|
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
|
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG NĂM HỌC 2018-2019 NGÀY THI: 07/6/2018 MÔN THI: TOÁN (Bản hướng dẫn chấm có 05 trang)
|
|
Câu |
Hướng dẫn giải |
Điểm |
|
Câu I |
|
(5.0 đ) |
|
Phần 1.a (2,0 điểm) |
+ Biến đổi $dfrac{{x + 4sqrt x + 4}}{{x + sqrt x – 2}} + dfrac{{x + sqrt x }}{{1 – x}} = dfrac{{{{left( {sqrt x + 2} right)}^2}}}{{left( {sqrt x – 1} right)left( {sqrt x + 2} right)}} – dfrac{{sqrt x left( {sqrt x + 1} right)}}{{left( {sqrt x – 1} right)left( {sqrt x + 1} right)}}$ = $dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-1}-dfrac{sqrt{x}}{sqrt{x}-1}=dfrac{2}{sqrt{x}-1}$ |
0.5 |
|
+ Biến đổi $dfrac{1}{sqrt{x}+1}-dfrac{1}{1-sqrt{x}}=dfrac{2sqrt{x}}{left( sqrt{x}+1 right)left( sqrt{x}-1 right)}$ |
0.5 |
|
|
+ Ta có $A=dfrac{2}{sqrt{x}-1}:dfrac{2sqrt{x}}{left( sqrt{x}+1 right)left( sqrt{x}-1 right)}=dfrac{2}{sqrt{x}-1}.dfrac{left( sqrt{x}+1 right)left( sqrt{x}-1 right)}{2sqrt{x}}$ |
0.5
|
|
|
+ Vậy $A=dfrac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}}$, với điều kiện $x>0,,,xne 1$. |
0,5 |
|
|
Phần 1.b (1,0 điểm) |
$Age dfrac{1+sqrt{2018}}{sqrt{2018}}Leftrightarrow 1+dfrac{1}{sqrt{x}}ge 1+dfrac{1}{sqrt{2018}}Leftrightarrow dfrac{1}{sqrt{x}}ge dfrac{1}{sqrt{2018}}$ |
0.5 |
|
$sqrt{x}le sqrt{2018}Rightarrow 0<xle 2018$ |
0.25 |
|
|
Vì $x>0,,,xne 1$ và $x$ nguyên nên $xin left{ 2;3;4;…;2018 right}$. Suy ra có 2017 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bài toán. |
0.25 |
|
|
Phần 2 (2,0 điểm) |
Phương trình ${{x}^{2}}-left( m+1 right)x-3=0$ (1) + Nhận xét $Delta ={{left( m+1 right)}^{2}}+12>0,,,forall min mathbb{R}$. Suy ra (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ + Theo hệ thức Viet ta có: $left{ begin{array}{l} |
0.25 |
|
Ta có $B = dfrac{{3x_1^2 + 3x_2^2 + 4{x_1} + 4{x_2} – 5}}{{x_1^2 + x_2^2 – 4}} = frac{{3left( {x_1^2 + x_2^2} right) + 4left( {{x_1} + {x_2}} right) – 5}}{{x_1^2 + x_2^2 – 4}}$ $ = dfrac{{3left[ {{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} – 2{x_1}{x_2}} right] + 4left( {{x_1} + {x_2}} right) – 5}}{{{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} – 2{x_1}{x_2} – 4}} = dfrac{{3left[ {{{left( {m + 1} right)}^2} + 6} right] + 4left( {m + 1} right) – 5}}{{{{left( {m + 1} right)}^2} + 6 – 4}}$ $ = frac{{3{m^2} + 10m + 20}}{{{m^2} + 2m + 3}}$ |
0.5 |
|
|
$ Leftrightarrow left( {B – 3} right){m^2} + 2left( {B – 5} right)m + 3B – 20 = 0$ (*) + Nếu $B = 3$ thì $m = – dfrac{{11}}{4}.$ + Nếu $B ne 3$ thì (*) là phương trình bậc hai ẩn $m$. Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi $Delta ‘ ge 0$ |
0.5 |
|
|
hay ${left( {B – 5} right)^2} – left( {B – 3} right)left( {3B – 20} right) ge 0 Leftrightarrow 2{B^2} – 19B + 35 le 0 Leftrightarrow frac{5}{2} le B le 7$ . |
0.25 |
|
|
Vậy giá trị lớn nhất của B bằng 7 khi $m = – frac{1}{2}.$ |
0.5 |
|
|
Câu II |
|
(5.0 đ) |
|
Phần 1 (2.5 điểm) |
+ Điều kiện $x + 3 ge 0 Leftrightarrow x ge – 3$ + Phương trình đã cho tương đương $left( {sqrt {x + 3} – 2} right) + left( {{x^2} + 4x – 5} right) = 0$ |
0,25 |
|
$Leftrightarrow frac{{x – 1}}{{sqrt {x + 3} + 2}} + left( {x – 1} right)left( {x + 5} right) = 0$ |
0.5 |
|
|
$ Leftrightarrow left( {x – 1} right)left[ {dfrac{1}{{sqrt {x + 3} + 2}} + left( {x + 5} right)} right] = 0$$Leftrightarrow left[ begin{array}{l} |
0.75 |
|
|
+) $x – 1 = 0 Leftrightarrow x = 1.$ +) $dfrac{1}{{sqrt {x + 3} + 2}} + left( {x + 5} right) = 0$ vô nghiệm vì $frac{1}{{sqrt {x + 3} + 2}} + left( {x + 5} right) > 0,,forall x ge – 3.$ |
0.75 |
|
|
+ So sánh điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là $left{ 1 right}$. |
0.25 |
|
|
Phần 2 (2.5 điểm) |
+ ) Điều kiện $x ge dfrac{6}{5},y le frac{{16}}{3}$ +)${x^2} – xy – x + 3y – 6 = 0 Leftrightarrow left( {x – 3} right)left( {x – y + 2} right) = 0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} |
0.75 |
|
+) Với $x = 3$ thay vào phương trình $sqrt {5x – 6} + sqrt {16 – 3y} = 2{x^2} – 2x + y – 4$, ta được $sqrt {16 – 3y} = y + 5 Leftrightarrow left{ begin{array}{l} |
0.75 |
|
|
+) $y=x+2$ thay vào phương trình $sqrt{5x-6}+sqrt{16-3y}=2{{x}^{2}}-2x+y-4$, ta được $sqrt{5x-6}+sqrt{10-3x}=2{{x}^{2}}-x-2Leftrightarrow left( sqrt{5x-6}-2 right)+left( sqrt{10-3x}-2 right)=2{{x}^{2}}-x-6$ $Leftrightarrow dfrac{5left( x-2 right)}{sqrt{5x-6}+2}-dfrac{3left( x-2 right)}{sqrt{10-3x}+2}-left( x-2 right)left( 2x+3 right)=0$ $Leftrightarrow left( x-2 right)left( dfrac{5}{sqrt{5x-6}+2}-dfrac{3}{sqrt{10-3x}+2}-2x-3 right)=0$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l} +) Với $x=2Rightarrow y=4$ (thỏa mãn) +) Vì $dfrac{6}{5}le xle dfrac{10}{3}Rightarrow sqrt{5x-6}+2ge 2Rightarrow dfrac{5}{sqrt{5x-6}+2}le dfrac{5}{2}Rightarrow dfrac{5}{sqrt{5x-6}+2}-3<0$ $dfrac{6}{5}le xle dfrac{10}{3}Rightarrow -dfrac{3}{sqrt{10-3x}+2}-2x<0$ Do đó phương trình $dfrac{5}{sqrt{5x-6}+2}-dfrac{3}{sqrt{10-3x}+2}-2x-3=0,$ vô nghiệm |
0.75 |
|
|
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là $left{ left( 2;4 right);left( 3;dfrac{-13+sqrt{133}}{2} right) right}$ |
0.25 |
|
|
Câu III |
|
(3.0đ) |
|
Phần 1 (1.5 điểm) |
Giả sử $2018+{{n}^{2}}$ là số chính phương thì $2018+{{n}^{2}}={{m}^{2}},,,left( min {{mathbb{N}}^{*}} right)$ Suy ra $2018={{m}^{2}},-{{n}^{2}},,Leftrightarrow 2018=left( m-n right)left( m+n right)$ |
0.5 |
|
Như vậy trong hai số $m-n$ và $m+n$ phải có ít nhất một số chẵn (1) Mà $left( m-n right)+left( m+n right)=2m$ nên suy ra hai số $m-n$ và $m+n$ cùng tính chẵn lẻ (2) |
0.5 |
|
|
Từ (1) và (2) suy ra hai số $m-n$ và $m+n$ là hai số chẵn $Rightarrow left( m-n right)left( m+n right)$ chia hết cho 4 Mà 2018 không chia hết cho 4 nên điều giả sử là sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên $n$ để $2018+{{n}^{2}}$ là số chính phương. |
0.5 |
|
|
Phần 2 (1.5 điểm) |
Có 10 đội bóng, mỗi đội thi đấu đúng 9 trận với 9 đội còn lại. Do đó số trận thua của mỗi đội từ đội thứ nhất đến đội thứ 10 lần lượt là : ${{y}_{1}}=9-{{x}_{1}},{{y}_{2}}=9-{{x}_{2}},…,{{y}_{10}}=9-{{x}_{10}}$.
|
0.5 |
|
Có tất cả số trận đấu là : $dfrac{10.9}{2}=45$ trận Vì không có trận hòa nên tổng số các trận thắng của 10 đội là: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{10}}=9+8+…+2+1=45$
|
0.5 |
|
|
Ta có : $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+…+y_{10}^{2}={{left( 9-{{x}_{1}} right)}^{2}}+{{left( 9-{{x}_{2}} right)}^{2}}+…+{{left( 9-{{x}_{10}} right)}^{2}}$ $Leftrightarrow y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+…+y_{10}^{2}={{10.9}^{2}}-18left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{10}} right)+left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+….+x_{10}^{2} right)$ $Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+…+x_{10}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+…+y_{10}^{2}$ ( đpcm) |
0.5 |
