Câu 30: Đáp án B
Phương pháp: Đạo hàm của hàm hợp : $left[ fleft( uleft( x right) right) right]’=f’left( uleft( x right) right).u’left( x right)$
Tìm số nghiệm của phương trình $y’=f’left( {{x}^{2}}-2x right)=0$
Cách giải:
$y = fleft( {{x^2} – 2x} right) Rightarrow y’ = f’left( {{x^2} – 2x} right).left( {2x – 2} right) = 0 Rightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
f’left( {{x^2} – 2x} right) = 0
end{array} right.$
Vì $fleft( x right)$liên tục trên R và có đúng ba điểm cực trị là $-2,~-1,text{ }0$nên $f’left( x right)$đổi dấu tại đúng ba điểm $-2,~-1,text{ }0$và $f’left( -2 right)=f’left( -1 right)=f’left( 0 right)=0$
Giải các phương trình:
${{x}^{2}}-2x=-2Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+2=0$: vô nghiệm
$begin{array}{l}
{x^2} – 2x = – 1 Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0 Leftrightarrow {left( {x – 1} right)^2} = 0 Leftrightarrow x = 1\
{x^2} – 2x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 2
end{array} right.
end{array}$
Như vậy, $y’=0$có 3 nghiệm $x=0,1,2$và y’ đều đổi dấu tại 3 điểm này. Do đó, hàm số $y=fleft( {{x}^{2}}-2x right)$có 3 điểm cực trị.
Câu 31: Đáp án D
Phương pháp:Thể tích của lượng đá bị cắt bỏ bằng thể tích của khối hình trụ ban đầu trừ đi thể tích của khối tứ diện MNPQ.
Cách giải:
Dựng hình hộp chữ nhật $MQNP.MQNP$như hình vẽ bên.
$begin{array}{l}
{V_{MNPQ}} = {V_{MQ’NP’.M’QN’P}} – {V_{Q.MNQ’}} – {V_{P.MNP}} – {V_{M’.MNQ}} – {V_{N’.NPQ}} = {V_{MQ’NP’.M’QN’P}} – 4.frac{1}{6}{V_{MQ’NP’.M’QN’P}}\
= frac{1}{3}{V_{MQ’NP’.M’QN’P}} Rightarrow {V_{MQ’NP’.M’QN’P}} = 3{V_{MNPQ}} = 90,{m^3}
end{array}$
Hình chữ nhật $MQNP$có hai đường chéo $PQ,MN$vuông góc với nhau$Rightarrow MQNP$là hình vuông.
Ta có $MN=6,0,cm,=6,dmRightarrow MQ’=frac{6}{sqrt{2}}=3sqrt{2},left( dm right)$
Diện tích đáy: ${{S}_{MQ’NP’}}=MQ{{‘}^{2}}={{left( 3sqrt{2} right)}^{2}}=18left( d{{m}^{2}} right)Rightarrow MN’=frac{{{V}_{MQ’NP’.M’QN’P}}}{{{S}_{MQ’NP’}}}=frac{90}{18}=5,left( dm right)$
Thể tích khối trụ: $V=pi {{R}^{2}}h=pi {{left( frac{MN}{2} right)}^{2}}.MN’=pi .{{left( frac{6}{2} right)}^{2}}.5=45pi left( d{{m}^{3}} right)$
Thể tích của lượng đá bị cắt bỏ: $V-{{V}_{MNPQ}}=45pi -30approx 111,4left( d{{m}^{3}} right)$
Câu 32: Đáp án A
Phương pháp: Đặt $z=a+biRightarrow overline{z}=a-biRightarrow z.overline{z}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$
Biến đổi để phương trình trở thành $A+Bi=0Leftrightarrow A=B=0$
Cách giải: $overline{z}-frac{5+isqrt{3}}{z}-1=0Leftrightarrow overline{z}.z-z-5-isqrt{3}=0,zne 0left( 1 right)$
Đặt $z=a+bi,left( a,bin mathbb{R},{{a}^{2}}+{{b}^{2}}ne 0 right),$ta có:
$begin{array}{l}
left( 1 right) Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – a – bi – 5 – isqrt 3 = 0\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} – a – 5 = 0\
– b – sqrt 3 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{a^2} + 3 – a – 5 = 0\
b = – sqrt 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{a^2} – a – 2 = 0\
b = – sqrt 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
a = – 1\
a = 2
end{array} right.\
b = – sqrt 3
end{array} right.
end{array}$
$ Rightarrow left[ begin{array}{l}
z = – 1 – isqrt 3 \
z = 2 – isqrt 3
end{array} right. Rightarrow $ Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng $1-2isqrt{3}$
Câu 33: Đáp án A
Phương pháp:
Cho $left( alpha right):{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0,left( beta right):{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0$nhận $overrightarrow{{{n}_{1}}}=left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} right),overrightarrow{{{n}_{2}}}=left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} right)$ lần lượt là các VTPT. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng
$left( alpha right),left( beta right)$được tính: $ctext{os}left( left( alpha right),left( beta right) right)=ctext{os}left( overrightarrow{{{n}_{1}}};overrightarrow{{{n}_{2}}} right)=frac{left| overrightarrow{{{n}_{1}}}.overrightarrow{{{n}_{2}}} right|}{left| overrightarrow{{{n}_{1}}} right|.left| overrightarrow{{{n}_{2}}} right|}$
Với $0le alpha le {{90}^{circ }}Rightarrow {{alpha }_{min }}Leftrightarrow ctext{os}{{alpha }_{mtext{ax}}}$
Cách giải:
$left( P right):x+2y-2x+2018=0$ có 1 VTPT: $overrightarrow{{{n}_{1}}}left( 1;2;-2 right)$
$left( Q right):x+my+left( m-1 right)z+2017=0$ có 1 VTPT: $overrightarrow{{{n}_{2}}}left( 1;m;m-1 right)$
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):
$begin{array}{l}
c{rm{os}}left( {left( P right),left( Q right)} right) = c{rm{os}}left( {overrightarrow {{n_1}} ;overrightarrow {{n_2}} } right) = frac{{left| {overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_1}} } right|.left| {overrightarrow {{n_2}} } right|}}\
= frac{{left| {1.1 + 2.m – 2.left( {m – 1} right)} right|}}{{sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} .sqrt {{1^2} + {m^2} + {{left( {m – 1} right)}^2}} }} = frac{1}{{sqrt {2{m^2} – 2m + 2} }} = frac{{sqrt 2 }}{{sqrt {{{left( {2m – 1} right)}^2} + 3} }},\
Rightarrow 0 < c{rm{os}}left( {left( P right),left( Q right)} right) le sqrt {frac{2}{3}} ,forall m in R
end{array}$
Với $0le alpha le {{90}^{circ }}Rightarrow {{alpha }_{min }}Leftrightarrow ctext{os}{{alpha }_{mtext{ax}}}$
$Rightarrow {{left( left( P right),left( Q right) right)}_{min }}$khi và chỉ khi $ctext{os}{{left( left( P right);left( Q right) right)}_{mtext{ax}}}=sqrt{frac{2}{3}}Leftrightarrow 2m-1=0Leftrightarrow m=frac{1}{2}$
Khi đó, $left( Q right):x+frac{1}{2}y-frac{1}{2}z+2017=0Leftrightarrow 2x+y-z+4034=0$
Ta thấy: $2.left( -2017 right)+1-1+4034=0Rightarrow Mleft( -2017;1;1 right)in left( Q right)$
Câu 34: Đáp án B
Phương pháp: Sử dụng công thức $tan left( a+b right)=frac{tan ,a+tan b}{1-tan ,a,tan b}$
Cách giải:
$begin{array}{l}
sqrt 3 ,tan left( {frac{pi }{6} – x} right) + tan ,x.tan left( {frac{pi }{6} – x} right) + sqrt 3 tan ,x = tan ,2x\
Leftrightarrow tan left( {frac{pi }{6} – x} right)left( {sqrt 3 + tan ,x} right) + sqrt 3 tan ,x = tan 2x\
Leftrightarrow tan left( {frac{pi }{6} – x} right).frac{{sqrt 3 + tan ,x}}{{1 – sqrt 3 tan ,x}}.left( {1 – sqrt 3 tan ,x} right) + sqrt 3 ,tan ,x = tan 2x\
Leftrightarrow tan left( {frac{pi }{6} – x} right).tan left( {x + frac{pi }{3}} right).left( {1 – sqrt 3 tan ,x} right) + sqrt 3 ,tan ,x = tan 2x\
Leftrightarrow tan left( {frac{pi }{6} – x} right)c,otleft( {frac{pi }{6} – x} right).left( {1 – sqrt 3 tan ,x} right) + sqrt 3 tan ,x = tan ,2x\
Leftrightarrow 1.left( {1 – sqrt 3 tan ,x} right) + sqrt 3 tan ,x = tan ,2x Leftrightarrow tan ,2x = 1 Leftrightarrow 2x = frac{pi }{4} + kpi ,k in Z\
Leftrightarrow x = frac{pi }{8} + kfrac{pi }{2},k in Z\
x in left[ {0;10pi } right] Leftrightarrow 0 le frac{pi }{8} + kfrac{pi }{2} le 10pi ,k in Z\
Leftrightarrow – frac{1}{4} le k le frac{{79}}{4},k in Z Leftrightarrow k in left{ {0;1;2;…;19} right}
end{array}$
Ứng với mỗi giá trị của k ta có 1 nghiệm x.
Vậy số phần tử của S là 20.
Câu 35: Đáp án D
Phương pháp: $left{ begin{array}{l}
Delta bot d\
Delta bot AB
end{array} right. Rightarrow {overrightarrow u _Delta } = left[ {{{overrightarrow u }_d};overrightarrow {AB} } right]$
Viết phương trình đường thẳng biết điểm đi qua và VTCP.
Cách giải: $d:frac{x+1}{-2}=frac{y-2}{1}=frac{z-3}{3}$ có 1 VTCP $overrightarrow{u}left( -2;1;3 right)$
$overrightarrow{AB}=left( -2;3;2 right)$
$Delta $vuông góc với d và $ABRightarrow AB$nhận $overrightarrow{u}left( -2;1;3 right)$và $overrightarrow{AB}=left( -2;3;2 right)$là cặp VTPT $Rightarrow Delta $ có 1 VTCP $overrightarrow{v}=left[ overrightarrow{AB};overrightarrow{u} right]=left( 7;2;4 right)$
Phương trình đường thẳng $Delta :frac{x-1}{7}=frac{y+1}{2}=frac{z-1}{4}$
Câu 36: Đáp án D
Phương pháp:
Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.
Cách giải:
Gọi H là trung điểm của $ABRightarrow OH//AD$
ABCD là hình vuông $Rightarrow ADbot ABRightarrow OHbot AB$
Mà $OHbot S,A,$( vì $,SAbot left( ABCD right)$)
$Rightarrow OHbot left( SAB right)$
=>SH là hình chiếu vuông góc của SO trên mặt phẳng $left( SAB right)$
$Rightarrow left( SO,left( SAB right) right)=left( SO,SH right)=HSO$
Ta có: OH là đường trung bình của tam giác ABD $Rightarrow OH=frac{1}{2}AD=frac{a}{2}$
Tam giác SAH vuông tại A $Rightarrow SH=sqrt{S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}}=frac{asqrt{5}}{2}$
Tam giác SHO vuông tại H: $tan ,HSO=frac{OH}{SH}=frac{frac{a}{2}}{frac{asqrt{5}}{2}}=frac{sqrt{5}}{5}$
$Rightarrow tan left( SO,left( SAB right) right)=frac{sqrt{5}}{5}$
Câu 37: Đáp án C
Phương pháp: Hàm số bậc nhất trên bậc nhất $y=frac{a,x+b}{cx+d}left( ad-bcne 0 right)$luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.
TH1: Hàm số đồng biến trên $left[ 2;4 right]Rightarrow underset{left[ 2;4 right]}{mathop{mtext{ax}}},y=yleft( 4 right)$
TH2: Hàm số nghịch biến trên $left[ 2;4 right]Rightarrow underset{left[ 2;4 right]}{mathop{mtext{ax}}},y=yleft( 2 right)$
Cách giải: Tập xác định: $D=Rbackslash left{ 1 right}$
Ta có: $y’=frac{1.left( -1 right)-1.m}{{{left( x-1 right)}^{2}}}=frac{-1-m}{{{left( x-1 right)}^{2}}}$
TH1: $-1-m>0Leftrightarrow m<-1:$
$y’>0,forall xin left[ 2;4 right]Rightarrow $Hàm số đồng biến trên
$left( 2;4 right)Rightarrow underset{left[ 2;4 right]}{mathop{mtext{ax}}},y=yleft( 4 right)=frac{2}{3}Rightarrow frac{4+m}{4-1}=frac{2}{3}Leftrightarrow m=-2left( TM right)$
TH2: $-1-m<0Leftrightarrow m>-1$
$y'<0,forall xin left[ 2;4 right]Rightarrow $ Hàm số nghịch biến trên $left( 2;4 right)Rightarrow underset{left[ 2;4 right]}{mathop{mtext{ax}}},y=yleft( 2 right)=frac{2}{3}Rightarrow frac{2+m}{2-1}=frac{2}{3}Leftrightarrow m=-frac{4}{3}left( Loai right)$
Vậy $m=-2$
Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn.
Câu 38: Đáp án D
Phương pháp: Chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử $A_{n}^{k}=frac{n!}{left( n-k right)!}$
Cách giải:
$begin{array}{l}
A_n^k + 2A_n^2 = 100 Rightarrow 2A_n^2 < 100 Leftrightarrow A_n^2 < 50\
Leftrightarrow frac{{n!}}{{left( {n – 2} right)!}} < 50 Leftrightarrow nleft( {n – 1} right) < 50 Leftrightarrow {n^2} – n – 50 < 0 Leftrightarrow frac{{1 – sqrt {201} }}{2} < n < frac{{1 + sqrt {201} }}{2}
end{array}$
Mà $nin mathbb{N},nge 2Rightarrow nin left{ 2;3;4;5;6;7 right}$ ‘
Thay lần lượt $n=2;3;4;5;6;7$vào $A_{n}^{k}+2A_{n}^{2}=100:$
|
n |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
k |
Loại |
Loại |
Loại |
3 |
Loại |
Loại |
Vậy $n=5$
Khi đó, ${{left( 1+3x right)}^{2n}}={{left( 1+3x right)}^{10}}=sumlimits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}{{left( 3x right)}^{i}}=sumlimits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}{{3}^{i}}.{{x}^{i}}}}$
Số hạng chứa ${{x}^{5}}$trong khai triển ứng với $i=5$. Số hạng đó là: $C_{10}^{5}{{.3}^{5}}.{{x}^{5}}=61236{{x}^{5}}$
Câu 39: Đáp án D
Câu 40: Đáp án A
Phương pháp:
Nhân cả tử và mẫu với $costext{ }x$, sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Cách giải:
$begin{array}{l}
intlimits_0^{frac{pi }{3}} {frac{{{x^2}dx}}{{{{left( {x,{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + cos x} right)}^2}}} = intlimits_0^{frac{pi }{3}} {frac{x}{{cos x}}.frac{{xcos xdx}}{{{{left( {xsin x + cos x} right)}^2}}}} } \
= intlimits_0^{frac{pi }{3}} {frac{x}{{cos x}}.frac{{dleft( {xsin x + cos x} right)}}{{{{left( {xsin x + cos x} right)}^2}}} = – intlimits_0^{frac{pi }{3}} {frac{x}{{cos x}}dleft( {frac{1}{{xsin x + cos x}}} right)} } \
= – left. {frac{x}{{cos x}}.frac{1}{{xsin x + cos x}}} right|_0^{frac{pi }{3}} + intlimits_0^{frac{pi }{3}} {frac{1}{{sxinx + cos x}}dleft( {frac{x}{{cos x}}} right)}
end{array}$
$=-left. frac{x}{cos xleft( xsin x+cos x right)} right|_{0}^{frac{pi }{3}}+intlimits_{0}^{frac{pi }{3}}{frac{1}{ctext{o}{{text{s}}^{2}}x}dx}=-left. frac{x}{cos xleft( xsin x+cos x right)} right|_{0}^{frac{pi }{3}}+tan xleft| underset{0}{overset{frac{pi }{3}}{mathop {}}}, right.$
$=-frac{frac{pi }{3}}{frac{1}{2}.left( frac{pi }{3}.frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2} right)+sqrt{3}}=-frac{4pi }{pi sqrt{3}+3}+sqrt{3}=-frac{api }{b+cpi sqrt{3}}+dsqrt{3}left( a,b,c,din {{mathbb{Z}}^{+}} right)$
$Rightarrow a=4,b=3,c=1,d=1Rightarrow a+b+c+d=9$
Câu 41: Đáp án A
Phương pháp:
Cách giải:
$begin{array}{l}
z = a + bi Rightarrow left| {a + bi – 3 – 3i} right| = 6\
Leftrightarrow left( {a – 3} right)_2^{} + {left( {b – 3} right)^2} = 36
end{array}$
Khi đó ta có:
$begin{array}{l}
2left| {z + 6 – 3i} right| + 3left| {z + 1 + 5i} right| = 2left| {a + bi + 6 – 3i} right| + 3left| {a + bi + 1 + 5i} right|\
= 2sqrt {{{left( {a + 6} right)}^2} + {{left( {b – 3} right)}^2}} + 3sqrt {{{left( {a + 1} right)}^2} + {{left( {b + 5} right)}^2}} = 2sqrt {{a^2} + {b^2}}
end{array}$
Câu 42: Đáp án C
Cách giải:
Gọi tọa độ các giao điểm : $Aleft( a;0;0 right)Bleft( 0;b;0 right),Cleft( 0;0;c right);left( a;b;cne 0 right)$
Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng đoạn chắn: $frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$
$Mleft( 1;2;3 right)in left( P right)Rightarrow frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{3}{c}=1left( 1 right)$
Vì $OA=2OB=3OC>0$nên $left| a right| = 2left| b right| = 3left| c right| > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a = 2b = 3c\
a = – 2b = 3c\
a = 2b = – 3c\
– a = 2b = 3c
end{array} right.$
TH1: $a=2b=3c$
$left( P right):frac{1}{a}+frac{1}{frac{a}{2}}+frac{1}{frac{a}{3}}=1Leftrightarrow frac{6}{a}=1Leftrightarrow a=6left( tm right)Rightarrow left( P right):frac{x}{6}+frac{y}{3}+frac{z}{2}=1$
TH2: $a=-2b=3c$
$Rightarrow left( P right):frac{1}{a}+frac{1}{-frac{a}{2}}+frac{1}{frac{a}{3}}=1Leftrightarrow frac{2}{a}=1Leftrightarrow a=2left( tm right)Rightarrow left( P right):frac{x}{2}+frac{y}{-1}+frac{3z}{2}=1$
TH3: $a=2b=-3c$
$Rightarrow left( P right):frac{1}{a}+frac{1}{frac{a}{2}}+frac{1}{-frac{a}{3}}=1Leftrightarrow frac{0}{a}=1left( vo,li right)$
TH4: $-a=2b-3c$
$Rightarrow left( P right):frac{1}{a}+frac{1}{-frac{a}{2}}+frac{1}{-frac{a}{3}}=1Leftrightarrow frac{-4}{a}=1Leftrightarrow a=-4left( tm right)Rightarrow left( P right):frac{x}{-4}+frac{y}{2}+frac{3z}{4}=1$
Vậy, có 3 mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 43: Đáp án C
Phương pháp:
– Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, từ đó đánh giá giá trị lớn nhất của biểu thức.
Cách giải:
${{log }_{sqrt{3}}}frac{x+y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2}=xleft( x-3 right)+yleft( y-3 right)+xy,,,,,,left( 1 right)$
$Leftrightarrow {{log }_{sqrt{3}}}left( x+y right)-{{log }_{sqrt{3}}}left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2 right)={{x}^{2}}-3x+{{y}^{2}}-3y+xy$
$Leftrightarrow {{log }_{sqrt{3}}}left( x+y right)+3x+3y={{log }_{sqrt{3}}}left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2 right)+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow {log _{sqrt 3 }}left( {x + y} right) + 2 + 3x + 3y = {log _{sqrt 3 }}left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2\
Leftrightarrow {log _{sqrt 3 }}left( {3x + 3y} right) + 3x + 3y = {log _{sqrt 3 }}left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2,,,,,,left( 2 right)
end{array}$
Đặt $fleft( t right)={{log }_{sqrt{3}}}t+t,t>0Rightarrow fleft( t right)=frac{1}{tln 3}+1>0,forall t>0Rightarrow fleft( t right)$ đồng biến trên $left( 0;+infty right)$
$begin{array}{l}
left( 2 right) Leftrightarrow fleft( {3x + 3y} right) = fleft( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} right) Leftrightarrow 3x + 3 = {x^2} + {y^2} + xy + 2\
Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} + 4xy – 12x – 12y + 8 = 0\
Leftrightarrow {left( {2x + y} right)^2} – 6left( {2x + y} right) + 5 = – 3{left( {y – 1} right)^2} le 0 Leftrightarrow 1 le 2x + y le 5
end{array}$
Khi đó, $P=frac{3x+2y+1}{x+y+6}=1+frac{2x+y-5}{x+y+6}le 1$, vì $left{ begin{array}{l}
2x + y – 5 le 0\
x + y + 6 > 0
end{array} right.$
Vậy ${{P}_{mtext{ax}}}=1$ khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l}
2x + y – 5 = 0\
y – 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 2\
y = 1
end{array} right.$
Câu 44: Đáp án C
Phương pháp: Số tam giác vuông bằng số đường kính của đường tròn có đầu mút là 2 đỉnh của đa giác (H) nhân với$left( 2n~-2 right)$tức là số đỉnh còn lại của đa giác.
Cách giải: Số phần tử của không gian mẫu: $nleft( Omega right)=C_{2n}^{3}$
Tam giác vuông được chọn là tam giác chứa một cạnh là đường kính của đường tròn tâm O.
Đa giác đều 2n đỉnh chứa 2n đường chéo là đường kính của đường tròn tâm O, mỗi đường kính tạo nên $2n2$tam giác vuông.
Do đó số tam giác vuông trong tập S là: $frac{2n}{2}.left( 2n-2 right)=2nleft( n-1 right)$
Xác suất chọn một tam giác vuông trong tập S :
$frac{2nleft( n-1 right)}{C_{2n}^{3}}=frac{2nleft( n-1 right)}{frac{left( 2n right)!}{left( 2n-3 right)!3!}}=frac{2nleft( n-1 right)}{frac{2n.left( 2n-1 right)left( 2n-2 right)}{6}}=frac{3}{2n-1}=frac{3}{29}Rightarrow n=15$
Câu 45: Đáp án C
Phương pháp: Phương pháp tọa độ hóa.
Cách giải:
Cách 1:
Gọi O là trung điểm của BC.
Tam giác ABC là tam giác cân, $AB=AC=a$và $BAC={{120}^{0}}$
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
OA = AC.,sin {30^0} = frac{a}{2}\
OC = AC.c{rm{os}}{30^0} = frac{{asqrt 3 }}{2}
end{array} right.$
Ta gắn hệ trục tọa độ như hình bên:
Trong đó, $Oleft( 0;0;0 right),Aleft( 0;frac{a}{2};0 right),B’left( frac{asqrt{3}}{2};0;a right),Ileft( -frac{asqrt{3}}{2};0;frac{a}{2} right)$
Mặt phẳng (ABC) trùng với mặt phẳng (Oxy) và có VTPT là $overrightarrow{{{n}_{1}}}=left( 0;0;1 right)$
$overrightarrow{IB’}=left( asqrt{3};0;frac{a}{2} right);overrightarrow{IA}=left( frac{asqrt{3}}{2};frac{a}{2};-frac{a}{2} right)$
Mặt phẳng $left( IB’A right)$ có 1 VTPT $overrightarrow{{{n}_{2}}}=left[ left( 2sqrt{3};0;1 right);left( sqrt{3}’1;-1 right) right]=left( 1;3sqrt{3};2sqrt{3} right)$
Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (IB’A) :
$ctext{os}left( left( ABC right);left( AB’I right) right)=left| ctext{os}left( overrightarrow{{{n}_{1}}};overrightarrow{{{n}_{2}}} right) right|=left| frac{0.left( -1 right)+0.3sqrt{3}+1.2sqrt{3}}{sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}.sqrt{{{1}^{2}}+{{left( 3sqrt{3} right)}^{2}}+{{left( 2sqrt{3} right)}^{2}}}} right|=frac{2sqrt{3}}{sqrt{40}}=frac{sqrt{30}}{10}$
Cách 2:
Trong $left( ACC’A’ right)$ kéo dài AIcắt AC’tại D.
Trong $left( A’B’C’ right)$kẻ $A’Hbot B”D$ ta có:
$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
A’H bot B’D\
A,A’ bot B’D
end{array} right. Rightarrow B’D bot left( {A,A’H} right) Rightarrow AH bot B’D\
left{ begin{array}{l}
left( {AB’I} right) cap left( {A’B’C’} right) = B’D\
left( {A’B’C} right) supset A’H bot B’D\
left( {AB’I} right) supset AH bot B’D
end{array} right.\
Rightarrow left( {left( {AB’I} right);left( {A’B’C’} right)} right) = left( {A’H;AH} right) = AHA’
end{array}$
Ta dễ dàng chứng minh được C’ là trung điểm của AD’
$begin{array}{l}
Rightarrow {S_{B’A’D}} = frac{1}{2}dleft( {B’;A’D} right).A’D = frac{1}{2}.dleft( {B’;A’C’} right).2A’C = 2{S_{A’B’C’}}\
Rightarrow {S_{B’A’D}} = 2.frac{1}{2}.a.a.sin {120^0} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{2}
end{array}$
Xét tam giác $A’B’D$có $begin{array}{l}
B’D = sqrt {A’B{‘^2} + A'{D^2} – 2A’B’.A’D.c{rm{os}}{{120}^0}} = sqrt {{a^2} + 4{a^2} + 2{a^2}} = asqrt 7 \
Rightarrow A’H = frac{{2{S_{A’B’D}}}}{{B’D}} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{{asqrt 7 }} = frac{{asqrt {21} }}{7}
end{array}$
Xét tam giác vuông $A,A’H$có : $AH=sqrt{A,A{{‘}^{2}}+A'{{H}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+frac{3}{7}{{a}^{2}}}=frac{asqrt{70}}{7}$
$Rightarrow ctext{os},AHA’=frac{A’H}{AH}=frac{frac{asqrt{21}}{7}}{frac{asqrt{70}}{7}}=frac{sqrt{30}}{10}$
Câu 46: Đáp án B
Phương pháp: Sử dụng công thức tích phân từng phần: $intlimits_{a}^{b}{udv}=left. uv right|{}_{a}^{b}-intlimits_{a}^{b}{vdu}$
Cách giải:
Ta có: $intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}fleft( x right)dx=frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)left. d{{x}^{4}}fleft( x right) right|}}{}_{0}^{1}-frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f’left( x right)dx=frac{fleft( 1 right)}{4}-frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f’left( x right)dx}}$
Mà $fleft( 1 right)=frac{3}{5},intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}fleft( x right)dx=frac{37}{180}}$suy ra $frac{37}{180}=frac{3}{20}-frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f’left( x right)dxLeftrightarrow intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f’left( x right)dx=-frac{2}{9}}}$
Xét
$begin{array}{l}
{intlimits_0^1 {left[ {f’left( x right) + k{x^4}} right]} ^2}dx = intlimits_0^1 {{{left[ {f’left( x right)} right]}^2}dx + 2kintlimits_0^1 {{x^4}} f’left( x right)dx + {k^2}intlimits_0^1 {{x^8}dx = frac{4}{9} + 2k.frac{{ – 2}}{9} + {k^2}.frac{1}{9}} } \
= frac{{{k^2}}}{9} – frac{{4k}}{9} + frac{4}{9} = 0 Rightarrow k = 2
end{array}$
Khi đó, $intlimits_{0}^{1}{{{left[ f’left( x right)+2{{x}^{4}} right]}^{2}}dx=0Rightarrow f’left( x right)+2{{x}^{4}}=0Leftrightarrow f’left( x right)=-2{{x}^{4}}Rightarrow fleft( x right)=-frac{2}{5}{{x}^{5}}+C}$
Mà $fleft( 1 right)=frac{3}{5}Rightarrow -frac{2}{5}{{.1}^{5}}+C=frac{3}{5}Rightarrow C=1Rightarrow fleft( x right)-1=-frac{2}{5}{{x}^{5}}$
$Rightarrow intlimits_{0}^{1}{left[ fleft( x right)-1 right]}dx=intlimits_{0}^{1}{left[ -frac{2}{5}{{x}^{5}} right]dx=left. -frac{1}{15}{{x}^{6}} right|}_{0}^{1}=-frac{1}{15}$
Câu 47: Đáp án
Cách giải: TXĐ: $D=R$
$y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3Rightarrow y’=3{{x}^{2}}+6x+9$
Gọi $Mleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),Nleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right),left( {{x}_{1}}ne {{x}_{2}} right)$là 2 tiếp điểm
$M,Nin left( C right)Rightarrow {{y}_{1}}=x_{1}^{3}+3x_{1}^{2}+9{{x}_{1}}+3,,,,,{{y}_{2}}=x_{2}^{3}+3x_{2}^{2}+9{{x}_{2}}+3$
Tiếp tuyến tại M, N của (C) có hệ số góc đều bằng $kLeftrightarrow 2x_{1}^{2}+6{{x}_{1}}+9=3x_{2}^{2}+6{{x}_{2}}+9=k$
$Rightarrow x_{1}^{2}+2{{x}_{1}}-x_{2}^{2}-2{{x}_{2}}=0Leftrightarrow left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2 right)=0Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2=0Leftrightarrow {{x}_{2}}=-{{x}_{1}}-2$
Theo đề bài, ta có: $OBtext{ }=text{ }2018,OARightarrow $Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc bằng 2018 hoặc – 2018.
TH1: Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc là $2018Rightarrow frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=2018Leftrightarrow {{y}_{2}}={{y}_{1}}=2018left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} right)$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow left( {x_2^3 + 3x_2^3 + 9{x_2} + 3} right) – left( {x_1^3 + 3x_1^2 + 9{x_1} + 3} right) = 2018left( {{x_2} – {x_1}} right)\
Leftrightarrow left( {{x_2} – {x_1}} right)left( {x_2^2 + {x_2}{x_1} + x_1^2 + 3{x_2} + 3{x_1} – 2009} right) = 0\
Leftrightarrow x_2^2 + {x_2}{x_1} + x_1^2 + 3{x_2} + 3{x_1} – 2009 = 0,,,,do,,{x_2} ne x{{kern 1pt} _1}\
Leftrightarrow {left( {{x_2} + {x_1}} right)^2} + 3left( {{x_2} + {x_1}} right) – {x_1}{x_2} – 2009 = 0\
Rightarrow {left( { – 2} right)^2} + 3.left( { – 2} right) – {x_1}{x_2} – 2009 = 0 Leftrightarrow {x_1}{x_2} = – 2011
end{array}$
$Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${{X}^{2}}+2X-2011=0$
$begin{array}{l}
x_1^2 + 2{x_1} – 2011 = 03x_1^2 + 6{x_1} + 9 = 6042\
Rightarrow k = 3x_1^2 + 6{x_1} + 9 = 6042
end{array}$
TH2: MN có hệ số góc là 2018. Dễ dàng kiểm rằng : Không có giá trị của ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$thỏa mãn.
Vậy $k=6042$
Câu 48: Đáp án D
Phương pháp:
– Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm $Aleft( a;0;0 right),Bleft( 0;b;0 right),Cleft( 0;0;c right),$( a, b,c khác 0): $frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$
– Sử dụng bất đẳng thức: $frac{{{x}^{2}}}{a}+frac{{{y}^{2}}}{b}+frac{{{z}^{2}}}{c}ge frac{{{left( x+y+c right)}^{2}}}{a+b+c},forall a,b,c,x,y,z>0$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $frac{x}{a}=frac{y}{b}=frac{z}{c}$
Cách giải:
$Aleft( a;0;0 right),Bleft( 0;b;0 right),Cleft( 0;0;c right),$$left( a,b,c>0 right).$Mặt phẳng (ABC) có phương trình: $frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$
Khoảng cách từ O đến (ABC): $h=frac{left| frac{0}{a}+frac{0}{b}+frac{0}{c}-1 right|}{sqrt{frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}}}=frac{1}{sqrt{frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}}}$
Ta có: $frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}=frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{{{2}^{2}}}{4{{b}^{2}}}+frac{{{4}^{2}}}{16{{c}^{2}}}ge frac{{{left( 1+2+4 right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+16{{c}^{2}}}=frac{{{7}^{2}}}{49}=1$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
frac{1}{{{a^2}}} = frac{2}{{4{b^2}}} = frac{4}{{16{c^2}}}\
{a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} = 49
end{array} right. Leftrightarrow frac{1}{{{a^2}}} = frac{2}{{4{b^2}}} = frac{4}{{16{c^2}}} = frac{7}{{{a^2} + 4{b^2} + 16{c^2}}} = frac{7}{{49}} = frac{1}{7} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{a^2} = 7\
{b^2} = frac{7}{2}\
{c^2} = frac{7}{4}
end{array} right.\
Rightarrow F = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 7 + frac{7}{2} + frac{7}{4} = frac{{49}}{4}
end{array}$
Câu 49: Đáp án A
Phương pháp:
Tính y’, giải bất phương trình $y’>0$
Cách giải:$y=fleft( {{x}^{2}} right)Rightarrow y’=f’left( {{x}^{2}} right).2x=2xf’left( {{x}^{2}} right)$
Với$xin left( 1;+infty right)Rightarrow x>0Rightarrow {{x}^{2}}in left( 1;+infty right)Rightarrow f’left( {{x}^{2}} right)>0Rightarrow y’>0forall xin left( 1;+infty right)$
Câu 50: Đáp án D
Phương pháp: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.
Cách giải:
Gắn hệ trục Oxyz, có các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia AB, AD, AA’.
$Aleft( 0;0;0 right),Bleft( 1;0;0 right),Cleft( 1;2;0 right),Dleft( 0;2;0 right),A’left( 0;0;3 right),B’left( 1;0;3 right),C’left( 1;2;3 right),D’left( 0;2;3 right)$
(P) cắt các tia AB, AD, AA’ lần lượt tại E, F, G (khác A). Gọi $Eleft( a;0;0 right),Fleft( 0;b;0 right),Gleft( 0;0;c right),left( a,b,c>0 right)$
Phương trình mặt phẳng (P): $frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$
$C’left( 1;2;3 right)in left( P right)Rightarrow frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{3}{c}=1$
Thể tích tứ diện AEFG: $V=frac{1}{6}AE.,AF.AG=frac{1}{6}abc$
Ta có: $frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{3}{c}ge 3.sqrt[3]{frac{1}{a}.frac{2}{b}.frac{3}{c}}Leftrightarrow 1ge frac{3sqrt[3]{6}}{sqrt[3]{abc}}Leftrightarrow sqrt[3]{abc}ge 3sqrt[3]{6}Leftrightarrow abcge 162Leftrightarrow frac{1}{6}abcge 27Leftrightarrow Vge 27$
$Rightarrow {{V}_{min }}=27$khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l}
frac{1}{a} = frac{2}{b} = frac{3}{c}\
frac{1}{a} + frac{2}{b} + frac{3}{c} = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 3\
b = 6\
c = 9
end{array} right.$
Khi đó, $T=AE+A,F+AG=a+b+c=3+6+9=18$
