Câu 30: Đáp án D
Câu 31: Đáp án D
Chiều cao khối trụ $h=10$.
Bán kính đáy: $R=frac{{{S}_{xq}}}{2pi h}=4Rightarrow V=pi {{R}^{2}}h=160pi .$
Câu 32: Đáp án B
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}+2left( m-1 right)x-3m$ Hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{0}}=1Rightarrow y’left( 1 right)=3+2m-2-3m=0Leftrightarrow m=1.$
Câu 33: Đáp án D
Dễ thấy $f’left( x right)={{left( x+1 right)}^{2}}left( x-2 right)$
Do $f’left( x right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=2$ nên $fleft( x right)$ đạt cực trị tại $x=2$
Hàm số $fleft( x right)$nghịch biến trên $left( -infty ;2 right),,,do,,,fleft( x right)<0,,left( forall x<2 right).$
Đặt $t=2-{{x}^{2}}Rightarrow gleft( x right)=fleft( t right)Rightarrow g’left( x right)=f’left( t right).tleft( x right)=f’left( 2-{{x}^{2}} right).left( -2x right)$
$={{left( 2-{{x}^{2}}+1 right)}^{2}}left( 2-{{x}^{2}}-2 right).left( -2x right)={{left( 3-{{x}^{2}} right)}^{2}}.2{{x}^{3}}Rightarrow gleft( x right)$ đồng biến trên $left( 0;+infty right).$
Câu 34: Đáp án C
Xét hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3$ có đồ thị như hình vẽ.
Dựa vào đồ thị suy ra PT có 4 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow -4<m<-3.$
Câu 35: Đáp án B
${log _a}b > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a;b > 1\
0 < a;b < 1
end{array} right..$
Câu 36: Đáp án C
TXĐ: $D=left[ -infty ;1 right)cup left[ 5;+infty right)$ Ta có: $y’=frac{2x-6}{2sqrt{{{x}^{2}}-6x+5}}>0Rightarrow x>3.$
Kết hợp với TXĐ suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $left( 5;+infty right)$
Câu 37: Đáp án A
Ta có: $underset{xto infty }{mathop{lim ,}},y=-2Rightarrow y=-2.$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 38: Đáp án B
Do mặt bên ABB’A’ là hình thoi nên $text{AA}’=a$
Khi đó $A’AC$ là tam giác đều
Do đó $A’C=a.$ Xét hình chóp A’B’C’C có $A’B=A’C=A’C=a$
Do hình chiếu của A’xuống mặt đáy $left( B’C’C right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B’C’C.
Ta có: $ctext{os},widehat{B’C’C}=frac{B’C{{‘}^{2}}+CC{{‘}^{2}}-B'{{C}^{2}}}{2.B’C’.CC’}=frac{5}{8}Rightarrow sin widehat{B’C’C}=frac{sqrt{39}}{8}$
${{S}_{B’C’C}}=frac{1}{2}C’B’.C’Csin C’=frac{{{a}^{2}}sqrt{39}}{16};{{R}_{B’C’C}}=frac{B’C}{2sin C’}=frac{2a}{sqrt{13}}$
Do đó $h=sqrt{A’C{{‘}^{2}}-{{R}^{2}}}=frac{3a}{sqrt{13}}Rightarrow {{V}_{A’B’C’C}}=frac{1}{3}h.{{S}_{d}}=frac{sqrt{3}}{16}$
Khi đó ${{V}_{ABC.A’B’C’}}=3{{V}_{A’B’C’C}}=frac{3{{a}^{2}}sqrt{3}}{16}.$
Câu 39: Đáp án D
Ta có: $y’=1+2{{e}^{2x}}>0left( forall xin left[ 0;1 right] right)$ nên hàm số đã cho đồng biến trên đoạn $left[ 0;1 right]$ Do đó $underset{left[ 0;1 right]}{mathop{Mtext{ax}}},y=yleft( 1 right)=1+{{e}^{2}}.$
Câu 40: Đáp án D
Ta có: $widehat{SCH}={{45}^{circ }};HC=sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=asqrt{2}$
Do đó $SH=HC=asqrt{2}Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=frac{2{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}.$
Câu 41: Đáp án A
Câu 42: Đáp án C
Ta có $y’=-3{{x}^{2}}+6x-m;forall xin mathbb{R}$
Hàm số đã cho nghịch biến trên $mathbb{R}Leftrightarrow y’le 0;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+6x-mle 0;forall xin mathbb{R}$
$Leftrightarrow -mle 3{{x}^{2}}-6x,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow -mle underset{mathbb{R}}{mathop{min }},left{ 3{{x}^{2}}-6x right}Leftrightarrow -mle -3Leftrightarrow mge 3.$
Câu 43: Đáp án C
Thể tích khối trụ mới là $V={{2}^{2}}.24pi =96pi .$
Câu 44: Đáp án B
Theo giả thiết , ta có bán kính đáy $R=frac{3a}{2};$ chiều cao $h=3a.$
Vậy diện tích toàn phần cần tính là ${{S}_{tp}}=2pi Rh+2pi {{R}^{2}}=frac{27pi {{a}^{2}}}{2}$
Câu 45: Đáp án D
Tam giác SAB vuông tại A $Rightarrow SA=sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=asqrt{2}$
Thể tích khối chóp S.ABCD là $V=frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=frac{1}{3}.asqrt{2}.{{a}^{2}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}.$
Câu 46: Đáp án A
Với $a>1,$ ta có ${{a}^{-sqrt{3}}}>{{a}^{-sqrt{5}}}Leftrightarrow {{a}^{-sqrt{3}}}>frac{1}{{{a}^{sqrt{5}}}}.$
Câu 47: Đáp án B
Xét hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với $AB=a;A,A’=b.$
Mặt cầu (S) đi qua các đỉnh của hình lăng trụ chính là mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A’.ABC.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ${{R}_{Delta ABC}}=frac{asqrt{3}}{3}.$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A’.ABC là $R=sqrt{{{R}^{2}}_{Delta ABC}+frac{A,A{{‘}^{2}}}{4}}=sqrt{{{left( frac{a3}{3} right)}^{2}}+frac{{{b}^{2}}}{4}}=frac{sqrt{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}}{2sqrt{3}}$
Vậy thể tích khối cầu cần tính là $V=frac{4}{3}pi {{R}^{3}}=frac{pi }{18sqrt{3}}sqrt{{{left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} right)}^{3}}}.$
Câu 48: Đáp án A
Hàm số cần tìm là $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3.$
Câu 49: Đáp án C
Gọi H là trung điểm của $ACRightarrow SHbot left( ABC right).$ Suy ra $widehat{SB;left( ABC right)}=widehat{left( SB;HB right)}=widehat{SHB}={{45}^{circ }}Rightarrow SH=BH.$
Tam giác ABC vuông cân tại $BRightarrow AC=asqrt{2}Rightarrow BH=frac{asqrt{2}}{2}.$
Thể tích khối chóp S.ABC là $V=frac{1}{3}SH.{{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{3}.frac{asqrt{2}}{2}.frac{{{a}^{2}}}{2}=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}$
Câu 50: Đáp án A
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi ${x^2} – 3x + 2 ne 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne 1\
x ne 2
end{array} right..$ Vậy $D=mathbb{R}backslash left{ 1;2 right}.$
