Lời giải: Đề thi thử THPTQG môn Toán chuyên KHTN năm 2017-2018 trang 1

Đáp án

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án D

Câu 2: Đáp án A

$int{fleft( x right)dx}=int{left( 2x+sin 2x right)dx}={{x}^{2}}-frac{1}{2}cos2x+C$

Câu 3: Đáp án B

$AB=sqrt{{{left( 2-1 right)}^{2}}+{{left( 1+1 right)}^{2}}+{{left( 1-2 right)}^{2}}}=sqrt{6}$

Câu 4: Đáp án

Ta có $left{ begin{align}

  & {{u}_{4}}={{u}_{1}}+3d=7 \

 & {{u}_{2}}={{u}_{1}}+d=3 \

end{align} right.Leftrightarrow left{ begin{align}

  & d=2 \

 & {{u}_{1}}=1 \

end{align} right.Rightarrow {{u}_{15}}={{u}_{1}}+14d=29$

Câu 5: Đáp án B

$underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{sqrt{x+2}-2}{x-2}=underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{left( sqrt{x+2}-2 right)left( sqrt{x+2}+2 right)}{left( x-2 right)left( sqrt{x+2}+2 right)}=underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{1}{sqrt{x+2}+2}=frac{1}{4}$

Câu 6: Đáp án D

Ta có $z=2-i+2i-{{i}^{2}}=3+iRightarrow $ số phức z biểu diễn $Qleft( 3;1 right)$

Câu 7: Đáp án B

Bất phương trình đã cho $Leftrightarrow 0<x-1<{{2}^{3}}Leftrightarrow 1<x<9$

Câu 8: Đáp án C

Bán kính đáy khối nón là $sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3.$

Thể tích khôi nón là $V=frac{1}{3}pi {{3}^{2}}.4=12pi $

Câu 9: Đáp án A

$f’left( x right)=3{{x}^{2}}+2Rightarrow f”left( x right)=6xRightarrow f”left( 1 right)=6$

Câu 10: Đáp án A

Ta có

$begin{array}{l}
{V_{A’.BCO}} = frac{1}{3}dleft( {A’;left( {BCO} right)} right).{S_{BCO}}\
 = frac{1}{3}dleft( {A’;left( {ABCD} right)} right).frac{1}{4}{S_{ABCD}} = frac{1}{{12}}.12 = 1
end{array}$

Câu 11: Đáp án B

${{log }_{a}}left( {{a}^{2}}b right)={{log }_{a}}{{a}^{2}}+{{log }_{a}}b=2+{{log }_{a}}b$

Câu 12: Đáp án C

$intlimits_{0}^{2}{frac{2}{2x+1}}dx=intlimits_{0}^{2}{frac{2}{2x+1}}dleft( 2x+1 right)=ln left| 2x+1 right|mathop{|}_{0}^{2}=ln 5$

Câu 13: Đáp án C

Câu 14: Đáp án D

Ta có $y’=3{{x}^{2}}-3xRightarrow y'<0Leftrightarrow -1<x<1$

Suy ra hàm số nghich biến trên khoảng $left( -1;1 right)$

Câu 15: Đáp án B

Câu 16: Đáp án A

Đặt $t = sqrt {x + 1}  Rightarrow {t^2} = x + 1 Rightarrow 2tdt = dx;left{ begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow t = 1\
x = 3 Rightarrow t = 2
end{array} right. Rightarrow I = intlimits_1^2 {frac{{{t^2} – 1}}{{4 + 2t}}2tdt}  = intlimits_1^2 {frac{{{t^3} – t}}{{t + 2}}dt} $ 

$intlimits_1^2 {left( {{t^2} – 2t + 3 – frac{6}{{t + 2}}} right)dt = } left. {left( {frac{{{t^3}}}{3} – {t^2} + 3t – 6ln left| {x + 2} right|} right)} right|_1^2 = frac{7}{3} – 12ln 2 + 6ln 3 Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 7\
b =  – 12\
c = 6
end{array} right. Rightarrow a + b + c = 1$

 Câu 17: Đáp án C

Ta có $y’ = 3{x^2} – 4x – 4 Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
x =  – frac{2}{3}
end{array} right.$ 

Suy ra $yleft( 1 right)=0,yleft( 2 right)=-3,yleft( 3 right)=2Rightarrow underset{left[ 1;3 right]}{mathop{max }},y=2$

Câu 18: Đáp án C

Gọi $Aleft( x;y right),Bleft( -x;y right),Cleft( x-y;x+y right)$ là các điểm biểu diễn 3 số phức theo đề bài

Ta có

 $begin{array}{l}
AB = sqrt {{{left( {x + y} right)}^2} + {{left( {x – y} right)}^2}} \
AC = sqrt {{y^2} + {x^2}} \
BC = sqrt {{x^2} + {y^2}} \
 Rightarrow A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}
end{array}$ 

Suy ra tam giác ABC vuông tại $CRightarrow {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}.AC.BC=frac{1}{2}left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)=18Rightarrow sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=6=left| z right|$

Câu 19: Đáp án B

Câu 20: Đáp án B

Lấy điểm $Aleft( 0;0;-3 right)in left( P right)Rightarrow dleft( left( P right);left( Q right) right)=dleft( A;left( Q right) right)=frac{left| 0+2.0-2.left( -3 right)+3 right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{left( -2 right)}^{2}}}}=3$

Câu 21: Đáp án D

Vì $left{ begin{array}{l}
BD bot AC\
BD bot SA
end{array} right. Rightarrow BD bot left( {SAC} right) Rightarrow BD bot SC$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên $SCRightarrow IH$ là đoạn vuông góc chung của SC và BD

Ta có $AC=sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=asqrt{2},IC=frac{asqrt{2}}{2},SC=sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=asqrt{3}$

Xét 2 tam giác vuông đồng dạng CIH và CSA, ta có

$frac{CI}{CS}=frac{IH}{SA}Leftrightarrow frac{frac{asqrt{2}}{2}}{asqrt{3}}=frac{IH}{a}Rightarrow IH=frac{asqrt{6}}{6}$

Câu 22: Đáp án D

Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x\
dv = cos2xdx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = dx\
v = frac{1}{2}sin 2x
end{array} right.$

$Rightarrow int{left( xcos 2x right)dx}=frac{1}{2}frac{xsin 2x}{2}-frac{1}{2}int{sin 2xdx}=frac{xsin 2x}{2}+frac{cos2x}{4}+C$

Câu 23: Đáp án A

Đặt $z=x+yi;x,yin mathbb{R}Rightarrow left| x-yi+2-i right|=4Leftrightarrow left| left( x+2 right)-left( y+1 right)i right|=4$

$Leftrightarrow {{left( x+2 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}=16$

Tập hợp tất cả các điểm biễu diễn các số phức z thỏa mãn $left| overline{z}+2-i right|=4$ là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là $Ileft( -2;-1 right),R=4$

Câu 24: Đáp án C

Ta có $y’=3{{x}^{2}}-2mx-m+6$

Hàm số đồng biến trên $left( 0;4 right)Leftrightarrow y’>0,forall xin left( 0;4 right)$

$Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2mx-m+6ge 0Leftrightarrow mle frac{3{{x}^{2}}+6}{2x+1},forall xin left( 0;4 right)left( 1 right)$

Xét hàm số $fleft( x right) = frac{{3{x^2} + 6}}{{2x + 1}},forall x in left( {0;4} right) Rightarrow f’left( x right) = frac{{6left( {{x^2} + x – 2} right)}}{{{{left( {2x + 1} right)}^2}}} Rightarrow f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = 2
end{array} right.$ 

Ta có bảng biến thiên như sau

Từ bảng biến thiên ta thấy $underset{left( 0;4 right)}{mathop{fleft( x right)}},ge 3Rightarrow left( 1 right)Leftrightarrow mle 3Leftrightarrow min left( -infty ;3 right]$

Câu 25: Đáp án D

Chon 3 số bất kì có $C_{10}^{3}=120$ cách

TH1: 3 số chọn ra là 3 số tự nhiên liên tiếp có 8 cách

TH2: 3 số chọn ra là 2 số tự nhiên liên tiếp

+) 3 số chọn ra có cặp $left( 1;2 right)$ hoặc $left( 9;10 right)$ có $2.7=14$ cách

+) 3 số chọn ra có cặp $left{ left( 2;3 right),left( 3;4 right)…left( 8;9 right) right}$ có $6.6=36$ cách

Vậy xác suất cần tìm là $frac{120-8-14-36}{120}=frac{7}{15}$ 

Câu 26: Đáp án

Đặt $t={{2}^{x}}Rightarrow PTLeftrightarrow {{t}^{2}}-2m.t+2{{m}^{2}}-5=0left( 1 right)$

Phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow left( 1 right)$ có 2 nghiệm dương phân biệt

Suy ra $left{ begin{array}{l}
Delta ‘ > 0\
{t_1} + {t_2} > 0\
{t_1}{t_2} > 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 2{m^2} + 5 > 0\
2m > 0\
2{m^2} – 5 > 0
end{array} right.$ 

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
 – sqrt 5  < m < sqrt 5 ,m > 0\
left[ begin{array}{l}
m > frac{{sqrt {10} }}{2}\
m <  – frac{{sqrt {10} }}{2}
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow frac{{sqrt {10} }}{2} < m < sqrt 5  Leftrightarrow 1,58 < m < 2,14$

Câu 27: Đáp án B

Ta có $u = sqrt {1 + 3ln x}  Rightarrow {u^2} = 1 + 3ln x Rightarrow 2udu = frac{3}{x}dx,left{ begin{array}{l}
x = 1 Rightarrow u = 1\
x = e Rightarrow u = 2
end{array} right.$

Suy ra $intlimits_{1}^{e}{frac{ln x}{xsqrt{1+3ln x}}dx}=intlimits_{1}^{e}{frac{frac{{{u}^{2}}-1}{3}}{u}frac{2}{3}udu}=frac{2}{9}intlimits_{1}^{2}{left( {{u}^{2}}-1 right)du}$

Câu 28: Đáp án D

Vì ${{5}^{2}}={{3}^{2}}+{{2}^{2}}$ nên tam giác ABC vuông tại A , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $r=frac{BC}{2}=frac{5}{2}$

Bán kính khối cầu (S) là $R=sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{5}{2} right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=frac{sqrt{29}}{2}$

Thể tích khối cầu $V=frac{4}{3}pi {{R}^{3}}=frac{4}{3}pi {{left( frac{sqrt{29}}{2} right)}^{3}}=frac{29sqrt{29}pi }{6}$

Câu 29: Đáp án B

TXD: $D=left[ 1;+infty  right)$

$underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{x+sqrt{x-1}}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}=1Rightarrow $ hàm số có TCN $y=1$

Câu 30: Đáp án A

phương trình $fleft( x right)+m=0$ có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow -1<-m<2Leftrightarrow -2<m<1$

Câu 31: Đáp án D

Do A và B là 2 biến cố độc lập với nhau nên $Pleft( A.B right)=Pleft( A right).Pleft( B right)=0,12$

Câu 32: Đáp án A

Ta có $dleft( AM;B’N right)=dleft( ABC;A’B’C’ right)=AA’=2a$

Câu 33: Đáp án B

Đặt $widehat{text{CEF}}=varphi Rightarrow widehat{text{AED}}=90{}^circ -varphi $

KHI ĐO $AE=frac{DE}{cosleft( 90{}^circ -varphi  right)};EC=frac{EF}{cosvarphi }$

Do đó

 $AC=frac{2}{sin varphi }+frac{2}{cosvarphi }ge frac{8}{sin varphi +cosvarphi }ge frac{8}{sqrt{2}sin left( varphi +frac{pi }{4} right)}ge 4sqrt{2}$

Câu 34: Đáp án B

Dựng  $left{ begin{array}{l}
AE bot BC\
BC bot SA
end{array} right. Rightarrow BC bot left( {SEA} right)$

Do đo góc giữa 2 mặt phẳng $left( SBC right)$ và $left( ABC right)$ bằng $widehat{SEA}$

Ta có $AE=frac{BC}{2}=a;SA=aRightarrow widehat{SEA}=45{}^circ $
Câu 35: Đáp án D

$f’left( x right)=3{{x}^{2}}-6x=0Leftrightarrow x=2Rightarrow $với $xin left[ 1;3 right]$

$fleft( 1 right)=m-2;fleft( 2 right)=m-4;fleft( 3 right)=mRightarrow underset{left[ 1;3 right]}{mathop{min }},fleft( x right)=m-4$

Để với mọi bộ ba số phân biệt $a,b,cin left[ 1;3 right]$ thì $fleft( a right),fleft( b right),fleft( c right)$ là ba cạnh của một tam giác thì  $left{ begin{array}{l}
10 > m > 4\
fleft( a right) + fleft( b right) + fleft( c right)left( {forall a,b,c in left[ {1;3} right]} right)
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
10 > m > 4\
2left( {m – 4} right) ge m
end{array} right. Leftrightarrow 10 > m ge 8 Rightarrow m = left{ {8;9} right}$

Câu 36: Đáp án A

Ta có $y’=4{{x}^{3}}+4xRightarrow y’left( 1 right)=-8,y’left( -1 right)=2$

PTTT:$y=-8left( x+1 right)+2=-8x-6$

Câu 37: Đáp án B

Xét khai triển ${{left( x-1 right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}-C_{n}^{1}{{c}^{n-1}}+C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}-…+{{left( -1 right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{0}}$

Chọn $x=3Rightarrow $ ${{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-…+{{left( -1 right)}^{n}}C_{n}^{n}=2048Rightarrow n=11$

Hệ số của ${{x}^{10}}$ trong khai triển ${{left( x+2 right)}^{n}}$ là $C_{11}^{10}.2=22$

Câu 38: Đáp án C

Đặt $t={{2}^{x}}>0Rightarrow {{t}^{2}}-2m-3=0$

Điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt là $left{ begin{array}{l}
Delta ‘ = {m^2} – 3m + 3 > 0\
S = 2m > 0\
P = 3m – 3 > 0
end{array} right. Leftrightarrow m > 1$ 

Khi đó $left{ begin{array}{l}
{2^{{x_1}}} = {t_1}\
{2^{{x_2}}} = {t_2}
end{array} right. Rightarrow {x_1} = {log _2}{t_1};{x_2} = {log _2}{t_2}$ 

Để ${{x}_{1}}{{x}_{2}}<0Rightarrow 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}Rightarrow left( {{t}_{1}}-1 right)left( {{t}_{2}}-1 right)<0Leftrightarrow {{t}_{1}}{{t}_{2}}-{{t}_{1}}-{{t}_{2}}<0$

$Leftrightarrow 3m-3-2m+1=m-2<0Leftrightarrow m<2$

Vậy $min left( 1;2 right)$

Câu 39: Đáp án D

Gọi

$begin{array}{l}
Aleft( { – 1 + 2t; – 1 + t; – 1 + 3t} right) in {d_1}\
Bleft( {2 + u;2u;3 + 3u} right)
end{array}$ 

Khi đó $overrightarrow{AB}=left( 3+u-2t;2u-t;4+3u-3t right)$

Ta có $left{ begin{array}{l}
overrightarrow {AB} .overrightarrow {{u_1}}  = 0\
overrightarrow {AB} .overrightarrow {{u_2}}  = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2left( {3 + u – 2t} right) + 1 + 2u – t + 3left( {4 + 3u – 3t} right) = 0\
1left( {3 + u – 2t} right) + 2left( {1 + 2u – t} right) + 3left( {4 + 3u – 3t} right) = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
u = frac{1}{3}\
t = frac{5}{3}
end{array} right.$ 

Suy ra $Aleft( frac{7}{3};frac{2}{3};4 right),Bleft( frac{7}{3};frac{2}{3};4 right)Rightarrow {{d}_{1}}$ cắt ${{d}_{2}}$tại điểm $left( frac{7}{3};frac{2}{3};4 right)$do đó không tồn tại mặt cầu thỏa mãn

Câu 40: Đáp án B

Gọi $Aleft( -1+2t;-1+t;2-t right)in {{d}_{1}};Bleft( 1-u;2+u;3+3u right)in {{d}_{2}}$

$Rightarrow left( Delta  right):frac{x-1}{1}=frac{y}{1}=frac{z-1}{-1}$