Câu 1: Chọn B.
Theo định lý sin trong tam giác, ta có $dfrac{a}{sin A}=2R$
Câu 2: Chọn D.
– Hàm số $y=2x-3$ có hệ số $a=2>0$ nên hàm số đồng biến trên $RRightarrow left( I right)$ đúng
– Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình $left{ begin{array}{l}
y = 2x – 3\
2x + y – 3 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = frac{3}{2}\
y = 0
end{array} right. Rightarrow left( d right)$
cắt đồ thị hàm số $2x+y-3=0$ tại điểm $left( frac{3}{2};0 right)Rightarrow left( II right)$ sai.
– Giao $Ox$: cho$y=0Leftrightarrow 2x-3=0Leftrightarrow x=frac{3}{2}Rightarrow$ giao $Ox$tại điểm $left( frac{3}{2};0 right)Rightarrow left( III right)$ sai
Vậy sô các phát biểu đúng là 1.
Câu 3: Chọn C.
Xem số nghiệm của phương trình là số giao điểm của $y=fleft( x right)={{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-2$ với đường thẳng $y=0$
Đặt $fleft( x right)={{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-2$
$f’left( x right)=4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}=2xleft( {{x}^{2}}+3 right)=0Leftrightarrow x=0$
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng biến thiên thì số nghiệm là 2.
Câu 4: Chọn C.
Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Câu 5: Chọn B.
Định nghĩa: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định trên $left( a;b right)$ và ${{x}_{0}}in left( a;b right)$. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $dfrac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}$ khi $x$ dần đến ${{x}_{0}}$ gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm ${{x}_{0}}$, kí hiệu là $f’left( {{x}_{0}} right)$, ta có $f’left( {{x}_{0}} right)=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},dfrac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}$.
Từ định nghĩa rút ra kết luận đáp án B sai.
A đúng do định nghĩa.
C đúng vì đặt $x = {x_0} + h Rightarrow left{ begin{array}{l}
x – {x_0} = h\
x to {x_0} Rightarrow h to 0
end{array} right.$
D đúng vì đặt $x = {x_0} + Delta x Rightarrow left{ begin{array}{l}
x – {x_0} = Delta x\
x to {x_0} Rightarrow Delta x to 0
end{array} right.$
Câu 6: Chọn D.
Ta có $sin x=0Leftrightarrow x=kpi ,kin mathbb{Z}$, nên đáp án D sai.
Câu 7: Chọn A.
Biểu diễn hai tập $A$ và $B$ trên cùng trục số ta được $Acap B=text{ }!![!!text{ }2;5)$.
Câu 8: Chọn C.
$underset{xto +infty }{mathop{lim }},left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2 right)=underset{xto +infty }{mathop{lim }},left[ left( -{{x}^{3}} right)left( -1+dfrac{1}{x}+dfrac{2}{{{x}^{3}}} right) right]=underset{xto +infty }{mathop{lim }},left( -{{x}^{3}} right).underset{xto +infty }{mathop{lim }},left( -1+dfrac{1}{x}+dfrac{2}{{{x}^{3}}} right)$
Ta có: $underset{xto +infty }{mathop{lim }},left( -{{x}^{3}} right)=-infty $ và $underset{xto +infty }{mathop{lim }},left( -1+dfrac{1}{x}+dfrac{2}{{{x}^{3}}} right)=-1$. Vậy $underset{xto +infty }{mathop{lim }},left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2 right)=-infty .left( -1 right)=+infty $
Câu 9: Chọn C.
Dễ thấy $left| {{u}_{n}} right|=left| dfrac{{{left( -1 right)}^{n-1}}}{n+1} right|=dfrac{1}{n+1}<1,forall nin {{mathbb{N}}^{*}}$ nên $left( {{u}_{n}} right)$ là dãy số bị chặn
Lại có ${{u}_{9}}=dfrac{1}{10};{{u}_{10}}=dfrac{-1}{11};{{u}_{11}}=dfrac{1}{12};{{u}_{12}}=dfrac{-1}{13};…$ Suy ra dãy $left( {{u}_{n}} right)$ không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
Do đó đáp án C sai.
Câu 10: Chọn D.
Ta có một vecto pháp tuyến của đường thẳng $left( d right)$ là $overrightarrow{n}=left( a;b right)$
Câu 11: Chọn A.
Câu 12: Chọn A.
Mỗi cách lập một số tự nhiên có hai chữ số khác nhau từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 là một chỉnh hợp chập 2 của 9.
Vậy có $A_{9}^{2}$số tự nhiên có hai chứ số khác nhau.
Câu 13: Chọn D.
Khi cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều nên ta có
$left{ begin{array}{l}
a > b\
c > d
end{array} right. Rightarrow a + c > b + d$
Câu 14: Chọn C.
Ta có $1+3+5+…+left( 2n+1 right)=dfrac{left( 1+2n+1 right)left( n+1 right)}{2}={{left( n+1 right)}^{2}}$
$lim dfrac{1+3+5+…+left( 2n+1 right)}{3{{n}^{2}}+4}=lim dfrac{{{left( n+1 right)}^{2}}}{3{{n}^{2}}+4}=lim dfrac{1+dfrac{2}{n}+dfrac{1}{{{n}^{2}}}}{3+dfrac{4}{{{n}^{2}}}}=dfrac{1}{3}$
Câu 15: Chọn D.
Ta có: + $overrightarrow{AI}-overrightarrow{IB}=overrightarrow{AI}+overrightarrow{BI}=overrightarrow{0}$ nên D đúng
+ $2overrightarrow{AI}+overrightarrow{AB}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{AB}=2overrightarrow{AB}ne overrightarrow{0}$ nên A sai
+ $overrightarrow{IA}-overrightarrow{IB}=overrightarrow{BA}ne overrightarrow{0}$ nên B sai
+ $overrightarrow{AI}-2overrightarrow{BI}=overrightarrow{IB}+2overrightarrow{IB}=3overrightarrow{IB}ne overrightarrow{IB}$ nên B sai
Câu 16: Chọn A.
Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.
Do đó: $dleft( DC,SB right)=dleft( DC,left( SAB right) right)=dleft( D,left( SAB right) right)=AD=asqrt{2}$.
Câu 17: Chọn C.
+ $SAbot left( ABCD right)Rightarrow SAbot BD$ (1)
+ $ABCD$ là hình vuông $Rightarrow ACbot BD$ (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra $BDbot left( SAC right)Rightarrow BDbot SC$
Câu 18: Chọn D.
Theo công thức cấp số cộng ta có: $2left( 2{{a}^{2}}-1 right)=left( 1+2a right)+left( -2a right)Leftrightarrow {{a}^{2}}=dfrac{3}{4}Leftrightarrow a=pm dfrac{sqrt{3}}{2}$
Câu 19: Chọn B.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình $sin 2x=dfrac{{{m}^{2}}-5}{3}$
Vì $sin 2xin left[ -1;1 right]$ nên $frac{{{m^2} – 5}}{3} in left[ { – 1;1} right] Leftrightarrow {m^2} in left[ {2;8} right] Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
– 2sqrt 2 le m le – sqrt 2 Rightarrow m = – 2(m in )\
sqrt 2 le m le 2sqrt 2 Rightarrow m = 2(m in )
end{array} right.$
Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 20: Chọn A.
Gọi E là trung điểm AD
Xét tam giác BCE có $dfrac{BG}{BE}=dfrac{BM}{BC}=dfrac{2}{3}$ nên suy ra $MG//left( ACD right)$ chọn A
Câu 21: Chọn A.
Ta có: $y’=2sqrt{{{x}^{2}}+x}+dfrac{left( 2x-1 right)left( 2x+1 right)}{2sqrt{{{x}^{2}}+x}}=dfrac{4{{x}^{2}}+4x+4{{x}^{2}}-1}{2sqrt{{{x}^{2}}+x}}=dfrac{8{{x}^{2}}+4x-1}{2sqrt{{{x}^{2}}+x}}$
Vậy $y’=dfrac{8{{x}^{2}}+4x-1}{2sqrt{{{x}^{2}}+x}}$
Câu 22: Chọn A.
Số trung bình của dãy số liệu 1; 1; 2 ; 3 ; 3; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 là
${{x}_{tb}}=dfrac{1+1+2+3+3+4+5+5+6+7+8+9+9+9}{14}=dfrac{36}{7}approx 5,142857$
Câu 23: Chọn D.
Ta có: $x{{left( 3x-1 right)}^{8}}=xsumlimits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{left( 3x right)}^{k}}{{left( -1 right)}^{8-k}}=sumlimits_{k=0}^{9}{C_{8}^{k}{{3}^{k}}{{x}^{k+1}}{{left( -1 right)}^{8-k}}}}$
Vậy hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển biểu thức $x{{left( 3x-1 right)}^{8}}$ là: $sumlimits_{k=0}^{8}{C_{8}^{4}{{3}^{4}}{{left( -1 right)}^{8-4}}=5670}$
Câu 24: Chọn D.
Hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$ tại điểm có hoành độ ${{x}_{0}}=-2$ là: $k=y’left( -2 right)=3{{left( -2 right)}^{2}}-3=9$
Câu 25: Chọn B.
Ta có: $left{ begin{array}{l}
AB bot SAleft( {SA bot left( {ABC} right),left( {AB subset left( {ABC} right)} right)} right)\
AB bot AC
end{array} right. Rightarrow AB bot left( {SAC} right)$
Vì $ABbot left( SAC right)$ nên $left( SAC right)bot left( SAB right)$
Câu 26: Chọn B.
Giả sử vận tốc của vật chuyển động có phương trình là:
$vleft( t right)=a{{t}^{2}}+bt+c$
Ta có: $vleft( 2 right)=9Leftrightarrow 4a+2b+c=9;vleft( 0 right)=6Leftrightarrow c=6$
Lại có $left{ begin{array}{l}
frac{{ – b}}{{2a}} = 2\
4a + 2b + 6 = 9
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
4a + b = 0\
4a + 2b = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = – frac{3}{4}\
b = 3
end{array} right.$
Do đó $vleft( t right)=-frac{3}{4}{{t}^{2}}+3t+6$
Vậy $vleft( 2,5 right)=8,8125$.
Câu 27: Chọn B.
TH1: $m+1=0Leftrightarrow m=-1$ bất phương trình (1) trở thành $4ge 0forall xin mathbb{R}$ (luôn đúng) (*)
TH2: $m+1ne 0Leftrightarrow mne -1$ bất phương trình (1) có tập nghiệm S=R
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a > 0\
Delta ‘ le 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m + 1 > 0\
Delta ‘ = {m^2} – 2m – 3 le 0
end{array} right. Leftrightarrow – 1 < m le 3$
Từ (*) và (**) ta suy ra: $-1le mle 3$
Câu 28: Chọn C.
Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa $left{ begin{array}{l}
cos x ne 0\
cos 3x ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne frac{pi }{2} + kpi \
x ne frac{pi }{6} + frac{{kpi }}{3}
end{array} right.$
Khi đó, phương trình (1) $3x=x+kpi Leftrightarrow x=frac{kpi }{2}$ so sánh với điều kiện (*)
$ Rightarrow left[ begin{array}{l}
x = k2pi \
x = pi + k2pi
end{array} right.,x in left[ {0;30} right] Rightarrow k = left{ {0;…;4} right} Rightarrow x in left{ {0;pi ;2pi ;…;9pi } right}$
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn $left[ 0;30 right]$ của phương trình (1) là: $45pi $
Câu 29: Chọn C.
Số phần tử của không gian mẫu là: $nleft( Omega right)=C_{12}^{3}=220$
Gọi A là biến cố: “Lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu”.
– Trường hợp 1: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu đỏ có: $C_{8}^{2}=28$ cách
– Trường hợp 2: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu xanh có: $C_{3}^{2}=3$ cách
– Trường hợp 3: Lấy 1 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh có: $C_{8}^{1}.C_{3}^{2}=24$ cách
– Trường hợp 4: Lấy 1 quả màu xanh và 2 quả màu đỏ có: $C_{3}^{1}.C_{8}^{2}=84$ cách
Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: $nleft( A right)=28+3+24+84=139$ cách
Xác suất cần tìm là: $Pleft( A right)=dfrac{nleft( A right)}{nleft( Omega right)}=dfrac{139}{220}$
Cách 2: Lấy 3 quả bất kì trừ đi trường hợp 3 quả khác màu (1 Đ, 1X, 1 V), và 3 quả chung 1 màu ( cùng đỏ hoặc cùng xanh). ĐS: (220-81)/220. Chọn C.
Câu 30: Chọn A.
Gọi ${{T}_{0}}$ là số tiền người đó gửi vào ngân hàng vào ngày 01/01 hàng năm, ${{T}_{n}}$ là tổng số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được ở cuối năm thứ n , với $nin mathbb{N}*$, r là lãi suất ngân hàng mỗi năm.
Ta có: ${{T}_{1}}={{T}_{0}}+r{{T}_{0}}={{T}_{0}}left( 1+r right)$
Đầu năm thứ 2 , người đó có tổng số tiền là:
${{T}_{0}}left( 1+r right)+{{T}_{0}}={{T}_{0}}left[ left( 1+r right)+1 right]=dfrac{{{T}_{0}}}{left[ left( 1+r right)-1 right]}left[ {{left( 1+r right)}^{2}}-1 right]=dfrac{{{T}_{0}}}{r}left[ {{left( 1+r right)}^{2}}-1 right]$
Do đó: ${{T}_{2}}=dfrac{{{T}_{0}}}{r}left[ {{left( 1+r right)}^{2}}-1 right]+dfrac{{{T}_{0}}}{r}left[ {{left( 1+r right)}^{2}}-1 right]r=dfrac{{{T}_{0}}}{r}left[ left( 1+{{r}^{2}} right)-1 right]left( 1+r right)$
Tổng quát: Ta có: ${{T}_{n}}=dfrac{{{T}_{0}}}{r}left[ {{left( 1+r right)}^{n}}-1 right]left( 1+r right)$
Áp dụng vào bài toán, ta có: ${{10}^{9}}=dfrac{{{T}_{0}}}{0,07}left[ {{left( 1+0,07 right)}^{6}}-1 right]left( 1+0,07 right)Rightarrow {{T}_{0}}approx 130650280$ đồng
Câu 31: Chọn D.
Gọi $O=ACcap BD$
Do S.ABCD chóp đều nên đáy ABCD là hình vuông và $SObot left( ABCD right)$
Ta có: $dfrac{dleft( A,left( SCD right) right)}{dleft( O,left( SCD right) right)}=dfrac{AC}{OC}=2Rightarrow dleft( A,left( SCD right) right)=2.dleft( O,left( SCD right) right)=2h$
Xét $Delta ACD$ vuông tại D có: $AC=sqrt{A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}=CDsqrt{2}=2asqrt{2}Rightarrow OC=OD=asqrt{2}$
Xét $Delta SOC$ vuông tại O có: $SO=sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=sqrt{{{left( 3a right)}^{2}}-{{left( asqrt{2} right)}^{2}}}=asqrt{7}$
Do tứ diện S.OCD có 3 cạnh OS, OC, OD đôi một vuông góc
$Rightarrow dfrac{1}{{{h}^{2}}}=dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+dfrac{1}{O{{C}^{2}}}+dfrac{1}{O{{D}^{2}}}=dfrac{1}{{{left( asqrt{7} right)}^{2}}}+dfrac{1}{{{left( asqrt{2} right)}^{2}}}+dfrac{1}{{{left( asqrt{2} right)}^{2}}}=dfrac{8}{7{{a}^{2}}}Rightarrow h=dfrac{asqrt{14}}{4}$
Vậy khoảng cách từ A đến $left( SCD right)$ bằng $dfrac{asqrt{14}}{2}$
Câu 32: Chọn C.
$underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},left( x-2 right)sqrt{dfrac{x}{{{x}^{2}}-4}}=underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},sqrt{dfrac{x.{{left( x-2 right)}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}}=underset{xto 2+}{mathop{lim }},sqrt{dfrac{left( x-2 right)x}{x+2}}=0$
Câu 33: Chọn B.
$underset{xto -infty }{mathop{lim }},left( sqrt{9{{x}^{2}}+ax}+3x right)=underset{xto -infty }{mathop{lim }},left( dfrac{ax}{sqrt{9{{x}^{2}}+ax}-3x} right)=underset{xto -infty }{mathop{lim }},dfrac{a}{-sqrt{9+dfrac{a}{x}}-3}=-dfrac{a}{6}$
$Rightarrow -dfrac{a}{6}=-2Leftrightarrow a=12$
