Lời giải đề thi thử vào lớp 10 trường THCS Quang Trung lần 2 năm 2017-2018
Bài 1:
a) Tính giá trị của biểu thức $A = dfrac{{sqrt x – 1}}{{sqrt x + 1}}$ với $x = 3 – 2sqrt 2 $
$begin{array}{l}
x = 3 – 2sqrt 2 = {left( {sqrt 2 } right)^2} – 2sqrt 2 + {1^2} = {left( {sqrt 2 – 1} right)^2}\
Rightarrow sqrt x = sqrt {{{left( {sqrt 2 – 1} right)}^2}} = sqrt 2 – 1
end{array}$
ĐKXĐ: $x ge 0;begin{array}{*{20}{c}}
{}
end{array}x ne 25$
Thay $x={{left( sqrt{2}-1 right)}^{2}}$(TMĐK) vào biểu thức $A$ có:
Vậy $x=3-2sqrt{2}$ thì $A=1-sqrt{2}$
b) Rút gọn biểu thức
$begin{array}{l}
B = left( {dfrac{2}{{sqrt x + 5}} + dfrac{{sqrt x – 15}}{{25 – x}}} right):dfrac{{sqrt x + 1}}{{sqrt x – 5}}begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{DK:x ge 0;x ne 25}
end{array}\
B = left[ {dfrac{{2left( {sqrt x – 5} right)}}{{left( {sqrt x + 5} right)left( {sqrt x – 5} right)}} – dfrac{{sqrt x – 15}}{{left( {sqrt x + 5} right)left( {sqrt x – 5} right)}}} right].dfrac{{sqrt x – 5}}{{sqrt x + 1}}
end{array}$
$B = dfrac{{2left( {sqrt x – 5} right) – sqrt x + 15}}{{left( {sqrt x + 5} right)left( {sqrt x – 5} right)}}.dfrac{{sqrt x – 5}}{{sqrt x + 1}}$
$begin{array}{l}
B = dfrac{{2sqrt x – 10 – sqrt x + 15}}{{sqrt x + 5}}.dfrac{1}{{sqrt x + 1}}\
B = dfrac{{sqrt x + 5}}{{sqrt x + 5}}.dfrac{1}{{sqrt x + 1}}\
B = dfrac{1}{{sqrt x + 1}}
end{array}$
c) Với $P=A+B$. Tìm x để $P$ nhận giá trị nguyên
$P = A + B = dfrac{{sqrt x – 1}}{{sqrt x + 1}} + dfrac{1}{{sqrt x + 1}} = dfrac{{sqrt x }}{{sqrt x + 1}}$
Vì $xge 0Rightarrow sqrt{x}ge 0forall xin $ĐKXĐ $Rightarrow sqrt{x}+1>0forall xin $ĐKXĐ
$begin{array}{l}
Rightarrow P ge 0\
Rightarrow 0 le P < 1
end{array}$
$ Rightarrow P in Z Leftrightarrow dfrac{{sqrt x }}{{sqrt x + 1}} = 0$
$Rightarrow sqrt{x}=0$
$Leftrightarrow x=0$ (TMĐK)
Vậy x = 0 thì $A+Bin Z$
Bài 2:
Gọi năng suất dự kiến của người công nhân là $x$ (sản phẩm/giờ, $xin N*$)
Thời gian người công nhân hoàn thành công việc theo dự kiến là $dfrac{120}{x}$(giờ)
Số sản phẩm $2$ giờ đều người công nhân làm với năng suất dự kiến là: $2x$ (sản phẩm)
Số sản phẩm còn lại là $120-2x$ (sản phẩm)
Năng suất làm việc của người công nhân khi làm nốt số sản phẩm còn lại là: $x+3$ (sản phẩm/giờ)
Thời gian hoàn thành công việc còn lại là: $dfrac{120-2x}{x+3}$(giờ)
Thời gian hoàn thành công việc trước dự định $1$ giờ $36$ phút = $dfrac{8}{5}$ giờ nên ta có phương trình:
$dfrac{{120}}{x} – left( {2 + dfrac{{120 – 2x}}{{x + 3}}} right) = dfrac{8}{3}$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow dfrac{{120}}{x} – dfrac{{120 – 2x}}{{x + 3}} = dfrac{8}{3} + 2\
Leftrightarrow 120(x + 3) – (120 – 2x)x = dfrac{{18}}{5}(x + 3)x\
Leftrightarrow 600x + 1800 – 600x + 10{x^2} = 18{x^2} + 54x\
Leftrightarrow 8{x^2} + 54x – 1800 = 0\
Leftrightarrow 4{x^2} + 27x – 900 = 0\
Delta = {27^2} – 4( – 900).4 = 15129 > 0
end{array}$
Phương trình có hai nghiệm phương trình:
$ Rightarrow sqrt Delta = sqrt {15129} = 123$
${x_1} = dfrac{{ – 27 – 123}}{{2.4}} = dfrac{{ – 150}}{8} = dfrac{{ – 75}}{4}$(Loại)
${x_2} = dfrac{{ – 27 + 123}}{{2.4}} = dfrac{{96}}{8} = 12$(TMĐK)
Vậy năng suất dự định của người công nhân là 12 sản phẩm/giờ.
Bài 3:
a) $left{ begin{array}{l}
mx + y = 2begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{left( 1 right)}
end{array}\
4x + my = 4begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{left( 2 right)}
end{array}
end{array} right.$
Từ $left( 1 right) Rightarrow y = 2 – mxbegin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
end{array}left( 3 right)$
Thay (3) vào $left( 2 right) Rightarrow 4x + mleft( {2 – mx} right) = 4$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow 4x + 2m – {m^2}x = 4\
Leftrightarrow left( {4 – {m^2}} right)x = 4 – 2m
end{array}$
Khi $mne pm 2$ $Rightarrow $ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $left( x;y right)=left( dfrac{2}{m+2};dfrac{4}{m+2} right)$
$Rightarrow $ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $left( x,y right)$
Mà $x > 0,y > 0$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m > – 2\
m ne 2
end{array} right.$
b) Phương trình hoành độ của $left( d right)$ và $left( P right)$ là:
${{x}^{2}}-left( m-1 right)x-left( {{m}^{2}}+1 right)=0$
Ta có $Delta = {left( {{m^2} + 1} right)^2} + 4left( {{m^2} + 1} right) > 0begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
end{array}forall m$
$Rightarrow $ phương trình $left( 1 right)$ luôn có $2$nghiệm phân biệt
$Rightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-left( {{m}^{2}}+1 right)<0$
Theo Viet ta có: $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m – 1\
{x_1}.{x_2} = – {m^2} – 1
end{array} right.$
Theo đề bài $left| {{x_1}} right| + left| {{x_2}} right| = 2sqrt 2 $
$begin{array}{l}
Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 2{x_1}.{x_2} + 2left| {{x_1}.{x_2}} right| = 8\
Rightarrow {m_1} = 1;{m_2} = dfrac{{ – 3}}{5}
end{array}$
Bài 4:
a) Chứng minh tứ giác : $AMHC$ và $AMBK$ nội tiếp
+) Xét $left( O right)$có: $widehat{CHB}={{90}^{0}}$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $Rightarrow widehat{CHM}=90{}^circ $.
Xét tứ giác$AMHC$ có: $widehat{CHM}+widehat{CAM}=90{}^circ +90{}^circ =180{}^circ $mà hai góc ở vị trí đối nhau
⇒ tứ giác$AMHC$ nội tiếp.
+) Xét $left( O right)$có: $widehat{CKB}={{90}^{0}}$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $Rightarrow widehat{MKB}=90{}^circ $.
Xét tứ giác$AMBK$ có:
$widehat{MKB}=widehat{MAB}=90{}^circ $mà hai đỉnh A và K liền kề cùng nhìn đoạn MB
⇒ tứ giác$AMBK$ nội tiếp.
b) Chứng minh : $BH.BM$ có giá trị không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.
Xét $left( MACH right)$có: $widehat{CAH}=widehat{CMH}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn $oversetfrown{CH}$)$Rightarrow widehat{BAH}=widehat{CMB},,$
Xét $Delta ABH$ và $Delta MBC$ có: $widehat{BAH}=widehat{CMB}$; $widehat{B}$ chung.
$Rightarrow Delta ABHsim Delta MBC,(g.g)Rightarrow dfrac{BH}{BC}=dfrac{AB}{MB}Rightarrow BH.BM=AB.BC$
Vì$A,,B,,C$cố định $Rightarrow AB,,,AC$không đổi $Rightarrow BH.BM$ không đổi
$Rightarrow BH.BM$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
c) Chứng minh: $KN$ song song với một đường thẳng cố định khi $M$ di chuyển trên $d$.
Xét $left( O right)$có: $widehat{HNK}=widehat{HBK}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn $oversetfrown{HK}$) $(1)$
$Rightarrow widehat{HBK}=widehat{HCM},,$( cùng phụ $widehat{HMC},$hoặc cùng bù $widehat{HCK},),,$ $(2)$
Xét $left( MACH right)$có: $widehat{HCM}=widehat{HAM}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn $oversetfrown{MH},,$) $(3)$
Từ $(1),,$$(2),$$(3)$$Rightarrow widehat{HNK}=widehat{HAM},,$
Hay $widehat{ANK}=widehat{NAM},$ mà hai góc này ở vị trí so le trong
$Rightarrow KN//d$
d) Chứng minh trọng tâm $G$ của $Delta ABH$chạy trên một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên $d$.
Gọi $O$ là trung điểm $BC$
$HG$cắt $BC$tại $E$; $GI//OH,,left( I,,in ,,BC right)$
+) $IG=dfrac{1}{3}OH=dfrac{1}{3}OB$ không đổi mà I cố định ⇒ $G,,in ,,left( I,,;,dfrac{1}{3}OB right)$
Bài 5:
Ta có: $left( {2 – a} right)left( {2 – b} right)left( {2 – c} right) ge ,,0$
Chứng minh: $ab + bc + ca ge ,2 Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} le ,5$
$ Rightarrow {A_{max }} = 5 Leftrightarrow abc = 0,$ hay $,left( {a,b,c} right)$ sẽ là hoán vị của bộ 3 số $left( {0;1;2} right)$.
NHÓM GIẢI ĐỀ THI THỬ TOÁN 9 LÊN 10 HÀ NỘI
