Câu 30: Đáp án C.
PT $Leftrightarrow left( 2cos +1 right)left( cos x+2 right)=0Leftrightarrow cos x=-frac{1}{2}Leftrightarrow x=pm frac{2pi }{3}+k2pi left( kin mathbb{Z} right).$
$x in left( {0;3pi } right) Rightarrow left[ begin{array}{l}
0 < frac{{2pi }}{3} + k2pi < 3pi \
0 < – frac{{2pi }}{3} + k2pi < 3pi
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
– frac{1}{3} < k < frac{7}{6} Rightarrow k in left{ {0;1} right}\
frac{1}{3} < k < frac{{11}}{6} Rightarrow k = 1
end{array} right..$
Câu 31: Đáp án B.
Dễ thấy ${{u}_{n}}$ phải là cấp số cộng:
Ta có: ${{S}_{n}}=frac{{{u}_{1}}+{{u}_{n}}}{2}.nLeftrightarrow frac{nleft[ 2{{a}_{1}}+left( n-1 right)d right]}{2}=2{{n}^{2}}+3nLeftrightarrow nleft( nd+2{{a}_{1}}-d right)=nleft( 4n+6 right)$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
d = 4\
2{a_1} – d = 6
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
d = 4\
{a_1} = 5
end{array} right..$
Câu 32: Đáp án B.
BPT $ Leftrightarrow {3^{ – sqrt {x + 2} }} > {3^{ – x}} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge – 2\
– sqrt {x + 2} > – x
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge – 2\
x > sqrt {x + 2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 0\
{x^2} – x – 2 > 0
end{array} right. Leftrightarrow x > 2.$
Câu 33: Đáp án A.
Dựng $BHbot ACRightarrow BHbot left( SAC right)$
Khi đó: $widehat{left( SB;left( SAC right) right)}=widehat{BSH}$
Ta có: $BH=ABsin {{60}^{0}}=asqrt{3},SB=sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=asqrt{6}$
Suy ra $sin widehat{BSH}=frac{BH}{SB}=frac{1}{sqrt{2}}Rightarrow widehat{BSH}={{45}^{0}}.$
Câu 34: Đáp án A.
Do góc ở đỉnh của hình nón là $varphi ={{120}^{0}}.$ Gọi l là độ dài đường sinh ta có: $l=frac{2R}{sqrt{3}}=2sqrt{3}=SA$
Diện tích của tam giác SAB bằng $S=frac{sqrt{3}}{4}S{{A}^{2}}=3sqrt{3}.$
Câu 35: Đáp án D.
Ta có: $cos2x=cosfrac{2pi }{3}Leftrightarrow 2x=pm frac{2pi }{3}+k2pi Leftrightarrow x=pm frac{pi }{3}+kpi $
Do $x in left( {0;2pi } right) Rightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{3}\
x = frac{{2pi }}{3}
end{array} right.$ tam giác ABC cân nên đáp án cần tìm là D.
Câu 36: Đáp án B.
Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A. Khi đó AB,AC,AD đôi một vuông góc
Do đó $frac{1}{{{d}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{C}^{2}}}+frac{1}{A{{D}^{2}}}=frac{49}{144}Rightarrow d=frac{12}{7}.$
Câu 37: Đáp án A.
Ta có: $overrightarrow{SN}.overrightarrow{CM}=left( overrightarrow{SC}+overrightarrow{CN} right)frac{1}{2}left( overrightarrow{CA}+overrightarrow{CB} right)$
$=frac{1}{2}left( overrightarrow{SC}+frac{1}{2}overrightarrow{CB} right)left( overrightarrow{CA}+overrightarrow{CB} right)=frac{1}{4}overrightarrow{CB}left( overrightarrow{CA}+overrightarrow{CB} right)$ $=frac{1}{4}overrightarrow{CB}.overrightarrow{CA}+frac{1}{4}C{{B}^{2}}$$=frac{1}{4}C{{B}^{2}}cos{{60}^{0}}+frac{1}{4}C{{B}^{2}}$ $=12$ $=SN.CMcosleft( overrightarrow{SN};overrightarrow{CM} right)$
Do $SN=sqrt{S{{C}^{2}}+C{{N}^{2}}}=2sqrt{3};$ $CM=2sqrt{6}Rightarrow cosleft( overrightarrow{SN};overrightarrow{CM} right)=frac{sqrt{2}}{2}$
Do đó $widehat{left( SN;CM right)}={{45}^{0}}.$
Cách 2: Dựng NI//AM. Tính góc $widehat{SNI}.$
Câu 38: Đáp án A.
Để lượng gỗ cần đẽo ít nhất thì hình tròn đáy hình trụ phải có diện tích lớn nhất, điều này xảy ra khi đường tròn này tiếp xúc với cạnh của hình vuông đáy là hình hộp $Rightarrow R=frac{a}{2}.$
Diện tích đáy hình trụ: ${{S}_{1}}=pi {{R}^{2}}.$ Diện tích đáy hình hộp: ${{S}_{2}}={{a}^{2}}=4{{R}^{2}}.$
Chiều cao bằng nhau nên tỉ lệ thể tích: $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=frac{pi }{4}.$
Tỉ lệ thể tích cần đẽo ít nhất: $1-frac{pi }{4}approx 21%.$
Câu 39: Đáp án D.
Gọi I là điểm thỏa mãn $overrightarrow{IA}+overrightarrow{IB}-overrightarrow{IC}=overrightarrow{0}Leftrightarrow overrightarrow{IA}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{0}Leftrightarrow overrightarrow{IA}=overrightarrow{BC}=left( 0;-3;3 right)Rightarrow Ileft( -3;3;3 right)$
Ta có: $left| overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC} right|=left| overrightarrow{MI}+overrightarrow{IA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{IB}-overrightarrow{MI}-overrightarrow{IC} right|=left| overrightarrow{MI} right|=M{{I}_{min }}Leftrightarrow $ M là hình chiếu của I trên $left( P right):x+y+z-3=0,$ dễ thấy $Iin left( P right)Rightarrow M=Ileft( -3;3;3 right).$
Câu 40: Đáp án A.
Bán kính đáy đường tròn ngoại tiếp đáy $r=frac{BC}{2}=frac{asqrt{2}}{2}$
Áp dụng công thức tính nhanh ta có: $R=sqrt{{{r}^{2}}+{{left( frac{AA’}{2} right)}^{2}}}=aRightarrow V=frac{4}{3}pi {{R}^{3}}=frac{4}{3}pi {{a}^{3}}$
Câu 41: Đáp án D.
Điều kiện: $D=left[ 0;+infty right).$
Ta có $24+2x-2sqrt{{{x}^{2}}+24x}={{left( sqrt{x+24}-sqrt{x} right)}^{2}};24+2x+2sqrt{{{x}^{2}}+24x}={{left( sqrt{x+24}+sqrt{x} right)}^{2}}$
Khi đó, bất phương trình trở thành: $frac{sqrt{x+24}+sqrt{x}}{sqrt{x+24}-sqrt{x}}<frac{27}{8}.frac{{{left( sqrt{x+24}-sqrt{x} right)}^{2}}}{{{left( sqrt{x+24}+sqrt{x} right)}^{2}}}$
$ Leftrightarrow 2left( {sqrt {x + 24} + sqrt x } right) < 3left( {sqrt {x + 24} – sqrt x } right) Leftrightarrow 5sqrt x < sqrt {x + 24} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 0\
25x < x + 24
end{array} right. Leftrightarrow 0 le x < 1.$
Câu 42: Đáp án C.
Dễ thấy $4.0-2.1-2+4=0,suy,ra,Ain left( P right):4x-2y-z+4=0.$
Câu 43: Đáp án B.
Đồ thị hàm số $y=frac{2x+1}{x+1}$ có tâm đối xứng là $Ileft( -1;2 right)Rightarrow OI=sqrt{{{left( -1 right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=sqrt{5}.$
Câu 44: Đáp án C.
Vì $OA=1,,OB=2,,OC=3$ và đôi một vuông góc $Rightarrow R=frac{sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=frac{sqrt{14}}{2}.$
Câu 45: Đáp án A.
Ta có: $overrightarrow{OA}=left( 0;0;-2 right),,overrightarrow{OB}=left( 4;0;0 right)$ suy ra $overrightarrow{OA}.overrightarrow{OB}=0Rightarrow ,Delta OAB$ vuông tại O.
Do đo, mặt cầu (S) có bán kính ${{R}_{min }}$ và đi qua O, A, B có tâm là trung điểm của AB.
Vậy tọa độ tâm mặt cầu là $Ileft( 2;0;-1 right).$
Câu 46: Đáp án B.
Ta có $frac{{{V}_{S.MNC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=frac{SM}{SA}.frac{SN}{SB}=frac{1}{2}.frac{1}{2}=frac{1}{4},$ và $frac{{{V}_{S.MCD}}}{{{V}_{S.ACD}}}=frac{SM}{SA}=frac{1}{2}.$
Khi đó ${{V}_{S.MNC}}=frac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}}$ và ${{V}_{S.MCD}}=frac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}Rightarrow {{V}_{S.MNCD}}=frac{3}{8}{{V}_{S.ABCD}}$
Vậy tỉ số $frac{{{V}_{S.MNCD}}}{{{V}_{MNABCD}}}=frac{{{V}_{S.MNCD}}}{{{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.MNCD}}}=frac{3}{8}:left( 1-frac{3}{8} right)=frac{3}{5}.$
Câu 47: Đáp án A.
Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông cân $Rightarrow C’left( 0;2;2 right).$
Ta có $overrightarrow{BC’}=left( -2;2;2 right)$ và $overrightarrow{A’C’}=left( 0;2;-2 right)Rightarrow overrightarrow{BC’}.overrightarrow{A’C}=0Rightarrow BC’bot A’C.$
Câu 48: Đáp án C.
Giả sử ${{x}_{0}}$ là nghiệm của phương trình (*) $Rightarrow -{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của phương trình (*)
Khi đó ${{x}_{0}}=-{{x}_{0}}Leftrightarrow 2{{x}_{0}}=0Leftrightarrow {{x}_{0}}=0$ (loại) suy ra không tồn tại giá trị nào của a.
Câu 49: Đáp án D.
Ta có $y’=3{{x}^{2}}-2;,y’=0Leftrightarrow x=pm frac{sqrt{6}}{3}.$ Suy ra $Aleft( frac{sqrt{6}}{3};frac{9-4sqrt{6}}{6} right);Bleft( -frac{sqrt{6}}{3};frac{9+4sqrt{6}}{9} right)$
Với A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Vậy $AB=frac{10sqrt{6}}{9}.$
Câu 50: Đáp án D.
Chọn 2 cây trong 6 cây xoài có $C_{6}^{2}=15$ cách.
Chọn 2 cây trong 4 cây mít có $C_{4}^{2}=6$ cách.
Chọn 2 cây trong 2 cây xoài có $C_{2}^{2}=1$ cách.
Suy ra có tất cả $15.6.1=90$ cách chọn 6 cây trồng.
Vậy xác suất cần tính là $P=frac{90}{C_{12}^{6}}=frac{15}{154}.$
