Câu 30: Đáp án A
Phương pháp:
Để hàm số đồng biến trên $left( 0;+infty right)Rightarrow y’ge 0forall xin left( 0;+infty right)$
Cách giải:
ĐK: ${{x}^{2}}+mx+1>0$
Ta có $y’=frac{2x+m}{{{x}^{2}}+mx+1}$
Để hàm số đồng biến trên $left( {0; + infty } right) Rightarrow y’ ge 0forall x in left( {0; + infty } right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
2x + m ge 0forall x in left( {0; + infty } right)left( 1 right)\
{x^2} + mx + 1 > 0forall x in left( {0; + infty } right)left( 2 right)
end{array} right.$
$begin{array}{l}
left( 1 right) Leftrightarrow m ge – 2forall x in left( {0; + infty } right) Leftrightarrow m ge 0\
left( 2 right) Leftrightarrow mx > – {x^2} – 1 Leftrightarrow m > frac{{ – {x^2} – 1}}{x} = fleft( x right)forall x in left( {0; + infty } right) Rightarrow m ge mathop {m{rm{ax}}}limits_{left( {0; + infty } right)} fleft( x right)
end{array}$
Ta có $f’left( x right)=frac{-2{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}=frac{-{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}=0Leftrightarrow x=1$
$Rightarrow underset{left( 0;+infty right)}{mathop{max }},fleft( x right)=fleft( 1 right)=-2Rightarrow mge -2$
Vậy $mge 0$
Khi $m=0$ ta có $y=ln left( {{x}^{2}}+1 right)$ có $y’=frac{2x}{{{x}^{2}}+1}ge 0forall xin left( 0;+infty right)Rightarrow m=0$thỏa mãn.
Kết hợp điều kiện bài toán ta có $min Z,0le m<10Rightarrow min left{ 0;1;2;3;…;9 right}Rightarrow $ Có 10 giá trị.
Câu 31: Đáp án D
Phương pháp:
Trong (ABCD) dựng D sao cho ABCD là hình vuông $Rightarrow dleft( AB;SC right)=dleft( AB;left( SCD right) right)=dleft( A;left( SCD right) right)$
Cách giải:
Trong (ABCD) dựng D sao cho ABCD là hình vuông.
Khi đó ta có $AB//CDRightarrow dleft( AB;left( SCD right) right)=dleft( A;left( SCD right) right)$
Ta có: $left{ begin{array}{l}
CD bot AD\
CD bot SA
end{array} right. Rightarrow CD bot left( {SAD} right)$
Trong $left( SAD right)$kẻ $AKbot SDRightarrow AKbot CDRightarrow AKbot left( SCD right)Rightarrow dleft( A;left( SCD right) right)=AK$
Ta có: $left{ begin{array}{l}
BC bot AB\
BC bot SA
end{array} right. Rightarrow BC bot SB$
$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
left( {SBC} right) cap left( {ABC} right) = BC\
left( {SBC} right) supset SB bot BC\
left( {ABC} right) supset AB bot BC
end{array} right. Rightarrow left( {left( {SBC} right);left( {ABC} right)} right) = left( {SB;AB} right) = SBA = {60^0}\
Rightarrow SA = AB.tan {60^0} = asqrt 3 ,AD = BC = a\
Rightarrow AK = frac{{SA.AD}}{{sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = frac{{asqrt 3 .a}}{{sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = frac{{asqrt 3 }}{2}
end{array}$
Câu 32: Đáp án B
Phương pháp:
Xét phương trình $y’=0$ các nghiệm của phương trình thuộc $left[ 1;3 right]$.
Lập BBT và suy ra GTLN của hàm số trên $left[ 1;3 right]$.
Cách giải:
TXĐ: $D=R$
Ta có $y’=a,{{x}^{2}}+c$
Hàm số có$underset{left( -infty ;0 right)}{mathop{min }},fleft( x right)=fleft( -2 right)Rightarrow x=-2$ là 1 cực trị của hàm số $Rightarrow x=-2$ là một nghiệm của phương trình $y’=0$
TH1: $c=0Rightarrow a=0left( ktm right)$
TH2: $c ne 0 Rightarrow left[ begin{array}{l}
x = – sqrt { – frac{x}{{3a}}} = – 2\
x = sqrt { – frac{c}{{3a}}} = 2 in left[ {1;3} right] Rightarrow c = – 12a
end{array} right.$
$underset{left( -infty ;0 right)}{mathop{min }},,fleft( x right)=fleft( -2 right)Rightarrow a<0$
BBT ở hình vẽ bên:
$Rightarrow underset{left[ 1;3 right]}{mathop{max }},fleft( x right)=fleft( 2 right)=8a+2c+d=8a-24a+d=-16a+d$
Câu 33: Đáp án D
Phương pháp:
TH1: An và Cường trả lời đúng, Bình trả lời sai.
TH2: Bình và Cường trả lời đúng, An trả lời sai.
Áp dụng quy tắc cộng.
Cách giải:
TH1: An và Cường trả lời đúng, Bình trả lời sai $Rightarrow {{P}_{1}}=0,9.left( 1-0,7 right).0,8=0,216$
TH2: Bình và Cường trả lời đúng, An trả lời sai $Rightarrow {{P}_{2}}=left( 1-0,9 right).0,7.0,8=0,056$
Vậy xác suất cô giáo chỉ kiểm tra bài cũ đúng 3 bạn trên là $P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=0,272$
Câu 34: Đáp án B
Phương pháp:
Giả sử khối lượng công việc đã làm được trong 1 tháng đầu là x thì tổng khối lượng công việc là 24x.
Giả sử sau n tháng thì xong công trình, tính khối lượng công việc sẽ hoàn thành sau n tháng.
Cách giải:
Giả sử khối lượng công việc đã làm được trong 1 tháng đầu là x thì tổng khối lượng công việc là 24x.
Giả sử sau n tháng thì xong công trình, ta có phương trình $x+1,04x+1,{{04}^{2}}x+…+1,{{04}^{n-1}}x=24xLeftrightarrow frac{1,{{04}^{n}}-1}{1,04-1}=24Leftrightarrow n=17,16$
Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ 18.
Câu 35: Đáp án B
Phương pháp:
Sử dụng công thức $left[ frac{fleft( x right)}{x} right]’=frac{xf’left( x right)-fleft( x right)}{{{x}^{2}}}$ và phương pháp lấy tích phân hai vế.
Cách giải:
$begin{array}{l}
fleft( x right) = xf’left( x right) – 2{x^3} – 3{x^2} Leftrightarrow xf’left( x right) – fleft( x right) = 2{x^3} + 3{x^2} Leftrightarrow frac{{xf’left( x right) – fleft( x right)}}{{{x^2}}} = 2x + 3\
Leftrightarrow left[ {frac{{fleft( x right)}}{x}} right]’ = 2x + 3 Leftrightarrow intlimits_1^2 {left[ {frac{{fleft( x right)}}{x}} right]’dx = intlimits_1^2 {left( {2x + 3} right)dx = 6} } \
Leftrightarrow left. {frac{{fleft( x right)}}{x}} right|_1^2 = 6 Leftrightarrow frac{{fleft( 2 right)}}{2} – frac{{fleft( 1 right)}}{1} = 6 Leftrightarrow frac{{fleft( 2 right)}}{2} = fleft( 1 right) + 6 = 10 Leftrightarrow fleft( 2 right) = 20
end{array}$
Câu 36: Đáp án C
Phương pháp:
+) Đặt $tleft( x right)={{x}^{2}}-2x$, tìm miền giá trị của t.
+) Tìm điều kiện tương đương số nghiệm của phương trình $fleft( t right)=m$để phương trình $fleft( {{x}^{2}}-2x right)=m$có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn $left[ -frac{3}{2};frac{7}{2} right]$
Cách giải:
Xét hàm số $tleft( x right)={{x}^{2}}-2x$trên $left[ -frac{3}{2};frac{7}{2} right]$ta có $t’left( x right)=2x-2=0Leftrightarrow x=1in left[ -frac{3}{2};frac{7}{2} right]$
BBT:
Với $t=-1$ thì ứng với mỗi giá trị của t thì có 1 nghiệm x và với $tin left( -1;frac{21}{4} right]$thì ứng với mỗi giá trị của t có 2 nghiệm x phân biệt.$Rightarrow tin left[ -1;frac{21}{4} right]$
Do đó để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $left[ -frac{3}{2};frac{7}{2} right]$thì phương trình $fleft( t right)=m$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $left( -1;frac{21}{4} right]$
$Rightarrow min left( 2;4 right)cup left( a;5 right]$ với $ain left( 4;5 right)$
=>Có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn là $m=3text{ }vgrave{a}text{ }m=5$
Câu 37: Đáp án D
Phương pháp :
Quân vua được di chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng $Rightarrow left| Omega right|$
Gọi A là biến cố : « Quân vua sau 3 bước trở về đúng vị trí ban đầu » . Tính $left| A right|$ .
Cách giải :
Quân vua được di chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng $Rightarrow left| Omega right|={{8}^{3}}$ .
Gọi A là biến cố : « Quân vua sau 3 bước trở về đúng vị trí ban đầu »
TH1: Quân vua di chuyển bước thứ nhất sang ô đen liền kề (được tô màu đỏ) có 4
cách.
Bước đi thứ 2 quân vua di chuyển sang các ô được tô màu vàng có 4 cách.
Bước đi thứ 3 quay về vị trí ban đầu có 1 cách.
Vậy TH này có $4.4text{ }=text{ }16$ cách.
TH2:
Quân vua di chuyển bước thứ nhất sang các ô trắng liền kề (được tô màu đỏ) có 4 cách.
Bước đi thứ 2 quân vua di chuyển sang các ô được tô màu vàng có 2 cách.
Bước đi thứ 3 quay về vị trí ban đầu có 1 cách.
Vậy TH này có $4.2text{ }=text{ }8$cách
$left| A right|=8.3=24Rightarrow Pleft( A right)=frac{24}{{{8}^{3}}}=frac{3}{64}$
Câu 38: Đáp án C
Phương pháp:
Phân tích, sử dụng các công thức ${{log }_{a}}left( bc right)={{log }_{a}}b+{{log }_{a}}c;{{log }_{a}}left( frac{b}{c} right)={{log }_{a}}b-{{log }_{a}}cleft( 0<ane 1;b;c>0 right)$
Cách giải:
Xét hàm số$fleft( x right)$trên $left[ 2;2018 right]$ta có:
$begin{array}{l}
fleft( x right) = ln left( {1 – frac{1}{{{x^2}}}} right) = ln left( {frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} right) = ln left( {{x^2} – 1} right) – ln left( {{x^2}} right) = ln left( {x – 1} right) – 2ln x + ln left( {x + 1} right)\
Rightarrow fleft( 2 right) + fleft( 3 right) + … + fleft( {2018} right) = ln 1 – 2ln 2 + ln 3 + ln 2 – 2ln 3 + ln 4 + … + ln 2017 – 2ln 2018 + ln 2019\
= ln 1 – ln 2 – ln 2018 + ln 2019\
= – ln 2 – ln 2 – ln 1009 + ln 3 + ln 673\
= ln 3 – ln 4 + ln 673 + ln 1009\
Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 3\
b = 4\
c = 673\
d = 1009
end{array} right.left( {tm} right) Rightarrow P = a + b + c + d = 3 + 4 + 673 + 1009 = 1689
end{array}$
Câu 39: Đáp án B
Phương pháp:
Từ các giả thiết đã cho, lập hệ 3 phương trình ba ẩn a, b, c. Giải hệ phương trình tìm a, b, c và tính tổng S.
Cách giải:
$begin{array}{l}
M in left( P right) Rightarrow 2a – b + c + 1 = 0\
overrightarrow {AB} = left( { – 2;4; – 16} right);overrightarrow {AM} = left( {a + 1;b – 3;c + 2} right) Rightarrow left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AM} } right] = left( {16b + 4c – 40; – 16a + 2c – 12; – 4a – 2b + 2} right)\
{overrightarrow n _{left( P right)}} = left( {2; – 1;1} right)\
Rightarrow 2left( {16b + 4c – 40} right) – left( { – 16a + 2c – 12} right) + left( { – 4a – 2b + 2} right) = 0
end{array}$
$begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} = 246\
Leftrightarrow {left( {a + 1} right)^2} + {left( {b – 3} right)^2} + {left( {c + 2} right)^2} + {left( {a + 3} right)^2} + {left( {b – 7} right)^2} + {left( {c + 18} right)^2} = 246\
Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 4a – 10b + 20c + 75 = 0
end{array}$
Khi đó ta có hệ phương trình $left{ begin{array}{l}
2a – b + c = – 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 right)\
2a + 5b + c = 11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 right)\
{a^2} + {b^2} + {C^2} + 4a – 10b + 20c + 75 = 0,,,left( 3 right)
end{array} right.$
$left( 1 right);left( 2 right)Rightarrow b=2Rightarrow 2a-2+c=-1Leftrightarrow 2a+c=1Leftrightarrow c=1-2a$
Thay vào (3) ta có $begin{array}{l}
{a^2} + 4 + {left( {1 – 2a} right)^2} + 4a – 10.2 + 20left( {1 – 2a} right) + 75 = 0 Leftrightarrow 5{a^2} – 40a + 80 = 0 Leftrightarrow {a^2} – 8a + 16 = 0\
Leftrightarrow a = 4 Rightarrow c = – 7
end{array}$ Vậy $S=a+b+c=4+2-7=-1$
Câu 40: Đáp án B
Phương pháp:
+) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có hệ số góc $k=y’$, tìm x để y’ đạt GTLN.
+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ vừa tìm được, cho đường thẳng tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ, tìm m.
Cách giải:
Ta có $k=y’=-3{{x}^{2}}+2mx+m$ đạt GTLN tại $x=frac{2m}{6}=frac{m}{3}Rightarrow yleft( frac{m}{3} right)=frac{-{{m}^{3}}}{27}+frac{{{m}^{3}}}{9}+frac{{{m}^{2}}}{3}+1=frac{2{{m}^{3}}}{27}+frac{{{m}^{2}}}{3}+1$
$Rightarrow y’left( frac{m}{3} right)=-3.frac{{{m}^{2}}}{9}+2m.frac{m}{3}+m=frac{{{m}^{2}}}{3}+m$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=frac{m}{3}$là: $y=left( frac{{{m}^{2}}}{3}+m right)left( x-frac{m}{3} right)+frac{2{{m}^{3}}}{27}+frac{{{m}^{2}}}{3}+1left( d right)$
Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ
$begin{array}{l}
Rightarrow 0 = left( {frac{{{m^2}}}{3} + m} right)left( { – frac{m}{3}} right) + frac{{2{m^3}}}{{27}} + frac{{{m^2}}}{3} + 1\
Leftrightarrow 0 = – frac{{{m^3}}}{9} – frac{{{m^2}}}{3} + frac{{2{m^3}}}{{27}} + frac{{{m^2}}}{3} + 1\
Leftrightarrow frac{{{m^3}}}{{27}} = 1 Leftrightarrow m = 3
end{array}$
Câu 41: Đáp án D
Phương pháp:
+) Đặt $tleft( x right)=x-sqrt{{{x}^{2}}-1}left( t>0 right)Rightarrow x+sqrt{{{x}^{2}}-1}=frac{1}{t}$, tìm miền giá trị của t ứng với$x>2$
+) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm t thuộc khoảng vừa tìm được.
Cách giải:
Ta có $left( x-sqrt{{{x}^{2}}-1} right)left( x+sqrt{{{x}^{2}}-1} right)={{x}^{2}}-left( {{x}^{2}}-1 right)=1$
Đặt $tleft( x right)=x-sqrt{{{x}^{2}}-1}left( t>0 right)Rightarrow x+sqrt{{{x}^{2}}-1}=frac{1}{t}$
Ta có $t’left( x right)=1-frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}-1}}=0Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}-1}-x<0Rightarrow t’left( x right)<0$
$Rightarrow x>2Rightarrow tin left( 0;2-sqrt{3} right)$
Khi đó phương trình trở thành
$begin{array}{l}
{log _2}t.{log _5}t = {log _m}{t^{ – 1}} = – {log _m}tleft( * right)\
Leftrightarrow {log _2}t.{log _5}t + {log _m}t = 0 Leftrightarrow {log _2}t.{log _5}t + {log _m}2.{log _2}t = 0\
Leftrightarrow {log _2}tleft( {{{log }_5}t + {{log }_m}2} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
lo{g_2}t = 0\
{log _5}t + {log _m}2 = 0
end{array} right.\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 1left( {ktm} right)\
{log _5}t = – {log _m}2 = {log _m}frac{1}{2}
end{array} right. Leftrightarrow t = {5^{{{log }_m}frac{1}{2}}}
end{array}$
Để phương trình ban đầu có nghiệm $x>2$thì phương trình (*) có nghiệm $tin left( 0;2-sqrt{3} right)$
$begin{array}{l}
Rightarrow 0 < {5^{{{log }_m}frac{1}{2}}} < 2 – sqrt 3 Rightarrow {log _m}frac{1}{2} < {log _5}left( {2 – sqrt 3 } right)\
Leftrightarrow {log _{frac{1}{2}}}m > {log _{left( {2 – sqrt 3 } right)}}5 Leftrightarrow m < {left( {frac{1}{2}} right)^{{{log }_{left( {2 – sqrt 3 } right)}}5}} approx 2,33\
Rightarrow 0 < m le 2,m in Z,m ne 1 Rightarrow m = 2
end{array}$
Câu 42: Đáp án A
Phương pháp : Sử dụng công thức $zoverline{z}={{left| z right|}^{2}}$
Cách giải :
Ta có
$begin{array}{l}
left| {{z^2} + 1} right| = 2left| z right| Leftrightarrow {left| {{z^2} + 1} right|^2} = 4{left| z right|^2} Leftrightarrow left( {{z^2} + 1} right)left( {overline {{z^2} + 1} } right) = 4zoverline z \
Leftrightarrow left( {{z^2} + 1} right)left( {{{overline z }^2} + 1} right) = 4zoverline z Leftrightarrow {left( {zoverline z } right)^2} + {z^2} + {overline z ^2} + 1 – 4zoverline z = 0\
Leftrightarrow left( {z + overline z } right) + {left( {zoverline z } right)^2} – 6zoverline z + 1 = 0 Leftrightarrow {left( {z + overline z } right)^2} + {left| z right|^4} – 6{left| z right|^2} + 1 = 0\
Leftrightarrow {left| z right|^4} – 6{left| z right|^2} + 1 = – {left( {z + overline z } right)^2} le 0 Leftrightarrow 3 – 2sqrt 2 le {left| z right|^2} le 3 + 2sqrt 2 \
Leftrightarrow sqrt 2 – 1 le left| z right| le sqrt 2 + 1 Rightarrow left{ begin{array}{l}
left| {{z_1}} right| = sqrt 2 – 1\
left| {{z_2}} right| = sqrt 2 + 1
end{array} right.
end{array}$
Dấu = xảy ra $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left| {{z_1}} right| = sqrt 2 – 1\
left| {{z_2}} right| = sqrt 2 + 1\
z + overline z = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
{z_1} = left( {sqrt 2 – 1} right)i\
{z_1} = left( {1 – sqrt 2 } right)i
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
{z_2} = left( {sqrt 2 + 1} right)i\
{z_2} = left( { – sqrt 2 – 1} right)i
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left| {rm{w}} right| = left| {{z_1} + {z_2}} right| = 2sqrt 2 \
left| {rm{w}} right| = left| {{z_1} + {z_2}} right| = 2
end{array} right.$
Câu 43: Đáp án B
Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Cách giải: Ta có ${{left( 1+2x right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}left( kin Z right)}$
$begin{array}{l}
Rightarrow {a_k} = C_n^k{2^k};{a_{k + 1}} = C_n^{k + 1}{2^{k + 1}}\
Leftrightarrow C_n^k{2^k} = C_n^{k + 1}{2^{k + 1}} Leftrightarrow frac{{n!}}{{k!left( {n – k} right)!}}{2^k} = frac{{n!}}{{left( {k + 1} right)!left( {n – k – 1} right)!}}{2^{k + 1}}\
Leftrightarrow frac{1}{{n – k}} = frac{2}{{k + 1}}\
Leftrightarrow k + 1 = 2n – 2k Leftrightarrow n = frac{{3k + 1}}{2}
end{array}$
Ta có $nin left[ 1;2018 right]Rightarrow kin left[ frac{1}{3};1345 right]$
Do n là số nguyên nên $3k+1$ là số chẵn => k là số lẻ, thuộc đoạn $left[ frac{1}{3};1345 right]$=> có 673 số nguyên k thỏa mãn.
Với mỗi số nguyên k xác định 1 số nguyên n. Vậy có 673 số nguyên n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 44: Đáp án C
Phương pháp:
+) Tam giác ABC có trung tuyến BM và phân giác CD.
+) Tham số hóa tọa độ điểm M là trung điểm của AC, tìm tọa độ điểm C theo tọa độ điểm M.
+) $Cin CDRightarrow $ Tọa độ điểm C.
+) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua $CDRightarrow Nin BCRightarrow $ Phương trình đường thẳng BC.
+) Tìm tọa độ điểm $B=BMcap BC$, khi đó mọi vector cùng phương với AB đều là VTCP của AB.
Cách giải:
Tam giác ABC có trung tuyến BM và phân giác CD.
Gọi $Mleft( 30t;3+2t;2-t right)in BM$là trung điểm của AC ta có $Cleft( 4-2t;3+4t;1-2t right)in CD$
$begin{array}{l}
Rightarrow frac{{2 – 2t}}{2} = frac{{ – 1 + 4t}}{{ – 1}} = frac{{1 – 2t}}{{ – 1}} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2 – 2t = 2 – 4t\
2 – 2t = 2 + 4t
end{array} right. Leftrightarrow t = 0\
Rightarrow Mleft( {3;3;1} right);Cleft( {4;3;1} right)
end{array}$
Gọi H là hình chiếu của M trên CD ta có $Hleft( 2+2t;4-t;2-t right)Rightarrow overrightarrow{MH}=left( -1+2t;1-t;-t right)$
$overrightarrow{MH}bot overrightarrow{{{u}_{CD}}}Rightarrow 2left( -1+2t right)-1+t+t=0Leftrightarrow 6t=3Leftrightarrow t=frac{1}{2}Rightarrow Hleft( 3;frac{7}{2};frac{3}{2} right)$
Gọi N là điểm đối xứng với M qua $CDRightarrow H$là trung điểm của MN $Rightarrow Nleft( 3;4;1 right)Rightarrow overrightarrow{CN}=left( -1;1;0 right)$
Do CD là phân giác của góc C nên $Nin BC$, do đó phương trình đường thẳng CB là $left{ begin{array}{l}
x = 4 – t’\
y = 3 + t’\
z = 1
end{array} right.$
Ta có $B=BMcap CB$ . Xét hệ phương trình $left{ begin{array}{l}
3 – t = 4 – t’\
3 + 2t = 3 + t’\
2 = t = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
t = 1\
t’ = 2
end{array} right. Rightarrow Bleft( {2;5;1} right) Rightarrow overrightarrow {AB} = left( {0;2; – 2} right) = 2left( {0;1; – 1} right)$
Vậy $overrightarrow{{{u}_{4}}}left( 0;1;-1 right)$ là 1 VTCP của AB
Câu 45: Đáp án D
Phương pháp:
$+),Delta //left( P right)Rightarrow {{overrightarrow{u}}_{Delta }}bot {{overrightarrow{n}}_{left( P right)}}$
+) Sử dụng công thức $ctext{os}left( Delta ;d right)=left| ctext{os}left( {{overrightarrow{u}}_{d}};{{overrightarrow{u}}_{Delta }} right) right|=frac{left| {{overrightarrow{u}}_{d}}.{{overrightarrow{u}}_{Delta }} right|}{left| {{overrightarrow{u}}_{d}} right|.left| {{overrightarrow{u}}_{Delta }} right|}$
+) Để góc giữa $Delta $và d là nhỏ nhất thì $ctext{os}left( {{overrightarrow{u}}_{d}};{{overrightarrow{u}}_{Delta }} right)mtext{ax}$
Cách giải :
Ta có : ${{overrightarrow{n}}_{left( P right)}}=left( 2;-1;2 right)$
Do $Delta //left( P right)Rightarrow {{overrightarrow{u}}_{Delta }}{{overrightarrow{n}}_{left( P right)}}Rightarrow 2m-n+2=0Leftrightarrow n=2m+2$
Ta có $ctext{os}left( Delta ;d right)=left| ctext{os}left( {{overrightarrow{u}}_{d}};{{overrightarrow{u}}_{Delta }} right) right|=frac{left| 4m-4n+3 right|}{sqrt{41}.sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+1}}=frac{left| 4m-4left( 2m+2 right)+3 right|}{sqrt{41}.sqrt{{{m}^{2}}+{{left( 2m+2 right)}^{2}}+1}}=frac{left| -4m-5 right|}{sqrt{41}.sqrt{5{{m}^{2}}+8m+5}}$
Để góc giữa $Delta $và d là nhỏ nhất thì $ctext{os}left( {{overrightarrow{u}}_{d}};{{overrightarrow{u}}_{Delta }} right)mtext{ax}$
$Rightarrow fleft( m right)=frac{left| -4m-5 right|}{sqrt{5{{m}^{2}}+8m+5}},max Rightarrow gleft( m right)={{f}^{2}}left( m right)=frac{16{{m}^{2}}+40m+25}{5{{m}^{2}}+8m+5},mtext{ax}$
Có $g’left( x right) = frac{{left( {32m + 40} right)left( {5{m^2} + 8m + 5} right) – left( {16{m^2} + 40m + 25} right)left( {10m + 8} right)}}{{{{left( {5{m^2} + 8m + 5} right)}^2}}} = frac{{ – 72{m^2} – 90m}}{{{{left( {5{m^2} + 8m + 5} right)}^2}}} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 0\
m = – frac{5}{4}
end{array} right.$ Lập BBT ta thấy $max gleft( m right)=5Leftrightarrow m=0Rightarrow n=2$
Vậy $T={{m}^{2}}-{{n}^{2}}=-4$
Câu 46: Đáp án C
Phương pháp : Sử dụng phương pháp gắn hệ trục tọa độ.
Cách giải :
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có : $Dleft( 0;0;0 right);Sleft( 0;0;asqrt{3} right);Cleft( 0;2a;0 right);Aleft( frac{asqrt{3}}{2};frac{-a}{2};0 right);Bleft( frac{asqrt{3}}{2};frac{3a}{2};0 right)$
$begin{array}{l}
Rightarrow overrightarrow {SA} = left( {frac{{asqrt 3 }}{2};frac{{ – a}}{2}; – asqrt 3 } right);overrightarrow {AC} = left( { – frac{{asqrt 3 }}{2};frac{{5a}}{2};0} right) Rightarrow left[ {overrightarrow {SA} ;overrightarrow {AC} } right] = left( {frac{{5sqrt 3 {a^2}}}{2};frac{{3a}}{2};sqrt 3 {a^2}} right) = {n_{left( {SAC} right)}}\
overrightarrow {SB} = left( {frac{{asqrt 3 }}{2};frac{{3a}}{2}; – asqrt 3 } right)
end{array}$
$Rightarrow left| ctext{os}left( {{overrightarrow{n}}_{left( SAC right)}};overrightarrow{SB} right) right|=frac{left| {{overrightarrow{n}}_{left( SAC right)}}.overrightarrow{SB} right|}{left| {{overrightarrow{n}}_{left( SAC right)}} right|.left| overrightarrow{SB} right|}=frac{3}{sqrt{144}}=frac{1}{4}=sin left( SB;left( SAC right) right)$
Câu 47: Đáp án B
Phương pháp:
Chứng minh khoảng cách từ O đến (ABC) không đổi.
Cách giải:
Kẻ $OHbot ABleft( Hin AB right);OKbot CHleft( Kin CH right)$ta có
$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
AB bot OH\
AB bot OC
end{array} right. Rightarrow AB bot left( {OHC} right) Rightarrow AB bot OK\
left{ begin{array}{l}
OK bot AB\
OK bot CH
end{array} right. Rightarrow OK bot left( {ABC} right)
end{array}$
Ta sẽ chứng minh OK không đổi, khi đó mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính OK.
Gọi $Aleft( a;0;0 right);Bleft( 0;b;0 right);Cleft( 0;0;c right)$ta có: ${{V}_{ABC}}=frac{1}{6}abc$
$begin{array}{l}
overrightarrow {AB} = left( { – a;b;0} right);overrightarrow {AC} = left( { – a;0;c} right)left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right] = left( {bc;ac;ab} right) Rightarrow {S_{ABC}} = frac{1}{2}sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \
Rightarrow frac{{{S_{ABC}}}}{{{V_{OABC}}}} = frac{{frac{1}{2}sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}{{frac{1}{6}abc}} = frac{3}{2}\
Leftrightarrow sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} = frac{1}{2}abc Leftrightarrow {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} = frac{1}{4}{a^2}{b^2}{c^2} Leftrightarrow frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}} = frac{1}{4}
end{array}$
Xét tam giác vuông OCK có $frac{1}{O{{K}^{2}}}=frac{1}{O{{C}^{2}}}+frac{1}{O{{H}^{2}}}=frac{1}{O{{C}^{2}}}+frac{1}{O{{A}^{2}}}+frac{1}{O{{B}^{2}}}=frac{1}{{{x}^{2}}}+frac{1}{{{y}^{2}}}+frac{1}{{{z}^{2}}}=frac{1}{4}Rightarrow OK=2$
Vậy mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính 2
Câu 48: Đáp án C
Cách giải :
Với mỗi số thực $sqrt{2}alpha in mathbb{R}$ ta có:
$begin{array}{l}
left| {intlimits_0^1 {{e^x}fleft( x right)dx} } right| = left| {intlimits_0^1 {{e^x}fleft( x right)dx – intlimits_0^1 {alpha xfleft( x right)dx} } } right|\
= left| {intlimits_0^1 {fleft( x right)left( {{e^x} – alpha x} right)dx} } right| le intlimits_0^1 {left| {fleft( x right)} right|.left| {{e^x} – alpha x} right|dx} le intlimits_0^1 {left| {{e^x} – alpha x} right|} dx
end{array}$
$Rightarrow left| intlimits_{0}^{1}{{{e}^{x}}fleft( x right)dx} right|le underset{alpha in mathbb{R}}{mathop{min }},intlimits_{0}^{1}{left| {{e}^{x}}-alpha x right|}dxle underset{alpha in left[ 0;1 right]}{mathop{min }},intlimits_{0}^{1}{left| {{e}^{x}}-alpha x right|=underset{alpha in left[ 0;1 right]}{mathop{min }},left. left( {{e}^{x}}-frac{alpha {{x}^{2}}}{2} right) right|_{0}^{1}}$
Theo đề bài ta có: $underset{left[ 0;1 right]}{mathop{mtext{ax}}},left| fleft( x right) right|=1Rightarrow fleft( x right)le 1Rightarrow alpha le 1Rightarrow underset{alpha in left[ 0;1 right]}{mathop{min }},left( e-1-frac{alpha }{2} right)=e-frac{3}{2}$
Câu 49: Đáp án D
Phương pháp:
Xét hàm số$y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a,$ lập BBT của đồ thị hàm số.
Chia các trường hợp và tìm GTNN của hàm số $fleft( x right)=left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a right|$
Sử dụng giả thiết $Mle 2m$ tìm các giá trị a nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách giải:
Xét hàm số: $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a$có $y’=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x$
$begin{array}{l}
Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 4{x^3} – 12{x^2} + 8 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
x = 0\
x = 1
end{array} right.\
Rightarrow yleft( 0 right) = a;yleft( 1 right) = a + 1;yleft( 2 right) = a
end{array}$
Ta có BBT như hình bên:
TH1: $age 0$ thì ta thấy trong $left[ 0;2 right]$đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục Ox $Rightarrow M=a+1;m=a$
$Rightarrow Mle 2mLeftrightarrow a+1le 2aLeftrightarrow age 1$
Mà $left{ begin{array}{l}
a in Z\
a in left[ { – 3;3} right]
end{array} right. Rightarrow a in left{ {1;2;3} right}$
TH2: $text{a+1}le text{0}Leftrightarrow text{a}le text{-1}$ ta thấy trong $left[ 0;2 right]$đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a$ nằm phía dưới trục Ox được lấy đối xứng lên phía trên trục Ox. Khi đó: $M=a;m=a+1$
$begin{array}{l}
Rightarrow M le 2m Leftrightarrow a le 2left( {a + 1} right) Leftrightarrow a le 2a + 2 Leftrightarrow a ge – 2\
Rightarrow – 2 le a le – 1
end{array}$
Mà $left{ begin{array}{l}
a in Z\
a in left[ { – 3;3} right]
end{array} right. Rightarrow a in left{ { – 1; – 2} right}$
TH3: $text{a0a+1}Leftrightarrow text{-1a0}Rightarrow $ Trường hợp này không có số nguyên nào của a thỏa mãn.
Kết hợp 3 TH trên ta có $ain left{ -2;-1;1;2;3 right}Rightarrow $có 5 giá trị của a thỏa mãn bài toán.
Câu 50: Đáp án C
Phương pháp:
+) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh. Chóp S.ABC có đỉnh B và đáy SAC.
+) Chứng minh tam giác SAC vuông tại S.
+) Xác định góc giữa SC và (ABC).
+) Sử dụng công thức tính thể tích $V=frac{1}{3}Bh$
Cách giải:
Có $AB=BC=asqrt{3}Rightarrow Delta ABC$ cân tại B
Gọi H là trung điểm của AC ta có $BHbot AC$
$left{ begin{array}{l}
left( {ABC} right) bot left( {SAC} right)\
left( {ABC} right) cap left( {SAC} right) = AC\
left( {ABC} right) supset BHAC
end{array} right. Rightarrow BH bot left( {SAC} right) Rightarrow BH bot SAleft( 1 right)$
Gọi K là trung điểm của SC, do tam giác SAB đều $Rightarrow BKbot SAleft( 2 right)$
Từ (1) và (2) $Rightarrow SAbot left( BHK right)Rightarrow SAbot HK$ .
Lại có HK là đường trung bình của tam giác SAC $Rightarrow HK//SCRightarrow SAbot SCRightarrow Delta SAC$ vuông tại S.
Trong (SAC) kẻ$SIbot AC$, tương tự ta có
$SIbot left( ABC right)Rightarrow left( SC;left( ABC right) right)=left( SC;IC right)=SCI={{60}^{0}}$
Xét tam giác vuông SAC có $SC=AC.cot 60=asqrt{3}.frac{1}{sqrt{3}}=aRightarrow AC=sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a$
$Rightarrow {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}SA.SC=frac{1}{2}asqrt{3}.a=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}$
Có H là trung điểm của AC $Rightarrow AH=frac{1}{2}AC=aRightarrow BH=sqrt{B{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=asqrt{2}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}BH.{{S}_{ABC}}=frac{1}{3}asqrt{2}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{6}$
