Câu 30: Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=sqrt{x}$ và $y=x-2$:
$sqrt{x}=x-2$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 2\
x = {left( {x – 2} right)^2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 2\
{x^2} – 5x + 4 = 0
end{array} right.$$Leftrightarrow x=4$.
Diện tích hình phẳng $left( H right)$ là
$S=intlimits_{0}^{2}{sqrt{x}text{d}x}+intlimits_{2}^{4}{left| sqrt{x}-left( x-2 right) right|text{d}x}$$=intlimits_{0}^{2}{sqrt{x}text{d}x}+intlimits_{2}^{4}{left( sqrt{x}-x+2 right)text{d}x}$ $=left. frac{2{{x}^{frac{3}{2}}}}{3} right|_{0}^{2}+left. left( frac{2{{x}^{frac{3}{2}}}}{3}-frac{{{x}^{2}}}{2}+2x right) right|_{2}^{4}$$=frac{10}{3}$.
Câu 31: Chọn D.
Từ công thức $S=A.{{text{e}}^{Nr}}$$Leftrightarrow N=frac{1}{r}ln frac{S}{A}$ với $A=78685800$, $r=1,7%=0.017$, $S=120000000$
Vậy $N=frac{1}{0,017}ln frac{120000000}{78685800}$$Leftrightarrow Napprox 24,83$ (năm)
Vậy sau 25 năm thì dân số nước ta ở mức $120$ triệu người hay đến năm $2026$ thì dân số nước ta ở mức $120$ triệu người.
Câu 32: Chọn D.
Đặt $I=intlimits_{1}^{2}{frac{text{d}x}{xsqrt{x+1}+left( x+1 right)sqrt{x}}}=intlimits_{1}^{2}{frac{text{d}x}{sqrt{xleft( x+1 right)}left( sqrt{x}+sqrt{x+1} right)}}$.
Đặt $t=sqrt{x}+sqrt{x+1}Rightarrow text{d}t=frac{sqrt{x+1}+sqrt{x}}{2sqrt{xleft( x+1 right)}}text{d}x$$Leftrightarrow frac{text{d}x}{sqrt{xleft( x+1 right)}}=2frac{text{d}t}{t}$.
Khi $x=1$ thì $t=sqrt{2}+1$, khi $x=2$ thì $t=sqrt{3}+sqrt{2}$.
$I=intlimits_{1}^{2}{frac{text{d}x}{sqrt{xleft( x+1 right)}left( sqrt{x}+sqrt{x+1} right)}}=2intlimits_{sqrt{2}+1}^{sqrt{3}+sqrt{2}}{frac{text{d}t}{{{t}^{2}}}}=left. -2frac{1}{t} right|_{sqrt{2}+1}^{sqrt{3}+sqrt{2}}$$=-2left( frac{1}{sqrt{3}+sqrt{2}}-frac{1}{sqrt{2}+1} right)$$=4sqrt{2}-2sqrt{3}-2$$=sqrt{32}-sqrt{12}-sqrt{4}$$Rightarrow a=32$, $b=12$, $c=4$
Vậy $P=a+b+c=48$
Câu 33: Chọn C.
Điều kiện $xne -m$.Do $xin left( -infty ;1 right)$ nên $min left( -infty ;-1 right]$.
Ta có ${y}’=frac{{{m}^{2}}-4}{{{left( x+m right)}^{2}}}$.
Để hàm số giảm trên khoảng $left( -infty ;1 right)$ thì${y}'<0$ với $xin left( -infty ;1 right)$$Leftrightarrow {{m}^{2}}-4<0Leftrightarrow -2<m<2$.
Do $m$ nguyên và $min left( -infty ;-1 right]$ nên $m=-1$.
Vậy có $1$ giá trị của $m$ thỏa mãn.
Câu 34: Chọn D.
Ta có $left| frac{z-1}{z-i} right|=1$$Leftrightarrow left| z-1 right|=left| z-i right|$$Leftrightarrow left| a-1+bi right|=left| a+left( b-1 right)i right|$$Leftrightarrow 2a-2b=0$(1).
$left| frac{z-3i}{z+i} right|=1$$Leftrightarrow left| z-3i right|=left| z+i right|$$Leftrightarrow left| a+left( b-3 right)i right|=left| a+left( b+1 right)i right|$$Leftrightarrow b=1$ (2).
Từ (1) và (2) ta có $left{ begin{array}{l}
a = 1\
b = 1
end{array} right.$. Vậy $P=2$.
Câu 35: Chọn B.
Giả sử khối hộp chữ nhật là $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ và $AB=x$, $AD=2x$ và $A{A}’=h$ ($x,,h>0$).
Ta có $V=x.2x.h$ $Leftrightarrow 2{{x}^{2}}h=frac{500}{3}$$Leftrightarrow h=frac{250}{3{{x}^{2}}}$.
Diện tích cần xây là $S=2{{x}^{2}}+2left( xh+2xh right)$$=2{{x}^{2}}+6xh$.
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $S=2{{x}^{2}}+frac{500}{x}$ với $x>0$.
Ta có $2{{x}^{2}}+frac{250}{x}+frac{250}{x}ge 3sqrt[3]{2{{x}^{2}}.frac{250}{x}.frac{250}{x}}$ $Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+frac{250}{x}+frac{250}{x}ge 150$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $2{{x}^{2}}=frac{250}{x}$ $Leftrightarrow x=5$.
$S$ nhỏ nhất là $150$ khi $x=5$.
Số tiền chi phí là $150.500000=75000000$ hay $75$ triệu đồng.
Câu 36: Chọn A.
Ta có: ${{4}^{{{sin }^{2}}x}}+{{5}^{text{co}{{text{s}}^{2}}x}}le m{{.7}^{text{co}{{text{s}}^{2}}x}}$ $Leftrightarrow 4.{{left( frac{1}{28} right)}^{text{co}{{text{s}}^{2}}x}}+{{left( frac{5}{7} right)}^{text{co}{{text{s}}^{2}}x}}le m$.
Xét $fleft( x right)=4.{{left( frac{1}{28} right)}^{text{co}{{text{s}}^{2}}x}}+{{left( frac{5}{7} right)}^{text{co}{{text{s}}^{2}}x}}$ với $xin mathbb{R}$. Do $left{ begin{array}{l}
{left( {frac{1}{{28}}} right)^{{rm{co}}{{rm{s}}^2}x}} ge frac{1}{{28}}\
{left( {frac{5}{7}} right)^{{rm{co}}{{rm{s}}^2}x}} ge frac{5}{7}
end{array} right.$ nên $fleft( x right)ge frac{4}{28}+frac{5}{7}$ hay $fleft( x right)ge frac{6}{7}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $text{co}{{text{s}}^{2}}x=1$ $Leftrightarrow sin x=0$ $Leftrightarrow x=kpi $.
Vậy $underset{mathbb{R}}{mathop{min }},fleft( x right)=frac{6}{7}$. Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $mge underset{mathbb{R}}{mathop{min }},fleft( x right)$$Leftrightarrow mge frac{6}{7}$ hay $min left[ frac{6}{7};,+infty right)$$Rightarrow S=13$.
Câu 37: Chọn C.
Ta có ${y}’=3{{x}^{2}}+6x$.
Gọi $Aleft( a;,{{a}^{3}}+3{{a}^{2}} right)$ thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến $d$ của đồ thị hàm số tại $A$ là: $y=left( 3{{a}^{2}}+6a right)left( x-a right)+{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}$.
$Mleft( m;,0 right)in d$$Leftrightarrow left( 3{{a}^{2}}+6a right)left( m-a right)+{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}=0$$Leftrightarrow 2{{a}^{3}}-3left( m-1 right){{a}^{2}}-6ma=0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a = 0\
2{a^2} – 3left( {m – 1} right)a – 6m = 0,,,,left( 1 right)
end{array} right.$.
Khi $a=0$ ta có phương trình tiếp tuyến $y=0$.
Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với $y=0$ nên yêu cầu bài toán tương đương phương trình $left( 1 right)$ có hai nghiệm ${{a}_{1}}$ và ${{a}_{2}}$ khác $0$ thỏa ${y}’left( {{a}_{1}} right).{y}’left( {{a}_{2}} right)=-1$ $Leftrightarrow left( 3a_{1}^{2}+6{{a}_{1}} right)left( 3a_{2}^{2}+6{{a}_{2}} right)=-1$$Leftrightarrow 9{{a}_{1}}.{{a}_{2}}left[ {{a}_{1}}.{{a}_{2}}+2left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} right)+4 right]+1=0$ $Leftrightarrow 9left( -3m right)left[ -3m+3left( m-1 right)+4 right]+1=0$$Leftrightarrow -27m+1=0$$Leftrightarrow m=frac{1}{27}$.
Thay $m=frac{1}{27}$ vào $left( 1 right)$ thử lại có 2 nghiệm phân biệt khác $0$.
Câu 38: Chọn C.
Ta có $fleft( x right)=int{frac{1}{{{x}^{2}}-1}}text{d}x=,frac{1}{2}int{left( frac{1}{x-1}-frac{1}{x+1} right)text{d}x}$$=frac{1}{2}ln left| frac{x-1}{x+1} right|+C$
Với $xin left( -infty ;-1 right)cup left( 1;+infty right)$:$fleft( x right)=frac{1}{2}ln left| frac{x-1}{x+1} right|+{{C}_{1}}$.
Mà $fleft( -3 right)+fleft( 3 right)=0$$Leftrightarrow frac{1}{2}ln left| frac{-3-1}{-3+1} right|+{{C}_{1}}+frac{1}{2}ln left| frac{3-1}{3+1} right|+{{C}_{1}}=0$
$Leftrightarrow frac{1}{2}ln 2+{{C}_{1}}+frac{1}{2}ln frac{1}{2}+{{C}_{1}}=0$$Leftrightarrow ,{{C}_{1}}=0$.
Do đó với $xin left( -infty ;-1 right)cup left( 1;+infty right)$:$fleft( x right)=frac{1}{2}ln left| frac{x-1}{x+1} right|$$Rightarrow ,fleft( -2 right)=frac{1}{2}ln 3$;$fleft( 4 right)=frac{1}{2}ln frac{3}{5}$.
Với $xin left( -1;1 right)$:$fleft( x right)=frac{1}{2}ln left| frac{x-1}{x+1} right|+{{C}_{2}}$.
Mà $fleft( -frac{1}{2} right)+fleft( frac{1}{2} right)=2$$Leftrightarrow frac{1}{2}ln left| frac{-frac{1}{2}-1}{-frac{1}{2}+1} right|+{{C}_{2}}+frac{1}{2}ln left| frac{frac{1}{2}-1}{frac{1}{2}+1} right|+{{C}_{2}}=2$
$Leftrightarrow frac{1}{2}ln 3+{{C}_{2}}+frac{1}{2}ln frac{1}{3}+{{C}_{2}}=2$$Leftrightarrow ,{{C}_{2}}=1$.
Do đó với $xin left( -1;1 right)$:$fleft( x right)=frac{1}{2}ln left| frac{x-1}{x+1} right|+1$$Rightarrow ,fleft( 0 right)=1$.
Vậy $T=fleft( -2 right)+fleft( 0 right)+fleft( 4 right)$$=1+frac{1}{2}ln frac{9}{5}$.
Câu 39: Chọn A.
Dựa vào đồ thị ta thấy ${f}’left( x right)<0Leftrightarrow xin left( -infty ;2 right)$.
Ta có${g}’left( x right)=2x.{f}’left( {{x}^{2}}-2 right)$.
${g}’left( x right)le ,0Leftrightarrow 2x.{f}’left( {{x}^{2}}-2 right)le 0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x ge 0\
f’left( {{x^2} – 2} right) le 0
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x le 0\
f’left( {{x^2} – 2} right) ge 0
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x ge 0\
{x^2} – 2 le 2
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x le 0\
{x^2} – 2 ge 2
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x ge 0\
– 2 le x le 2
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x le 0\
left[ begin{array}{l}
x ge 2\
x le – 2
end{array} right.
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
0 le x le 2\
x le – 2
end{array} right.$
Như vậy đáp án B, C đều đúng và đáp án A sai. Tương tự chứng minh được đáp án D đúng.
Câu 40: Chọn C.
Gọi $F=PQcap AC$. Dễ thấy $AFbot PQ$.
Mặt khác do $left( MNPQ right) text{//} SC$ nên$left( SAC right)cap left( MNPQ right)=EF$ $left( EF text{//} SC,,;,Fin SA right)$.
Dựng $AHbot EF$. Do$PQbot left( SAC right)$ nên $PQbot AH$.
Suy ra $AHbot left( MNPQ right)$ $Rightarrow AH=dleft( A;left( MNPQ right) right)$.
Ta có: $AE=frac{3}{4}AC=frac{3asqrt{2}}{4}$; $AF=frac{3}{4}AS$$=frac{3}{4}sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=frac{3a}{4}$
Suy ra:$AH=sqrt{frac{A{{F}^{2}}.A{{E}^{2}}}{A{{E}^{2}}+A{{F}^{2}}}}=frac{asqrt{6}}{4}$.
Mặt khác do $BDbot SC$nên $PQbot QM$suy ra tứ giác$MNPQ$là hình chữ nhật.
${{S}_{MNPQ}}=MQ.QP$ $=frac{1}{4}BD.SC=frac{{{a}^{2}}sqrt{6}}{4}$
Vậy ${{V}_{A.MNPQ}}=frac{1}{3}AH.{{S}_{MNPQ}}$ $=frac{{{a}^{3}}}{8}$.
Câu 41: Chọn A.
Xét hàm số $fleft( x right)={{x}^{3}}-3x$.
Có ${f}’left( x right)=3{{x}^{2}}-3$, ${f}’left( x right)=0$ $Leftrightarrow x=pm 1$.
Mặt khác, ta có ${{b}_{1}}>{{b}_{2}}ge 1$.
Đặt $a={{log }_{2}}{{b}_{2}}>{{log }_{2}}{{b}_{1}}=bge 0$.
Ta có: ${{a}^{3}}-3a+2={{b}^{3}}-3b$ $left( 1 right)$.
Nếu $b>1$$Rightarrow a>b>1$$Rightarrow {{a}^{3}}-3a>{{b}^{3}}-3b$ $Rightarrow left( 1 right)$ vô nghiệm.
Nếu $0le ble 1$ $Rightarrow -2<{{b}^{3}}-3ble 0$ $Rightarrow {{a}^{3}}-3a+2le 0$$Rightarrow {{left( a-1 right)}^{2}}left( a+2 right)le 0$.
Suy ra $a=1$ $Rightarrow b=0$.
Khi đó $left{ begin{array}{l}
{b_1} = {2^0} = 1\
{b_2} = {2^1} = 2
end{array} right.$$Rightarrow {{b}_{n}}={{2}^{n-1}}>{{5}^{100}}$ $n-1>100{{log }_{2}}5$$Rightarrow nge 234$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $n$ là $234$.
Câu 42: Chọn C.
Đặt $t=left| sin x+cos x right|$, ($0le tle sqrt{2}$)
$Rightarrow {{t}^{2}}=1+2sin x.cosx$$Rightarrow sin x.cos x=frac{{{t}^{2}}-1}{2}$. Phương trình đã cho trở thành:
${{t}^{2}}+2t-3=0$ $Leftrightarrow t=1$ (thỏa mãn) hoặc $t=-3$ (loại).
Với $t=1$$Rightarrow sin 2x=0$ $Rightarrow x=frac{kpi }{2}$.
Trong khoảng $left( 0;,2pi right)$ các nghiệm của phương trình là: $left{ frac{pi }{2};,pi ;,frac{3pi }{2} right}$.
Suy ra tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $left( 0;,2pi right)$ là $3pi $.
Câu 43: Chọn B.
Ta có: $nleft( Omega right)=10!$.
Giả sử các ghế được đánh số từ $1$ đến $10$.
Để có cách xếp sao cho giữa $2$ bạn nữ có đúng $2$ bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số $1$, $4$, $7$, $10$. Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là: $6!.4!$ cách.
Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau
Nếu Huyền ngồi ở ghế $1$ hoặc $10$ thì có $1$ cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế $4$ hoặc $7$ thì có $2$ cách xếp chỗ ngồi cho Quang.
Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $2+2.2=6$.
Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho $10$ người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là
$6.3!.5!$.
Gọi A: “ Giữa $2$ bạn nữ gần nhau có đúng $2$ bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”.
$nleft( A right)=4!.6!-6.3!.5!=12960$$Rightarrow Pleft( A right)=frac{nleft( A right)}{nleft( Omega right)}=frac{12960}{10!}=frac{1}{280}$.
Vậy xác suất cần tìm là $frac{1}{280}$.
Câu 44: Chọn C.
Gọi $G$ là điểm sao cho $S=1$$Rightarrow Gleft( 2;1;3 right)$.
Khi đó $left| overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC} right|=$$overrightarrow{OB}=left( -frac{8}{3};frac{4}{3};frac{8}{3} right)$$OA=3$.
Nên $left| overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC} right|$ có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MG$ ngắn nhất, khi đó $M$ là hình chiếu vuông góc của $Gleft( 2;1;3 right)$ trên $operatorname{mp}left( Oxy right)$. Do đó $M=left( 2;1;0 right)$.
Vậy $P={{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=2+1+0=3$.
Câu 45: Chọn B.
Vì $SAbot left( ABC right)$ nên $widehat{left( SB;left( ABC right) right)}=widehat{left( SB;AB right)}=widehat{SBA}$$Rightarrow widehat{SBA}=60{}^circ $.
$SA=AB.tan widehat{SBA}$$=a.tan 60{}^circ =asqrt{3}$.
Dựng hình bình hành $ACBD$, ta có $ACtext{//}left( SBD right)$ nên:
$dleft( AC;SB right)=dleft( AC;left( SBD right) right)$$=dleft( A;left( SBD right) right)$
Gọi $M$ là trung điểm $BD$, suy ra $BDbot AM$. Từ $SAbot left( ABC right)$ ta có $BDbot SA$, do đó $BDbot left( SAM right)$. Kẻ $AHbot SM$ ($Hin SM$) thì $BDbot AH$.
Từ$BDbot AH$ và $AHbot SM$suy ra $AHbot left( SBD right)$. Nên $dleft( A;left( SBD right) right)=AH$.
Tam giác $ABD$ đều cạnh $a$ nên $AM=frac{asqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác $SAM$ vuông tại $A$, ta có
$frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{M}^{2}}}+frac{1}{S{{A}^{2}}}$$=frac{1}{{{left( frac{asqrt{3}}{2} right)}^{2}}}+frac{1}{{{left( asqrt{3} right)}^{2}}}=frac{5}{3{{a}^{2}}}$$Rightarrow AH=frac{asqrt{15}}{5}$.
Vậy $dleft( AC;SB right)=dleft( A;left( SBD right) right)$$=AH=frac{asqrt{15}}{5}$.
Câu 46: Chọn B.
Xét hàm số $fleft( x right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m$.
Ta có ${f}’left( x right)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x$,
$f’left( x right) = 0 Leftrightarrow 12{x^3} – 12{x^2} – 24x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = – 1\
x = 2
end{array} right.$.
Ta có bảng biến thiên
Xét hàm số $y = left| {fleft( x right)} right| = left{ begin{array}{l}
fleft( x right),,,neu,,fleft( x right) ge 0\
– fleft( x right),,,neu,,fleft( x right) < 0
end{array} right.$
Nên từ bảng biến thiên của hàm số $y=fleft( x right)$ suy ra hàm số $y=left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m right|$có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l}
m – 32 < 0\
m – 5 ge 0
end{array} right.$$Leftrightarrow 5le m<32$.
Do đó có $27$ giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m right|$ có $5$ điểm cực trị.
Câu 47: Chọn B.
Đặt $z=x+yi,$. Ta có $P={{left( x+2 right)}^{2}}+{{y}^{2}}-left[ {{x}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}} right]=4x+2y+3$.
Mặt khác $left| z-3-4i right|=sqrt{5}Leftrightarrow {{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}=5$.
Đặt $x=3+sqrt{5}sin t$, $y=4+sqrt{5}cos t$
Suy ra $P=4sqrt{5}sin t+2sqrt{5}cos t+23$.
Ta có $-10le 4sqrt{5}sin t+2sqrt{5}cos tle 10$.
Do đó $13le Ple 33Rightarrow M=33$, $m=13Rightarrow left| w right|=sqrt{{{33}^{2}}+{{13}^{2}}}=sqrt{1258}$.
Câu 48: Chọn A.
$1+frac{1}{{{x}^{2}}}frac{1}{{{left( x+1 right)}^{2}}}=frac{{{x}^{2}}{{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( x+1 right)}^{2}}+{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}{{left( x+1 right)}^{2}}}=frac{{{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{left( x+1 right)}^{2}}}$.
$fleft( x right)={{text{e}}^{sqrt{1+frac{1}{{{x}^{2}}}+frac{1}{{{left( x+1 right)}^{2}}}}}}={{text{e}}^{frac{xleft( x+1 right)+1}{xleft( x+1 right)}}}$, $forall x>0$.
Xét dãy số $left( {{u}_{k}} right)$: ${{u}_{k}}=frac{kleft( k+1 right)+1}{kleft( k+1 right)}=1+frac{1}{kleft( k+1 right)}=1+frac{1}{k}-frac{1}{k+1}$, $left( kin mathbb{N}* right)$.
Ta có ${{u}_{1}}=1+frac{1}{1}-frac{1}{2}$, ${{u}_{2}}=1+frac{1}{2}-frac{1}{3}$, ${{u}_{3}}=1+frac{1}{3}-frac{1}{4}$, …, ${{u}_{2017}}=1+frac{1}{2017}-frac{1}{2018}$.
$fleft( 1 right).fleft( 2 right).fleft( 3 right)…fleft( 2017 right)={{text{e}}^{{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+…+{{u}_{2017}}}}$.
${{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+…+{{u}_{2017}}=2017+frac{1}{1}-frac{1}{2018}=frac{{{2018}^{2}}-1}{2018}=frac{m}{n}$.
Vậy $m-{{n}^{2}}=-1$.
Câu 49: Chọn D.
Ta có: $overrightarrow{OA}=left( 2;2;1 right)$, $overrightarrow{OB}=left( -frac{8}{3};frac{4}{3};frac{8}{3} right)$$Rightarrow overrightarrow{OA}.overrightarrow{OB}=-frac{16}{3}+frac{8}{3}+frac{8}{3}=0$$Rightarrow overrightarrow{OA}bot overrightarrow{OB}$.
Lại có: $OA=3$, $OB=4Rightarrow AB=5$.
Gọi $D$ là chân đường phân giác trong góc $widehat{AOB}Rightarrow D$ thuộc đoạn $AB$.
Theo tính chất của phân giác trong ta có:
$frac{DA}{DB}=frac{OA}{OB}=frac{3}{4}$$Rightarrow overrightarrow{DA}=-frac{3}{4}overrightarrow{DB}Rightarrow D=left( 0;frac{12}{7};frac{12}{7} right)$.
Tam giác $OAB$ có diện tích $S=frac{1}{2}.OA.OB=6$, nửa chu vi $p=frac{OA+OB+AB}{2}=6$
$Rightarrow r=frac{S}{p}=1$ là bàn kính đường tròn nội tiếp; chiều cao $OH=frac{OA.OB}{AB}=frac{12}{5}$.
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ $Rightarrow I$thuộc đoạn $OD$.
Ta có: $frac{DI}{DO}=frac{r}{OH}=frac{5}{12}Rightarrow overrightarrow{DI}=frac{5}{12}overrightarrow{DO}$ $Rightarrow I=left( 0;1;1 right)$ hay $left{ begin{array}{l}
a = 0\
b = 1\
c = 1
end{array} right.$.
Vậy $S=a+b+c=2$.
Câu 50: Chọn C.
– Tính : $I=intlimits_{0}^{1}{left( x+1 right){{text{e}}^{x}}fleft( x right)text{d}x}=$$intlimits_{0}^{1}{x{{text{e}}^{x}}fleft( x right)text{d}x}+intlimits_{0}^{1}{{{text{e}}^{x}}fleft( x right)text{d}x}=J+K$.
Tính $K=intlimits_{0}^{1}{{{text{e}}^{x}}fleft( x right)text{d}x}$
Đặt $left{ begin{array}{l}
u = {{rm{e}}^x}fleft( x right)\
{rm{d}}v = {rm{d}}x
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{rm{d}}u = left[ {{{rm{e}}^x}fleft( x right) + {{rm{e}}^x}f’left( x right)} right]{rm{d}}x\
v = x
end{array} right.$
$Rightarrow K=left. left( x{{text{e}}^{x}}fleft( x right) right) right|_{0}^{1}-intlimits_{0}^{1}{left[ x{{text{e}}^{x}}fleft( x right)+x{{text{e}}^{x}}{f}’left( x right) right]text{d}x}$$=-intlimits_{0}^{1}{x{{text{e}}^{x}}fleft( x right)text{d}x}-intlimits_{0}^{1}{x{{text{e}}^{x}}{f}’left( x right)text{d}x}$ $left( text{do }fleft( 1 right)=0 right)$
$Rightarrow K=-J-intlimits_{0}^{1}{x{{text{e}}^{x}}{f}’left( x right)text{d}x}$$Rightarrow I=J+K=-intlimits_{0}^{1}{x{{text{e}}^{x}}{f}’left( x right)text{d}x}$.
– Kết hợp giả thiết ta được :
$left{ begin{array}{l}
intlimits_0^1 {{{left[ {f’left( x right)} right]}^2}{rm{d}}x} = frac{{{{rm{e}}^2} – 1}}{4}\
– intlimits_0^1 {x{e^x}f’left( x right){rm{d}}x} = frac{{{{rm{e}}^2} – 1}}{4}
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
intlimits_0^1 {{{left[ {f’left( x right)} right]}^2}{rm{d}}x} = frac{{{{rm{e}}^2} – 1}}{4}{rm{ (1)}}\
2intlimits_0^1 {x{{rm{e}}^x}f’left( x right){rm{d}}x} = – frac{{{{rm{e}}^2} – 1}}{2}{rm{ (2)}}
end{array} right.$
– Mặt khác, ta tính được :$intlimits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{text{e}}^{2x}}text{d}x}=frac{{{text{e}}^{2}}-1}{4}text{ (3)}$.
– Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:
$intlimits_{0}^{1}{left( {{left[ {f}’left( x right) right]}^{2}}+2x{{text{e}}^{x}}{f}’left( x right)+{{x}^{2}}{{text{e}}^{2x}} right)text{d}x}=0$ $Leftrightarrow intlimits_{o}^{1}{{{left( {f}’left( x right)+x{{text{e}}^{x}} right)}^{2}}text{d}x}=0$$Leftrightarrow pi intlimits_{o}^{1}{{{left( {f}’left( x right)+x{{text{e}}^{x}} right)}^{2}}text{d}x}=0$
hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={f}’left( x right)+x{{text{e}}^{x}}$, trục $Ox$, các đường thẳng $x=0$, $x=1$ khi quay quanh trục $Ox$ bằng $0$
$Rightarrow {f}’left( x right)+x{{text{e}}^{x}}=0$$Leftrightarrow {f}’left( x right)=-x{{text{e}}^{x}}$
$Rightarrow fleft( x right)=-int{x{{text{e}}^{x}}text{d}x}=left( 1-x right){{text{e}}^{x}}+text{C}$.
– Lại do $fleft( 1 right)=0Rightarrow text{C}=0Rightarrow fleft( x right)=left( 1-x right){{text{e}}^{x}}$
$Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)text{d}x}=intlimits_{0}^{1}{left( 1-x right){{text{e}}^{x}}text{d}x}$$=left. left( left( 1-x right){{text{e}}^{x}} right) right|_{0}^{1}+intlimits_{0}^{1}{{{text{e}}^{x}}text{d}x}$$=-1+left. {{text{e}}^{x}} right|_{0}^{1}=text{e}-2$.
Vậy $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)text{d}x}=text{e}-2$.
