Câu 30: Đáp án A
Bán kính đáy của hình nón là: $R-=frac{2}{3}frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}$
Chiều cao của hình nón là: $h=sqrt{{{a}^{2}}-{{left( frac{asqrt{3}}{3} right)}^{2}}}=frac{asqrt{6}}{3}$
Diện tích xung quanh của hình nón là:
${{S}_{xq}}=pi Rl=pi .frac{asqrt{3}}{3}=frac{pi {{a}^{2}}sqrt{3}}{3}.$
Câu 31: Đáp án A
Dựng hình như hình vẽ.
Ta có: $OA=frac{asqrt{2}}{2}Rightarrow SO=sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=frac{asqrt{2}}{2}$
Khi đó $tan ,varphi =tan widehat{SHO}=frac{SO}{OH}=sqrt{2}$
Do đó $ctext{os}varphi =frac{1}{sqrt{3}}$
Câu 32: Đáp án A
Ta có: $fleft( 1 right)=0Rightarrow a+b=0.$ Do $fleft( x right)=a,x+frac{b}{{{x}^{2}}}left( xne 0 right)Rightarrow Fleft( x right)=frac{a,{{x}^{2}}}{2}-frac{b}{x}+C$
Do $Fleft( -1 right)=1Rightarrow frac{a}{2}+b+C=1;Fleft( 1 right)=4Rightarrow frac{a}{2}-b+C=4$
Suy ra $a=frac{3}{2};b=-frac{3}{2};c=frac{7}{4}Rightarrow Fleft( x right)=frac{3{{x}^{2}}}{4}+frac{3}{2x}+frac{7}{4}$
Câu 33: Đáp án C
Gọi $Ileft( -1;-1;-4 right);A{{B}^{2}}=24$ là trung điểm của AB khi đó $A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}=30$
Suy ra ${{overrightarrow{MA}}^{2}}+{{overrightarrow{MB}}^{2}}=30{{left( overrightarrow{MI}+overrightarrow{IA} right)}^{2}}+{{left( overrightarrow{M}I+overrightarrow{IB} right)}^{2}}=30$
$2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+2overrightarrow{MI}left( overrightarrow{IA}+overrightarrow{IB} right)=30Leftrightarrow 2M{{I}^{2}}=30-frac{A{{B}^{2}}}{2}Leftrightarrow MI=3.$
Do đó mặt cầu $left( S right)$tâm $Ileft( -1;-1;-4 right);R=3$.
Câu 34: Đáp án B
Cách 1: CALC
Cách 2: $underset{xto 0}{mathop{lim }},,fleft( x right)=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{2sqrt{1+x}-2+2-sqrt[3]{8-x}}{x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{2left[ frac{left( 1+x right)-1}{sqrt{1+x}+1} right]+frac{8-left( 8-x right)}{4+2sqrt[3]{8-x}+sqrt[3]{{{left( 8-x right)}^{2}}}}}{x}$
$=underset{xto 0}{mathop{lim }},left( frac{2}{sqrt{1+x}+1}+frac{1}{4+2sqrt[3]{8-x}+sqrt[3]{{{left( 8-x right)}^{2}}}} right)=frac{13}{12}$
Câu 35: Đáp án D
Phương trình đã cho $Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-6+{{x}^{2}}-x-3=left( {{x}^{2}}-x-3 right){{.8}^{{{x}^{2}}+3x-6}}+left( {{x}^{2}}+3x-6 right){{.8}^{{{x}^{2}}-x-3}}$
$Rightarrow u+v=u{{.8}^{v}}+v{{.8}^{u}}$(với $u={{x}^{2}}+3x-6;v={{x}^{2}}-x-3$) $Leftrightarrow left( {{8}^{u}}-1 right)v+left( {{8}^{v}}-1 right)u=0,,,,,,,,,,left( * right).$
TH1. Nếu $u=0$, khi đó $left( * right) Leftrightarrow v = 0 Rightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} + 3x – 6 = 0\
{x^2} – x – 3 = 0
end{array} right.$
TH2. Nếu $v=0,$tương tự TH1.
TH3. Nếu $u>0;v>0,$khi đó $left( {{8}^{u}}-1 right)v+left( {{8}^{v}}-1 right)u>0Rightarrow left( * right)$ vô nghiệm.
TH4. Nếu $u<0;v<0,$tương tự TH3.
TH5. Nếu $u>0;v<0$, khi đó $left( {{8}^{u}}-1 right)v+left( {{8}^{v}}-1 right)u<0Rightarrow left( * right)$vô nghiệm.
TH6. Nếu $u<0;v>0,$ tương tự TH5.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt .
Hoặc biến đổi $left( * right)Leftrightarrow frac{{{8}^{u}}-1}{u}+frac{{{8}^{v}}-1}{v}=0,$dễ thấy $frac{{{8}^{u}}-1}{u}>0;forall une 0$ (Table = Mode 7).
Câu 36: Đáp án C
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
$I=SOcap B’D’Rightarrow C’=AI’cap SC.$
Ta có: $left{ begin{array}{l}
BC bot AB\
BC bot SA
end{array} right. Rightarrow BC bot AB’$
Lại có $AB’bot SBRightarrow ABbot ‘SC$, tương tự $AD’bot SC$
Do đó $AC’bot SC$
Xét tam giác SAB có: $SB’.SB=S{{A}^{2}}Rightarrow frac{SB’}{SB}=frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=frac{2}{3}$
Tương tự $frac{SC’}{SC}=frac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=frac{2}{4}$
Do đó $frac{{{V}_{S.AB’C’}}}{{{V}_{S.ABC}}}=frac{2}{3}.frac{2}{4}=frac{1}{3},$do tính chất đối xứng nên:
$frac{{{V}_{S.AB’C’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=frac{1}{3};{{V}_{S.ABCD}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}Rightarrow V=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{9}.$
Câu 37: Đáp án A
Giả sử ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+left( n-1 right)dRightarrow {{u}_{5}}={{u}_{1}}+4d=18left( 1 right).$
Ta có: ${{S}_{n}}=frac{nleft[ 2{{u}_{1}}+left( n-1 right)d right]}{2};{{S}_{2n}}=frac{2nleft[ 2{{u}_{1}}+left( 2n-1 right)d right]}{2}$
Do ${{S}_{2n}}=4{{S}_{n}}Rightarrow 2nleft[ 2{{u}_{1}}+left( 2n-1 right)d right]=4nleft[ 2{{u}_{1}}+left( n-1 right)d right]Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+left( 2n-1 right)d=4{{u}_{1}}+left( 2n-2 right)d$
$Leftrightarrow 2{{u}_{1}}=d,,left( 2 right).$ Từ (1) và (2) suy ra ${{u}_{1}}=2,d=4.$
Câu 38: Đáp án A
Do $AB//CD$do đó $dleft( CD;left( SAB right) right)=dleft( D;left( SAB right) right)$
Dựng $DHbot SARightarrow DHbot left( SAB right)Rightarrow d=DH=frac{SD.DA}{sqrt{S{{D}^{2}}+D{{A}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{3}}$
Câu 39: Đáp án A
Ta có đáy của hình hộp đã cho là hình thoi:
Do đó $left{ begin{array}{l}
AC bot BD\
AC//A’C’
end{array} right. Rightarrow A’C’ bot BD$ nên A đúng,
tương tự C, D đúng.
Câu 40: Đáp án C
PTTT của $left( C right)$tại điểm $Mleft( a;2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5 right)$là: $y=left( 6{{a}^{2}}-6a right)left( x-a right)+2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5$
Do tiếp tuyến đi qua điểm $Aleft( frac{19}{12};4 right)$nên $4 = left( {6{a^2} – 6a} right)left( {frac{{19}}{{12}} – a} right) + 2{a^3} – 3{a^2} + 5$
$ Leftrightarrow 4{a^3} – frac{{25}}{2}{a^2} + frac{{19}}{2}a – 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a = frac{1}{8}\
a = 1\
a = 2
end{array} right.$
Vậy từ điểm $Aleft( frac{19}{12};4 right)$kẻ được 3 tiếp tuyến tới $left( C right)$.
Câu 41: Đáp án D
Gọi $Ileft( a;b;c right)$là điểm cách đều bốn mặt phẳng $left( ABC right),left( BCD right),left( CDA right),left( DAB right).$
Khi đó, ta có $left| a right|=left| b right|=left| c right|=frac{left| a+b+c-1 right|}{sqrt{3}},,,,,,,left( * right)$. Suy ra có 8 cặp $left( a;b;c right)$ thỏa mãn (*).
Câu 42: Đáp án A
Gọi r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.
Thể tích khối nón là $V=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}$, với h là chiều cao khối nón.
Ta có ${{r}^{4}}left( {{l}^{2}}-{{r}^{2}} right)=4.frac{{{r}^{2}}}{2}.frac{{{r}^{2}}}{2}.left( {{l}^{2}}-{{r}^{2}} right)le frac{4}{27}left( frac{{{r}^{2}}}{2}+frac{{{r}^{2}}}{2}+{{l}^{2}}-{{r}^{2}} right)=frac{4}{27}{{l}^{6}}$
Suy ra ${{r}^{2}}sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}le frac{2{{l}^{3}}}{3sqrt{3}}Rightarrow {{V}_{left( N right)}}le frac{2pi {{l}^{3}}}{9sqrt{3}}.$ Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow frac{{{r}^{2}}}{2}={{l}^{2}}-{{r}^{2}}Leftrightarrow {{l}^{2}}=frac{3{{r}^{2}}}{2},,,,,left( 1 right)$
Mà x là chu vi đường tròn đáy hình nón $Rightarrow x=2pi r$ và đường sinh $l=R,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 right)$
Từ (1), (2) suy ra ${{R}^{2}}=frac{3}{2}.{{left( frac{x}{2pi } right)}^{2}}Leftrightarrow {{x}^{2}}=frac{8{{pi }^{2}}{{R}^{2}}}{3}Rightarrow x=frac{2pi Rsqrt{6}}{3}.$
Câu 43: Đáp án C
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy
+) Đồ thị hàm số có TCĐ và tiệm cận ngang là $x = – frac{d}{c},y = frac{a}{c} Rightarrow left{ begin{array}{l}
– frac{d}{c} < 0\
frac{a}{c} > 0
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
cd > 0\
ac > 0
end{array} right. Rightarrow ad > 0$
+) Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ $left( {0;frac{b}{d}} right),left( { – frac{b}{a};0} right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
frac{b}{d} < 0\
– frac{b}{a} > 0
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
bd < 0\
ab < 0
end{array} right.$
Câu 44: Đáp án B
Ta có $y’=frac{-sin xleft( cos x-m right)+sin xleft( cos x-2 right)}{{{left( cos x-m right)}^{2}}}=frac{sin xleft( m-2 right)}{{{left( cos x-m right)}^{2}}}$
Hàm số nghịch biến trên $left( {0;frac{pi }{2}} right) Leftrightarrow y’ < 0,forall x in left( {0;frac{pi }{2}} right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
m – 2 < 0\
cos x ne m
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 2\
m notin left( {0;1} right)
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
m le 0\
{cos ^{ – 1}}1 le m < 2
end{array} right.$
Câu 45: Đáp án B
Ô tô dừng hẳn $Leftrightarrow vleft( t right)=0Leftrightarrow -5t+10=0Leftrightarrow t=2left( s right)$
Suy ra quãng đường đi được bằng $intlimits_{0}^{2}{left( -5t+10 right)d}t=left. left( -frac{5}{2}{{t}^{2}}+10t right) right|_{0}^{2}=10left( m right)$
Câu 46: Đáp án C
PT hoành độ giao điểm là $m+1={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2xrightarrow{t={{x}^{2}}}{{t}^{2}}-3t-m-3=0,,left( 1 right).$
Hai đồ thị có 2 giao điểm $Leftrightarrow left( 1 right)Leftrightarrow $có 2 nghiệm trái dấu $Leftrightarrow {{t}_{1}}{{t}_{2}}<0Leftrightarrow -m-3<0Leftrightarrow m>-3,,,left( 2 right)$
Khi đó $left{ begin{array}{l}
{t_1} = frac{{3 + sqrt {21 + 4m} }}{2}\
{t_2} = frac{{3 – sqrt {21 + 4m} }}{2}
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{x_A} = sqrt {{t_1}} \
{x_B} = – sqrt {{t_1}}
end{array} right.$
Suy ra tọa độ hai điểm A,B là $Aleft( {sqrt {{t_1}} ;m + 1} right),Bleft( { – sqrt {{t_1}} ;m + 1} right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
overrightarrow {OA} = left( {sqrt {{t_1}} ;m + 1} right)\
overrightarrow {OB} = left( { – sqrt {{t_1}} ;m + 1} right)
end{array} right.$
Tam giác OAB vuông tại O $Rightarrow overrightarrow{OA}.overrightarrow{OB}=0Leftrightarrow -{{t}_{1}}+{{left( m+1 right)}^{2}}=0Leftrightarrow -frac{3+sqrt{21+4m}}{2}+{{left( m+1 right)}^{2}}=0$
Giải PT kết hợp với điều kiện $left( 2 right)Rightarrow m=1Rightarrow min left( frac{3}{4};frac{5}{4} right)$
Câu 47: Đáp án B
Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ các số trên có: $3.4.4.3=144$số
Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ 4 số trên và không có mặt chữ số 3 có: $2.3.3.2=36$ số
Do đó có $144-36=108$ thỏa mãn.
Câu 48: Đáp án B
Gọi $Mleft( a;b;c right)$suy ra $overrightarrow{AM}=left( a;b-2;c+4 right),overrightarrow{BM}=left( a+3;b-5;c-2 right)$
Khi đó $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{left( b-2 right)}^{2}}+{{left( c+4 right)}^{2}}+2left[ {{left( a+3 right)}^{2}}+{{left( b-5 right)}^{2}}+{{left( c-2 right)}^{2}} right]$
$=3{{a}^{2}}+12a+3{{b}^{2}}-24b+3{{c}^{2}}+96=3{{left( a+2 right)}^{2}}+3{{left( b-4 right)}^{2}}+3{{c}^{2}}+36ge 36$
Vậy ${{left{ M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}} right}}_{min }}=36.$ Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow left( a;b;c right)=left( -2;4;0 right).$
Câu 49: Đáp án C
Đặt $t={{left( sqrt{2}+1 right)}^{x}}to PTLeftrightarrow 4t+frac{1}{t}-m=0Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-m.t+1=0,left( 1 right)$.
PT ban đầu có 2 nghiệm âm phân biệt $Leftrightarrow left( 1 right)$có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}<1.$
Suy ra $left{ begin{array}{l}
Delta left( 1 right) > 0\
{t_1} + {t_2} < 2\
left( {{t_1} – 1} right)left( {{t_2} – 1} right) < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 16 > 0\
frac{m}{4} < 2\
{t_1}{t_2} – left( {{t_1} + {t_2}} right) + 1 < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m > 4\
m < – 4
end{array} right.\
frac{1}{4} – frac{m}{4} + 1 < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
4 < m < 8\
m < 5
end{array} right. Rightarrow 4 < m < 5$
Câu 50: Đáp án C
Dựng hình vuông $ABCDRightarrow SDbot mp,left( ABCD right).$
Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC chính là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Kẻ $DHbot SC,,left( Hin SC right)$mà $BCbot left( SCD right)Rightarrow DHbot left( SBC right).$
Mặt khác $AD//BCRightarrow Dleft( A;left( SBC right) right)=dleft( D;left( SBC right) right)=DH=asqrt{2}$
Tam giác SCD vuông tại D, có $frac{1}{D{{H}^{2}}}=frac{1}{S{{D}^{2}}}+frac{1}{C{{D}^{2}}}Rightarrow SD=asqrt{6}$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là $R=sqrt{{{R}^{2}}_{ABCD}+frac{S{{D}^{2}}}{4}}=sqrt{{{left( frac{asqrt{6}}{2} right)}^{2}}+{{left( frac{asqrt{6}}{4} right)}^{2}}}=asqrt{3}$
Vậy diện tích mặt cầu cần tính là $S=4pi {{R}^{2}}=4pi {{left( asqrt{3} right)}^{2}}=12pi {{a}^{2}}.$
