – frac{m}{4} + 1 < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
4 < m < 8\
m < 5
end{array} right. Rightarrow 4 < m < 5$ 

Câu 50: Đáp án C

Dựng hình vuông $ABCDRightarrow SDbot mp,left$ABCDright$.$

Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC chính là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Kẻ $DHbot SC,,left$HinSCright$$mà $BCbot left$SCDright$Rightarrow DHbot left$SBCright$.$

Mặt khác $AD//BCRightarrow Dleft$A;left(SBCright$ right)=dleft$D;left(SBCright$ right)=DH=asqrt{2}$

Tam giác SCD vuông tại D, có $frac{1}{D{{H}^{2}}}=frac{1}{S{{D}^{2}}}+frac{1}{C{{D}^{2}}}Rightarrow SD=asqrt{6}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là $R=sqrt{{{R}^{2}}_{ABCD}+frac{S{{D}^{2}}}{4}}=sqrt{{{left$fracasqrt62right$}^{2}}+{{left$fracasqrt64right$}^{2}}}=asqrt{3}$

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là $S=4pi {{R}^{2}}=4pi {{left$asqrt3right$}^{2}}=12pi {{a}^{2}}.$